SOLUZIONISOLUZIONI

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Dimostrare che, per ogni numero naturale n, n³ + 5 n è divisibile per 6.

SOLUZIONE DELL'AUTORE

Dimostrazione per induzione matematica:

1. La proprietà è vera per n=0 (0 è divisibile per 6)

2. supponiamola vera per n: cioè supponiamo che n³ + 5n sia divisibile per 6

3. dimostriamola per n+1

Hp.: n³ + 5 n=6h

Th.: (n+1)³+5(n+1)=6k

Dimostrazione

(n+1)³+5(n+1)= (n³ + 5 n)+(3n²+3n+6)=6h+3n(n+1)

ora notiamo che n(n+1) è divisibile per 2, poichè o è pari n oppure è pari n+1, quindi

3n(n+1) è divisibile per 6 pertanto:

6h+3n(n+1)=6h+6t=6(h+t)=6k

che è ciò che volevamo dimostrare