Area sotto una funzione positiva
Quando una funzione \( f(x) \) è positiva nell'intervallo \([a, b]\), l'area sotto la curva e sopra l'asse delle \( x \) è data dall'integrale definito:
\[ \text{Area} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]Esempio: \( f(x) = x^2 \) in [0, 2]
Calcolo: \[ \int_{0}^{2} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.6667 \]
Area sopra una funzione negativa
Se la funzione \( f(x) \) è negativa nell'intervallo \([a, b]\), l'area tra la curva e l'asse delle \( x \) è data dal valore assoluto dell'integrale definito:
\[ \text{Area} = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx \]Esempio: \( f(x) = x^2 - 2x \) in \([0, 2]\)
Calcolo: \[ \text{Zeri della funzione: } x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0 \implies x = 0, 2 \] \[ \text{La funzione è negativa in } (0, 2) \text{ (parabola rivolta verso l'alto con vertice in } x=1) \] \[ \text{Area} = \left| \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_0^2 \right| = \left| \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - 0 \right| = \left| -\frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \]
Area con cambio di segno
Se la funzione \( f(x) \) cambia segno nell'intervallo \([a, b]\), l'area totale è la somma delle aree calcolate in ogni intervallo delimitato dagli zeri della funzione:
\[ \text{Area totale} = \sum_{i=1}^{n} \left| \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \, dx \right| \]dove \(x_0 = a\), \(x_n = b\) e \(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}\) sono gli zeri di \(f(x)\) in \([a, b]\).
Esempio: \( f(x) = x^3 - 3x \) in [-2, 2]
Calcolo: \[ \text{Zeri in } x = -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3} \] \[ \text{Intervalli:} \] \[ 1) \int_{-2}^{-\sqrt{3}} (x^3-3x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_{-2}^{-\sqrt{3}} = \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) - \left(4 - 6\right) = -\frac{9}{4} + 2 = -\frac{1}{4} \] \[ \text{Area} = \left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4} \] \[ 2) \int_{-\sqrt{3}}^{0} (x^3-3x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_{-\sqrt{3}}^{0} = 0 - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) = \frac{9}{4} \] \[ \text{Area} = \frac{9}{4} \] \[ 3) \int_{0}^{\sqrt{3}} (x^3-3x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) - 0 = -\frac{9}{4} \] \[ \text{Area} = \left|-\frac{9}{4}\right| = \frac{9}{4} \] \[ 4) \int_{\sqrt{3}}^{2} (x^3-3x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2}\right]_{\sqrt{3}}^{2} = \left(4 - 6\right) - \left(\frac{9}{4} - \frac{9}{2}\right) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} \] \[ \text{Area} = \frac{1}{4} \] \[ \text{Area totale} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{20}{4} = 5 \]
Area rispetto all'asse y
Per calcolare l'area tra una funzione \( f(x) \) e l'asse delle \( y \), si può invertire la funzione per esprimerla in termini di \( y \):
\[ \text{Area} = \int_{y_1}^{y_2} x(y) \, dy \]Esempio: \( f(x) = \sqrt{x} \) rispetto all'asse \( y \) tra \( y = 0 \) e \( y = 2 \)
Calcolo dettagliato:
Risultato finale:
\[ \text{Area} = \frac{8}{3} \]Area tra due funzioni
L'area tra due curve \( f(x) \) e \( g(x) \) è data dalla differenza degli integrali:
\[ \text{Area} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \]Esempio: \( f(x) = x \) e \( g(x) = x^2 \) in \([0, 1]\)
Calcolo dettagliato:
Risultato finale:
\[ \text{Area} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \]Area con valore assoluto
La formula rimane la stessa anche se le funzioni non sono sempre positive:
\[ \text{Area} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]Esempio: \( f(x) = \sin(x) \) e \( g(x) = 0 \) in \([0, 2\pi]\)
Calcolo dettagliato:
1) Area positiva \([0, \pi]\):
\[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = \left[ -\cos(x) \right]_0^\pi = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2 \]2) Area negativa \([\pi, 2\pi]\): (prendiamo il valore assoluto)
\[ \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, dx \right| = \left| \left[ -\cos(x) \right]_\pi^{2\pi} \right| = \left| (-\cos(2\pi)) - (-\cos(\pi)) \right| = \left| -1 - (-(-1)) \right| = 2 \]Risultato finale:
\[ \text{Area totale} = 4 \]Area con intersezioni multiple
Se le funzioni si intersecano in più punti, l'area totale è la somma delle aree calcolate separatamente:
\[ \text{Area totale} = \sum_{i=1}^{n-1} \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} (f(x) - g(x)) dx \right| \]Esempio: \( f(x) = x^3 \) e \( g(x) = 4x \) in \([-2, 2]\)
Calcolo dettagliato corretto:
| Intervallo | Test Point | Valore f(x) | Valore g(x) | Funzione superiore |
|---|---|---|---|---|
| \([-2, 0]\) | \(x = -1\) | \((-1)^3 = -1\) | \(4(-1) = -4\) | \(x^3 > 4x\) |
| \([0, 2]\) | \(x = 1\) | \(1^3 = 1\) | \(4(1) = 4\) | \(4x > x^3\) |
1) Intervallo \([-2, 0]\): (\(x^3\) sopra \(4x\)) \[ \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^0 = 0 - \left(\frac{16}{4} - 8\right) = - (4 - 8) = 4 \] Area = 4
2) Intervallo \([0, 2]\): (\(4x\) sopra \(x^3\)) \[ \int_0^2 (4x - x^3)\,dx = \left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4 \] Area = 4
Risultato finale:
\[ \boxed{8} \]Area impropria
Per calcolare l'area di una regione aperta, si usa l'integrale improprio:
\[ \text{Area} = \int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx \]Esempio: Area illimitata sotto \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) per \( x \geq 1 \)
Calcolo dettagliato:
L'area illimitata si riferisce a una regione che si estende infinitamente lungo l'asse x, ma può avere area finita.
⚠️ Attenzione: Non confondere:
1) Calcola l'integrale indefinito:
\[ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C \]2) Applica i limiti:
\[ \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} + \frac{1}{1} \right) \]3) Valuta il limite:
\[ \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} \right) = 0 \quad \text{e} \quad \frac{1}{1} = 1 \]La regione ha:
| Limite superiore (b) | Area approssimata |
|---|---|
| 10 | 0.9 |
| 100 | 0.99 |
| 1000 | 0.999 |
| 10.000 | 0.9999 |
La successione converge chiaramente verso 1.
Risultato finale:
\[ \text{Area} = 1 \]★ Nota fondamentale: Questo esempio dimostra che una regione illimitata può avere area finita. La "illimitatezza" si riferisce al dominio, non necessariamente al valore dell'area.