SOLUZIONISOLUZIONISOLUZIONI
2000
1
Sia A il numero che si scrive usando 1999 volte la
cifra 9 e sia B=1999·A.
La soluzione di Rocco Lupoi
I)
Dai dati del problema, si possono scrivere le seguenti uguaglianze:
A = 99...99 (1999 volte la cifra 9) = 10^1999 - 1
B = 1999*A = (2*10^3 - 1)*(10^1999 – 1) = 2*10^2002 + 1 - (10^1999 + 2*10^3)= 1998(...1995 volte la cifra 9...)8001
La somma delle cifre di B è quindi 1999*9.
Si puo' dimostrare (1), in generale e quindi vale anche nel nostro caso, che
(*) la somma delle cifre dei numeri del tipo k*(10^n - 1) con 1 <= k <= 10^n e' uguale a 9*n.
II)
La dimostrazione che segue si basa sul fatto che la somma delle cifre di un numero multiplo di 9 e' essa stessa, come si puo' facilmente dimostrare, un multiplo di 9 e sul fatto che la somma delle cifre di un numero maggiore
di 9 e' minore del numero stesso.
Essendo A un multiplo di 9, A^B e' un multiplo di 9.
Se A^B > 9, C (la somma delle cifre di A^B) e' un multiplo di 9 minore di A^B.
Se C > 9, D (la somma delle cifre di C) e' un multiplo di 9 minore di C.
Iterando il procedimento, si ha una successione, strettamente decrescente, di multipli di 9.
Ovviamente tale successione termina con il numero 9.
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Ho riportato come nota la prova di (*)in quanto la ritengo una questione interessante da proporre eventualmente ai lettori della rubrica. Dopo aver "intuito" che la relazione trovata come soluzione del punto I del problema poteva valere in generale, ho impiegato alcune ore a trovarne una dimostrazione decente. Sono curioso di vedere se esistono vie diverse per giungere al risultato
(n.d.r: i lettori sono invitati a trovare eventuali soluzioni alternative).Dimostrazione della (*) nella forma "debole"
[***uno spunto per la dimostrazione di questa puo’ essere il seguente: la somma delle cifre di 10^n-1 e’ chiaramente 9*n; se k*(10^n - 1) gode della stessa proprieta’ allora la cosa vale pure per (k+1)*(10^n -1)= k*(10^n -1)+ 10^n -1 in quanto aumentiamo di 1 la cifra di posizione n e diminuiamo di 1 la cifra delle unita’ quindi ...***]
Dimostrazione nella forma "forte".
Per inciso, la proprieta' si presta a quei giochi in cui si "indovinano" numeri o anche come regola per velocizzare le moltiplicazioni del tipo
d_3|d_2|d_1|d_0 * 9999,
che in questo esempio da' come risultato un numero le cui cifre sono
d_3|d_2|d_1|(d_0 - 1)|(9 - d_3)|(9 - d_2)|(9 - d_1)|(10 - d_0).
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(1)Nota.
In effetti vale una proprieta' ancora piu' forte da cui deriva come caso particolare la (*).
Sia N = k*(10^n - 1) con 1<= k <=10^n, proviamo che la somma delle cifre distanti n posizioni è 9.
Cioe' se
N = d_m * 10^m + d_m-1 * 10^ (m - 1)+ ...+ d_n+1 * 10^(n + 1) +d_n * 10^n+ ... + d_1 * 10 + d_0, con m = 2 n
(eventualmente alcuni coefficienti d_i sono nulli, per i = m, m - 1, ...)
d_i + d_n+i = 9, con 0 <= i <= n.
DIM.
Verifichiamo l'affermazione nel caso in cui k = c_0, con 0 <= c_0 <= 9.
Si puo' scrivere N = c_0*(10^n - 1) nella seguente forma:
N = (c_0 - 1) * 10^n + 9 * 10^(n - 1) + ...+ 9*10 + (10 - c_0)
(Si noti che è su equivalenze di questo tipo che si basa la regola delle sottrazioni con "riporto".)
In questo caso abbiamo che
d_0 = (10 - c_0), d_n = (c_0 - 1),
quindi
d_0+d_n = (10 - c_0)+(c_0 - 1) = 9.
Per tutti gli altri coefficienti abbiamo d_1=d_2=... d_n-1=9 e d_n+1=d_n+2=...=d_m=0 quindi, in generale,
d_i=d_n+i per 0 <= i <= n.
Sia, adesso, k = c_h * 10^h + c_h-1 * 10^(h - 1) + ... +c_0, con h < n
N = (c_h * 10^h + c_h-1 * 10^(h - 1) + ... +c_0) * (10^n - 1).
Riscriviamo l'ultima uguaglianza nel seguente modo:
N = c_h * 10^h* (10^n - 1) + (c_h-1 * 10^(h-1) + ... +c_0)* (10^n - 1)
Se la tesi e' vera per h-1, si puo' scrivere N come
N = c_h * 10^h*(10^n - 1) +
+ c_h-1 * 10^(n+h-1) +...+(c_0 - 1) * 10^n + 9 * 10^(n - 1) + ... + 9*10^h +(9 - c_h-1)*10^(h - 1) +...+ (10 - c_0)
Da quest'ultima si ricava che la tesi e' vera anche per h in quanto i coefficienti di 10^h e 10^(n + h) -cioe' l'h-esima e la n+h-esima cifra- sono rispettivamente (9 - c_h) e c_h , mentre tutti gli altri coefficienti non sono variati.
Questo completa la dimostrazione.
La soluzione di Alessandro Bellia
La soluzione di Glauco Cecconi
1)
Si deve moltiplicare 99.........9 per 1999,
(1999 volte)
il che equivale a moltiplicare per 2000 e poi togliere una volta il numero
stesso.
Cominciamo moltiplicando per 2000,ottenendo immediatamente
1/99...9/8/000 [leggi comme se fosse senza "/"]
1- 1998 -1-3 [sono indicate le rispettive volte in cui ogni cifra
viene ripetuta consecutivamente] :in totale sono 2003 cifre.
Adesso occorre sottrarre 19999...98000-
99......9=
______________
199899..98001
[la sottrazione è perfettamente incolonnata]
che scritto come sopra 1/99/8/99..9/8/00/1
1-2 -1- 1995-1-2 -1
La somma totale delle cifre sarà dunque
9*1997+8*2+1*2=17991
Dunque per me la risposta esatta è 17991.
2)
Adesso si deve moltiplicare 99...9 per se stesso 1999 volte:
cioè abbiamo un prodotto con 1999 fattori tutti uguali: la loro
particolarità è di essere chiaramente multipli di 9.
Ricordiamo che ,per le note regole di scomposizione, condizione necessaria
e sufficiente affinchè un numero sia divisibile per 9 è che la somma delle
cifre
sia 9 o multiplo di 9, cioè che iterando la somma delle cifre ad un certo
punto
si ottenga 9 .
Mostriamo che il prodotto di due multipli di 9 da ancora un multiplo di 9:
(n*9)*(m*9)=n*m*9*9=k*9 ,dove k=n*m*9.
Il gioco è fatto: ad ogni prodotto dei 1999 da svolgere otteremo un
multiplo di 9(i fattori sono multipli di 9),ed anche il risultato finale
lo sarà e,per la definizione data sopra lo sarà anche la somma delle sue
cifre, fino ad ottenere 9.
Dunque per me la risposta esatta è 9.
La soluzione di Alessandro Cerquini
1)
A = 101999 – 1
B = (2x103 – 1)( 101999 – 1) = 2x102002 _ 101999 - 2x103 + 1
considerando che: 2x10n
= 10n +10n
10n = 9x10n-1 + 9x10n-2 + ... + 9x10n-m + 10m con 0<m<n
B può essere riscritto (sottraendo le potenze uguali) in questo modo:
B = 102002 +9x102001 +
9x102000 + 81999 +9x101998 + ... + 9x104 +
8x103 + 1
da cui si vede subito che la somma delle cifre è:
Somma = 1 + 9 + 9 + 8 + 9x1995 + 8 + 1 = 9x1999
2)
Poiché un numero è congruo “mod 9” con la somma delle sue cifre si ha che:
A mod 9 = 0 Þ AB mod 9 = 0 Þ D mod 9 =
0 Þ E
mod 9 = 0 etc. etc.
L’ unica cifra congrua mod 9 con zero (oltre lo zero stesso che è chiaramente da escludere) è il nove che quindi è la cifra cercata.
