Sessione ordinaria - Indirizzo P.N.I. 1999
Soluzione quesito 2

a)

  1. Il triangolo VBC è rettangolo con angolo retto in B poiché BC è perpendicolare al piano ABV e quindi anche ad ogni retta del piano ABV che passa per B
  2. Che il triangolo ABV sia rettangolo si può anche verificare applicando il teorema di Pitagora; si scopre facilmente la relazione

 

 

b)

 

c)

 

 

 

d)

La funzione da studiare può essere facilmente dedotta dalla funzione di equazione

 

il cui grafico è

 

Da questo si deduce facilmente il grafico richiesto

 

 

da considerare da 0 a 4 in base alle limitazioni geometriche sulla x.

Tale funzione ha il massimo assoluto per x = 4, che rappresenta la distanza di P da V nel caso richiesto (volume massimo); il volume massimo vale 4 e si ha quando P coincide con A: in tal caso il tetraedro MPQR ha la massima area di base (ABC) e la massima altezza (4).

e)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Effettuando la rotazione suggerita e indicando con D' e B' le posizioni assunte da D e B, osservando la figura si nota come il minimo richiesto (che corrisponde al minimo della somma D'P + PE) si ottenga quando D', P ed E sono allineati.

 

 

 

Risulta:

da cui si ottiene facilmente

N.B.

Allo stesso risultato si può arrivare senza eseguire la rotazione suddetta.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo APE si calcola la misura di PE:

formula1.gif (1158 byte)
Applicando il teorema di Carnot al triangolo VPD (che ha l'angolo in V di 45°) si calcola la misura di PD:

formula2.gif (1268 byte)

Si tratta quindi di determinare il minimo della funzione di equazione

formula3.gif (1208 byte)

Mediante il calcolo delle derivate si arriva alla determinazione del minimo richiesto (x=8/3).