Risposta corretta: C) 364

Dobbiamo formare un gruppo di 5 studenti con le seguenti condizioni:

• Alice (A) deve essere nel gruppo.
• Barbara (B) deve essere nel gruppo.
• Chiara (C) NON deve essere nel gruppo.

Ci sono 17 studenti in totale nella classe. Alice, Barbara e Chiara sono 3 studentesse specifiche.

Poiché Alice e Barbara sono già "fissate" nel gruppo (occupano 2 posti), e Chiara è esclusa dal gruppo, dobbiamo scegliere i restanti 5 meno 2, ovvero **3 membri** del gruppo.

Questi 3 membri devono essere scelti tra gli studenti che non sono né Alice, né Barbara, né Chiara. Il numero di studenti idonei alla selezione è: (Totale studenti) - (Alice) - (Barbara) - (Chiara) = 17 - 1 - 1 - 1 = **14 studenti**.

Quindi, dobbiamo scegliere 3 studenti dai 14 studenti rimanenti.

Questo è un problema di combinazioni, perché l'ordine non conta. Il numero di modi per scegliere 3 studenti da 14 è dato dalla formula delle combinazioni "14 scegli 3":

\(\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1}\)

Semplifichiamo:

\(\frac{14 \times 13 \times 12}{6} = 14 \times 13 \times (12/6) = 14 \times 13 \times 2 = 182 \times 2 = 364\)

Il numero totale di tali gruppi è **364**.

La risposta corretta è C.

Risposta corretta: B) 90

Le disposizioni senza ripetizione di n oggetti presi k a k si calcolano con la formula:

\(D_{n,k} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)\)

Nel nostro caso, abbiamo n=10 (il numero totale di oggetti) e k=2 (il numero di oggetti da scegliere).

Applichiamo la formula per k=2 elementi:

\(D_{10,2} = 10 \times (10-1) = 10 \times 9 = 90\)

Il numero di disposizioni senza ripetizione di 10 oggetti a 2 a 2 è **90**.

Risposta corretta: A) 151200

Per calcolare il numero di anagrammi di una parola, dobbiamo usare la formula delle **Permutazioni con ripetizione**. Questa formula si applica quando ci sono lettere che si ripetono nella parola.

Passaggi per il calcolo:

1. **Contare il numero totale di lettere (n):** La parola MATEMATICA ha 10 lettere. Quindi, \(n = 10\).

2. **Identificare le lettere ripetute e contare le loro ripetizioni:**

   • La lettera 'M' si ripete 2 volte (\(k_1 = 2\)).
   • La lettera 'A' si ripete 3 volte (\(k_2 = 3\)).
   • La lettera 'T' si ripete 2 volte (\(k_3 = 2\)).
   • Le altre lettere ('E', 'I', 'C') si ripetono 1 volta.

3. **Applicare la formula delle Permutazioni con ripetizione:** La formula è data da:

   \[ P_{n}^{(k_1, k_2, \ldots, k_m)} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_m!} \]

   Dove:

   • \(n\) è il numero totale di elementi (lettere).
   • \(k_1, k_2, \ldots, k_m\) sono il numero di volte che ogni elemento distinto si ripete.

4. **Sostituire i valori e calcolare:** Nel nostro caso: \(n=10\), \(k_1=2\) (per 'M'), \(k_2=3\) (per 'A'), \(k_3=2\) (per 'T').

   \[ P_{10}^{(2, 3, 2)} = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} \]

   Calcoliamo i fattoriali:

   • \(10! = 3.628.800\)
   • \(2! = 2 \times 1 = 2\)
   • \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
   • \(2! = 2 \times 1 = 2\)

   Quindi, il calcolo diventa: \[ P_{10}^{(2, 3, 2)} = \frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3.628.800}{24} \]

   \[ = 151.200 \]

Ci sono **151.200** anagrammi distinti per la parola MATEMATICA.

La risposta corretta è A.

Risposta corretta: D) \(D_{n,k} / k!\)

Le **combinazioni semplici** di \(n\) oggetti presi \(k\) a \(k\) rappresentano il numero di modi in cui possiamo scegliere un sottoinsieme di \(k\) elementi da un insieme di \(n\) elementi distinti, **senza che l'ordine degli elementi scelti abbia importanza**.

Relazione tra Combinazioni e Disposizioni:

Le combinazioni semplici (\(C_{n,k}\) o \(\binom{n}{k}\)) sono strettamente legate alle **disposizioni semplici** (\(D_{n,k}\)).

• Le **Disposizioni semplici (\(D_{n,k}\))** considerano l'ordine. La formula è: \[ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]
• Le **Combinazioni semplici (\(C_{n,k}\))** non considerano l'ordine. Ogni gruppo di \(k\) elementi può essere ordinato in \(k!\) modi diversi. Poiché le disposizioni contano questi \(k!\) ordini come distinti, ma le combinazioni no, dobbiamo dividere il numero delle disposizioni per \(k!\) per eliminare le ripetizioni dovute all'ordine.

Quindi, la formula per le combinazioni semplici è: \[ C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{k!} \]

Sostituendo la formula di \(D_{n,k}\) otteniamo la formula più comune per le combinazioni: \[ C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

La risposta corretta, che esprime la relazione fondamentale tra disposizioni e combinazioni, è **D) \(D_{n,k} / k!\)**.

Risposta corretta: B) 495

Questo è un problema di **Combinazioni con Ripetizione**. Le combinazioni con ripetizione si utilizzano quando dobbiamo scegliere \(k\) elementi da \(n\) tipi diversi, dove l'ordine non è importante e possiamo scegliere più volte lo stesso tipo di elemento.

La Formula:

La formula per le combinazioni con ripetizione di \(n\) oggetti presi \(k\) a \(k\) è data da:

\[ CR_{n,k} = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} \]

Dove:

• \(n\) = numero di tipi distinti di oggetti disponibili. Nel nostro caso, i 5 tipi di frutta (mele, pere, banane, arance, fragole), quindi \(n=5\).
• \(k\) = numero di oggetti da scegliere. Il cliente vuole acquistare 8 frutti, quindi \(k=8\).

Calcolo:

1. Sostituiamo i valori \(n=5\) e \(k=8\) nella formula: \[ CR_{5,8} = \binom{5+8-1}{8} = \binom{12}{8} \]

2. Ora calcoliamo il coefficiente binomiale \(\binom{12}{8}\): \[ \binom{12}{8} = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8!4!} \]

3. Espandiamo i fattoriali e semplifichiamo: \[ \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ = \frac{11880}{24} \] \[ = 495 \]

Ci sono **495** modi diversi in cui il cliente può acquistare 8 frutti.

La risposta corretta è B.

Risposta corretta: C) \(x=7\)

Per risolvere l'equazione \(6 \cdot \binom{x}{5} = \binom{x+2}{5}\), useremo la definizione del coefficiente binomiale \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) e le sue proprietà, in particolare la proprietà \(\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}\).

Passaggi per la risoluzione:

1. Scriviamo entrambi i termini dell'equazione usando la definizione: \[ 6 \cdot \frac{x!}{5!(x-5)!} = \frac{(x+2)!}{5!((x+2)-5)!} \] \[ 6 \cdot \frac{x!}{5!(x-5)!} = \frac{(x+2)!}{5!(x-3)!} \]

2. Possiamo semplificare \(5!\) da entrambi i lati: \[ 6 \cdot \frac{x!}{(x-5)!} = \frac{(x+2)!}{(x-3)!} \]

3. Espandiamo i fattoriali per trovare termini comuni: \[ x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)! \] \[ (x+2)! = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)! \]

4. Sostituimo nelle equazioni e semplifichiamo: \[ 6 \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) = (x+2) \cdot (x+1) \cdot x \cdot (x-1) \] (Nota: abbiamo cancellato \((x-5)!\) a sinistra e \((x-3)!\) a destra, e abbiamo espanso i numeratori fino a raggiungere i termini nel denominatore rimanente.)

   Assumendo \(x \ge 5\) (per la validità di \(\binom{x}{5}\)), possiamo dividere per \(x \cdot (x-1)\) (se \(x \ne 0\) e \(x \ne 1\)): \[ 6 \cdot (x-3)(x-4) = (x+2)(x+1) \]

5. Espandiamo entrambi i lati dell'equazione: \[ 6 \cdot (x^2 - 7x + 12) = x^2 + 3x + 2 \] \[ 6x^2 - 42x + 72 = x^2 + 3x + 2 \]

6. Riordiniamo in un'equazione quadratica: \[ 5x^2 - 45x + 70 = 0 \] Dividiamo per 5: \[ x^2 - 9x + 14 = 0 \]

7. Risolviamo l'equazione quadratica usando la formula o fattorizzando: \[ (x-7)(x-2) = 0 \] Questo ci dà due soluzioni: \(x=7\) o \(x=2\).

Tuttavia, dobbiamo considerare la condizione di esistenza dei coefficienti binomiali. Per \(\binom{x}{5}\), \(x\) deve essere maggiore o uguale a 5 (\(x \ge 5\)).

La soluzione \(x=2\) non soddisfa questa condizione. La soluzione \(x=7\) soddisfa la condizione (\(7 \ge 5\)).

Quindi, la soluzione valida è **\(x=7\)**.

La risposta corretta è C.

Risposta corretta: C) Almeno 4 cifre

Dobbiamo determinare il numero minimo di cifre numeriche da aggiungere alle due lettere per generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi. Poiché è ammessa la ripetizione di lettere e numeri, useremo le **disposizioni con ripetizione**.

Calcolo delle combinazioni per le lettere:

Le prime due posizioni del codice sono occupate da lettere maiuscole dell'alfabeto inglese. L'alfabeto inglese ha 26 lettere. Poiché è ammessa la ripetizione, il numero di scelte per le due lettere è dato dalle disposizioni con ripetizione di 26 oggetti a 2 a 2: \[ D_{26,2}^r = 26^2 = 676 \]

Calcolo delle combinazioni per le cifre:

Le cifre sono comprese tra 0 e 9, quindi ci sono 10 cifre disponibili. Se indichiamo con \(n\) il numero di cifre da impostare nel codice, il numero di combinazioni possibili per le cifre (con ripetizione ammessa) è dato dalle disposizioni con ripetizione di 10 oggetti a \(n\) a \(n\): \[ D_{10,n}^r = 10^n \]

Calcolo totale dei codici e condizione:

Il numero totale di codici unici è dato dal prodotto delle combinazioni di lettere e delle combinazioni di numeri: \[ \text{Totale codici} = (\text{Combinazioni lettere}) \times (\text{Combinazioni numeri}) \] \[ \text{Totale codici} = 676 \times 10^n \]

Vogliamo che questo totale sia almeno 5 milioni (\(5 \cdot 10^6\)): \[ 676 \cdot 10^n \ge 5 \cdot 10^6 \]

Risolviamo per \(10^n\):

\[ 10^n \ge \frac{5 \cdot 10^6}{676} \] \[ 10^n \ge 7409.76... \]

Per trovare il valore minimo di \(n\), possiamo applicare il logaritmo in base 10 a entrambi i lati:

\[ n \ge \log_{10}\left(\frac{5 \cdot 10^6}{676}\right) \] \[ n \ge \log_{10}(5 \cdot 10^6) - \log_{10}(676) \] \[ n \ge (\log_{10}5 + \log_{10}10^6) - \log_{10}676 \] \[ n \ge (0.6989... + 6) - 2.8299... \] \[ n \ge 6.6989... - 2.8299... \] \[ n \ge 3.869... \]

Poiché \(n\) deve essere un numero intero (il numero di cifre), e deve essere almeno 3.869, il valore minimo intero per \(n\) è **4**.

Questo significa che i codici devono essere formati da almeno 2 lettere seguite da almeno 4 cifre, per un totale di almeno 6 caratteri.

La risposta corretta è C.

Risposta corretta: A) 20

Per formare un triangolo, abbiamo bisogno di scegliere 3 vertici. Dato che i punti sono "a 3 a 3 non allineati" (ovvero, non ci sono tre punti che giacciono sulla stessa retta), ogni scelta di 3 punti distinti formerà un triangolo valido.

Concetto Generale:

Quando si seleziona un gruppo di oggetti da un insieme più grande, e **l'ordine con cui gli oggetti vengono scelti non è importante**, si parla di **Combinazioni Semplici**.

Se abbiamo \(n\) oggetti distinti e vogliamo scegliere un sottoinsieme di \(k\) oggetti, il numero di combinazioni semplici è dato dalla formula del coefficiente binomiale: \[ \binom{n}{k} = C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Applicazione al problema:

Nel nostro caso:

• \(n\) = numero totale di punti disponibili = 6.
• \(k\) = numero di punti necessari per formare un triangolo = 3.

Sostituiamo questi valori nella formula delle combinazioni: \[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \]

Calcoliamo i fattoriali:

\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Ora eseguiamo il calcolo:

\[ \binom{6}{3} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20 \]

Pertanto, ci sono **20** triangoli che possono essere formati con 6 punti a 3 a 3 non allineati.

La risposta corretta è A.

Risposta corretta: B) 456.976.000

Dobbiamo calcolare il numero totale di combinazioni possibili per le targhe, composte da due lettere iniziali, tre cifre centrali e due lettere finali, considerando che le ripetizioni sono ammesse e che le lettere sono scelte tra le 26 dell'alfabeto anglosassone. Questo è un classico problema di **disposizioni con ripetizione**.

Calcolo delle possibilità per le lettere:

Le prime due posizioni e le ultime due posizioni sono occupate da lettere. Poiché ci sono 26 lettere disponibili e la ripetizione è ammessa, il numero di modi per scegliere 2 lettere è dato dalle disposizioni con ripetizione di 26 oggetti a 2 a 2: \[ D_{26,2}^r = 26^2 = 676 \] Questo valore si applica sia al blocco iniziale di lettere che a quello finale.

Calcolo delle possibilità per le cifre:

Le tre posizioni centrali sono occupate da cifre. Ci sono 10 cifre disponibili (da 0 a 9). Anche qui, la ripetizione è ammessa, quindi il numero di modi per scegliere 3 cifre è dato dalle disposizioni con ripetizione di 10 oggetti a 3 a 3: \[ D_{10,3}^r = 10^3 = 1000 \]

Calcolo del numero totale di targhe:

Per ottenere il numero totale di automobili che si possono immatricolare, moltiplichiamo le possibilità per ogni sezione della targa: \[ \text{Totale targhe} = (\text{Possibilità lettere iniziali}) \times (\text{Possibilità cifre}) \times (\text{Possibilità lettere finali}) \] \[ \text{Totale targhe} = D_{26,2}^r \cdot D_{10,3}^r \cdot D_{26,2}^r \] \[ \text{Totale targhe} = 676 \cdot 1000 \cdot 676 \] \[ \text{Totale targhe} = 456.976.000 \]

Quindi, in base alle condizioni specificate, si possono immatricolare **456.976.000** automobili.

---

Nota aggiuntiva (Informazioni sulle restrizioni reali):

È interessante notare che, nella pratica, le targhe automobilistiche reali spesso non utilizzano tutte le 26 lettere dell'alfabeto e/o alcune combinazioni specifiche, per evitare confusioni nella lettura (es. non vengono usate le lettere I, O, Q, U per non confonderle con 1, 0, o altre forme grafiche) o per evitare significati indesiderati. Per esempio, se si utilizzassero solo 22 lettere e si escludesse una combinazione specifica come "EE", il calcolo sarebbe: \[ (D_{22,2}^r - 1) \cdot D_{10,3}^r \cdot (D_{22,2}^r - 1) \] \[ (22^2 - 1) \cdot 10^3 \cdot (22^2 - 1) \] \[ (484 - 1) \cdot 1000 \cdot (484 - 1) \] \[ 483 \cdot 1000 \cdot 483 = 233.289.000 \] Tuttavia, la domanda faceva riferimento all'alfabeto anglosassone di 26 lettere senza menzionare eccezioni.

La risposta corretta, basata sulla domanda, è B.

Risposta corretta: C) 3.741

Per formare una cinquina (un insieme di 5 numeri) che contenga specificamente i numeri 11, 22 e 33, dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Sappiamo che la cinquina deve avere 5 numeri. Tre di questi numeri (11, 22, 33) sono già scelti e fissi.

2. Dobbiamo quindi scegliere i restanti \(5 - 3 = 2\) numeri per completare la cinquina.

3. I numeri 11, 22 e 33 sono già stati considerati e non possono essere scelti di nuovo. Il totale dei numeri nell'urna è 90. Quindi, i numeri disponibili da cui scegliere i restanti 2 sono \(90 - 3 = 87\).

4. Poiché l'ordine dei numeri all'interno di una cinquina non ha importanza (una cinquina è un insieme non ordinato di numeri), dobbiamo usare la formula delle **combinazioni semplici**.

Calcolo:

Il numero di modi per scegliere 2 numeri dagli 87 rimanenti è dato dal coefficiente binomiale \(\binom{n}{k}\), dove \(n=87\) e \(k=2\): \[ \binom{87}{2} = \frac{87!}{2!(87-2)!} \] \[ = \frac{87 \times 86}{2 \times 1} \] \[ = 87 \times 43 \] \[ = 3741 \]

Pertanto, ci sono **3.741** cinquine possibili che contengono specificamente i numeri 11, 22 e 33.

La risposta corretta è C.