PROBLEMII problemi di dicembrePROBLEMI

2001

I NUMERI PERFETTI

Euclide, nel VII libro dei suoi Elementi, dà la seguente definizione:

" Si dice perfetto ogni numero uguale alla somma dei suoi divisori" (diversi da se stesso: se includiamo tra i divisori il numero stesso si può dare la seguente definizione: Un numero si dice perfetto se il suo doppio è uguale alla somma di tutti i suoi divisori).

Il più semplice numero perfetto è 6 (6=1+2+3); il secondo dei numeri perfetti è 28 (28=1+2+4+7+14); seguono i numeri 496 e 8128. Questi quattro numeri sono esprimibili nella forma

2n · (2n+1-1)

(ponendo rispettivamente n=1, 2, 4, 6).
Ci si può rendere facilmente conto che non tutti i numeri esprimibili nella forma suddetta sono perfetti: non è perfetto, per esempio, quello che si ottiene con n=3, 120, né quello che si ottiene ponendo n=5, 2016). Si può però dimostrare che sono perfetti tutti quelli per cui (2n+1-1) è un numero primo.

Dopo questa doverosa premessa proponiamo il primo problema del mese, proposto da Luca Terreni

Dimostrare che i numeri della forma

2n · (2n+1-1)

sono perfetti se il secondo fattore è un numero primo.


Prendiamo spunto dalla questione proposta da nostro lettore per un approfondimento sui numeri perfetti.

Teone di Smirne (II sec. d.C.) fece notare che i primi quattro numeri perfetti (6, 28, 496 e 8128) cadono rispettivamente negli intervalli 1-10, 10-102, 102-103, 103-104: tale regola vale anche per il quinto numero perfetto?

Trovare il quinto numero perfetto.

Teone notò un'altra curiosa proprietà, e cioè che i primi numeri perfetti terminano alternativamente per 6 e per 8; pensò che tale proprietà fosse valida in generale ma si sbagliava: tutti i numeri perfetti pari terminano per 6 o per 8 (si tratta di una congettura non ancora dimostrata!) ma non alternativamente; per esempio il quinto ed il sesto terminano per 6, il settimo e l'ottavo per 8.

Molti matematici si occuparono in seguito dei numeri perfetti, ma con Leonardo Fibonacci (XIII sec. d.C.) i numeri perfetti noti con certezza erano ancora i primi quattro, anche se egli afferma che sono in numero infinito (anche questa è una congettura non ancora dimostrata!)

L. Pacioli (1445?-1514?) indica in 9 007 199 187 632 128 il quattordicesimo dei numeri perfetti (tale valore, ottenuto con la formula più volte menzionata con n=26, non è in realtà perfetto!) ma non lascia l'elenco completo.   Egli ebbe ad osservare che "I numeri perfetti sono rari e affascinanti":

Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li imperfecti: cioè superflui e diminuiti.

(superflui sono i numeri la cui somma dei divisori, diversi dal numero stesso, supera il numero stesso, diminuiti quelli maggiori della somma dei divisori).

P.A. Cataldi (1552-1626) dimostrò che otto dei numeri indicati da Pacioli non erano perfetti.

Nel 1638 Cartesio (1596-1650) afferma che tutti i numeri perfetti pari sono del tipo

2n · (2n+1-1)

Tale affermazione è dimostrata da Eulero (1707-1783) che offre l'elenco completo dei primi otto numeri perfetti

Quali sono i primi otto numeri perfetti?

Cartesio ed Eulero non escludevano la possibilità di avere numeri perfetti dispari ed il problema è tuttora aperto: è stato dimostrato che se esiste un numero perfetto dispari deve avere non meno di 300 cifre e deve essere composto da almeno 29 fattori primi.

Quanti sono i numeri perfetti attualmente conosciuti?

Qual è il più grande numero perfetto attualmente conosciuto? A quando risale la sua scoperta?

 

Terminiamo queste note sui numeri perfetti proponendo il secondo problema del mese:

Scrivere un programma in Pascal che permetta di

trovare i numeri perfetti compresi tra due numeri dati

Invitiamo i lettori a proporre altri metodi informatici che consentano di indagare sulle proprietà dei numeri perfetti.


 

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