Sessione ordinaria - Indirizzo P.N.I. 1999
Soluzione quesito 1
a)
y' = x - 1
b)
c)
E' sufficiente studiare la funzione di equazione
che ha come derivate prima e seconda
Si ottiene il grafico
Da questo, tenendo conto delle limitazioni sulla x si ottiene il grafico richiesto
L'analisi della derivata prima permette di stabilire che il minimo relativo si ottiene per
d)
In corrispondenza del valore
si ottiene
L'area richiesta (v. figura iniziale) si ottiene sommando l'area del triangolo OED e l'area del triangolo mistilineo OEA':
Per l'area di OEA' si deve calcolare l'integrale
N.B.
Se si considera anche il triangolo mistilineo compreso tra l'asse x, la parabola ed il segmento A'C basta sottrarre allarea del triangolo ECD il segmento parabolico sotto l'asse delle x:
e)
che, con le condizioni su l, conduce all'equazione di terzo grado
l3 - 4l2 + 4 = 0
Uno studio qualitativo della funzione di equazione
y = x3 - 4x2 + 4
porta al grafico
da cui si nota che la radice richiesta è compresa tra 1 e 2 ( Derive fornisce per le due radici positive i valori approssimati
1.19393 e 3.70927).
Un possibile programma in Pascal (che usa il metodo di bisezione ) per calcolare un valore approssimato della prima radice positiva è il seguente:
PROGRAM pni99; Uses Crt; Const a=1; b=2; Var n:integer; c:real; risposta:char; (*------------------------------------------------------------------------*) Procedure Presentazione; Begin Writeln('Questo programma permette di calcolare la radice di '); writeln('X^3 - 4X^2 +4 = 0 nell''intervallo [1;2]'); Writeln('a meno di 10 ^(-n) '); Writeln;writeln; End; (*------------------------------------------------------------------------*) Procedure Dati; Begin Write('n = '); Readln(n); Writeln; Writeln('--------------------------------------------------') End; (*------------------------------------------------------------------------*) Function f(x:real):real; Begin f:=x*x*x-4*x*x+4 End; (*------------------------------------------------------------------------*) Procedure Elabora; Var errore,x1,x2:real; Begin errore:=exp(-n*ln(10)); (*10^(-n)*) x1:=a; x2:=b; Repeat c:=(x1+x2)/2; If f(c)*f(x1)<0 then x2:=c ELSE x1:=c Until (abs(x2-x1)<errore) or (f(c)=0) end; (*------------------------------------------------------------------------*) Procedure Comunica; Begin Writeln('La radice , con l''approssimazione richiesta : ',c:10:n); Writeln; Writeln('--------------------------------------------------') End; (*------------------------------------------------------------------------*) BEGIN (*main*) Repeat Clrscr; Presentazione; Dati; Elabora; Comunica; Write('Ancora? (s/n) '); Readln(risposta); Until risposta in ['n','N'] END.