Sessione ordinaria - Indirizzo P.N.I. 1999
Soluzione quesito 2
a)
b)
c)
d)
La funzione da studiare può essere facilmente dedotta dalla funzione di equazione
il cui grafico è
Da questo si deduce facilmente il grafico richiesto
da considerare da 0 a 4 in base alle limitazioni geometriche sulla x.
Tale funzione ha il massimo assoluto per x = 4, che rappresenta la distanza di P da V nel caso richiesto (volume massimo); il volume massimo vale 4 e si ha quando P coincide con A: in tal caso il tetraedro MPQR ha la massima area di base (ABC) e la massima altezza (4).
e)
Effettuando la rotazione suggerita e indicando con D' e B' le posizioni assunte da D e B, osservando la figura si nota come il minimo richiesto (che corrisponde al minimo della somma D'P + PE) si ottenga quando D', P ed E sono allineati.
Risulta:
da cui si ottiene facilmente
N.B.
Allo stesso risultato si può arrivare senza eseguire la rotazione suddetta.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo APE si calcola la misura di PE:
Applicando il teorema di Carnot al triangolo VPD (che ha l'angolo in V di 45°) si calcola
la misura di PD:
Si tratta quindi di determinare il minimo della funzione di equazione
Mediante il calcolo delle derivate si arriva alla determinazione del minimo richiesto (x=8/3).