Test sul Calcolo Combinatorio

📖 Argomenti: Disposizioni, Permutazioni, Combinazioni semplici e con ripetizione, Coefficienti binomiali

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Progresso:

Domanda 1

Una classe è formata da 17 studenti. Se Alice, Barbara e Chiara sono tre studentesse della classe, quanti sono i gruppi da 5 di cui fanno parte sia Alice che Barbara ma non Chiara?

📌 Suggerimento: Alice e Barbara occupano già 2 posti nel gruppo; escludi Chiara dalla scelta. Devi scegliere i restanti 3 posti tra gli studenti che non sono né Alice, né Barbara, né Chiara, usando le combinazioni.

Soluzione:

Dobbiamo formare un gruppo di 5 studenti con le seguenti condizioni: Alice deve essere nel gruppo, Barbara deve essere nel gruppo, Chiara NON deve essere nel gruppo.

Alice e Barbara occupano già 2 posti fissi. Chiara è esclusa. Dobbiamo scegliere i restanti 3 membri tra gli studenti che non sono né Alice, né Barbara, né Chiara:

\[ 17 - 1 - 1 - 1 = 14 \text{ studenti disponibili} \]

Poiché l'ordine non conta, usiamo le combinazioni:

\[ \binom{14}{3} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2184}{6} = 364 \]

Domanda 2

Quale delle seguenti risposte rappresenta le disposizioni senza ripetizione di 10 oggetti a 2 a 2?

📌 Suggerimento: Le disposizioni semplici di \( n \) oggetti a \( k \) a \( k \) si calcolano moltiplicando \( k \) fattori decrescenti a partire da \( n \): \( D_{n,k} = n(n-1)\cdots(n-k+1) \).

Soluzione:

Le disposizioni senza ripetizione di \( n \) oggetti presi \( k \) a \( k \) si calcolano con:

\[ D_{n,k} = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) \]

Con \( n=10 \) e \( k=2 \):

\[ D_{10,2} = 10 \times 9 = 90 \]

Domanda 3

Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?

📌 Suggerimento: MATEMATICA ha 10 lettere, ma alcune si ripetono (M, A, T): usa la formula delle permutazioni con ripetizione, dividendo \( 10! \) per il prodotto dei fattoriali delle molteplicità di ciascuna lettera ripetuta.

Soluzione:

Usiamo la formula delle permutazioni con ripetizione, che si applica quando ci sono lettere che si ripetono.

La parola MATEMATICA ha \( n = 10 \) lettere, con lettere ripetute: 'M' si ripete \( k_1=2 \) volte, 'A' si ripete \( k_2=3 \) volte, 'T' si ripete \( k_3=2 \) volte.

Applichiamo la formula:

\[ P_{10}^{(2,3,2)} = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3.628.800}{24} = 151.200 \]

Domanda 4

Quale delle seguenti risposte indica le combinazioni semplici di \( n \) oggetti a \( k \) a \( k \)?

📌 Suggerimento: Le combinazioni si ottengono dalle disposizioni eliminando l'effetto dell'ordine: dividi il numero delle disposizioni \( D_{n,k} \) per il numero \( k! \) dei modi di ordinare i \( k \) elementi scelti.

Soluzione:

Le combinazioni semplici \( C_{n,k} \) rappresentano il numero di modi per scegliere \( k \) elementi da \( n \), senza che l'ordine abbia importanza.

Le disposizioni semplici \( D_{n,k} \) contano l'ordine:

\[ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Le combinazioni semplici dividono per \( k! \) per eliminare l'ordine:

\[ C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Domanda 5

Un fruttivendolo ha 5 tipi diversi di frutta: mele, pere, banane, arance e fragole. Se un cliente vuole acquistare 8 frutti, in quanti modi diversi può farlo? (L'ordine non ha importanza e i frutti dello stesso tipo sono indistinguibili).

📌 Suggerimento: L'ordine non conta e la ripetizione è ammessa (si possono prendere più frutti dello stesso tipo): è un caso di combinazioni con ripetizione, non di combinazioni semplici.

Soluzione:

Questo è un problema di combinazioni con ripetizione: l'ordine non conta (comprare 3 mele e 2 pere è come comprare 2 pere e 3 mele) e la ripetizione è ammessa (si possono scegliere più frutti dello stesso tipo).

Identifichiamo i parametri: \( n = 5 \) è il numero di tipi di frutta (gli oggetti tra cui scegliere), \( k = 8 \) è il numero di frutti da acquistare (la classe).

Formula delle combinazioni con ripetizione:

\[ CR_{n,k} = \binom{n+k-1}{k} \]

Sostituendo \( n=5 \), \( k=8 \):

\[ CR_{5,8} = \binom{12}{8} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11880}{24} = 495 \]

Domanda 6

La soluzione dell'equazione \( 6 \cdot \binom{x}{5} = \binom{x+2}{5} \) è:

📌 Suggerimento: Scrivi i coefficienti binomiali con la definizione fattoriale e semplifica i fattori comuni tra i due membri; ricorda che deve essere \( x \ge 5 \) perché \( \binom{x}{5} \) abbia senso.

Soluzione:

Scriviamo usando la definizione \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) e semplifichiamo \( 5! \) da entrambi i lati:

\[ 6 \cdot \frac{x!}{(x-5)!} = \frac{(x+2)!}{(x-3)!} \]

Espandendo e semplificando (assumendo \( x \ge 5 \), dividendo per \( x(x-1) \)):

\[ 6(x-3)(x-4) = (x+2)(x+1) \]

Espandiamo:

\[ 6x^2 - 42x + 72 = x^2 + 3x + 2 \] \[ 5x^2 - 45x + 70 = 0 \] \[ x^2 - 9x + 14 = 0 \] \[ (x-7)(x-2) = 0 \]

Le soluzioni sono \( x=7 \) o \( x=2 \). Ma per \( \binom{x}{5} \) serve \( x \ge 5 \), quindi \( x=2 \) è da scartare: resta \( x=7 \).

Domanda 7

Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare due lettere maiuscole dell'alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi?

📌 Suggerimento: Calcola prima quante coppie di lettere puoi formare (con ripetizione), poi trova il più piccolo numero di cifre \( n \) tale che il prodotto con \( 10^n \) superi 5 milioni.

Soluzione:

Le prime due posizioni sono lettere (26 lettere, ripetizione ammessa):

\[ D_{26,2}^r = 26^2 = 676 \]

Le cifre numeriche (10 cifre, ripetizione ammessa) danno \( D_{10,n}^r = 10^n \).

Vogliamo che il totale sia almeno 5 milioni:

\[ 676 \cdot 10^n \ge 5 \cdot 10^6 \quad \Rightarrow \quad 10^n \ge \frac{5 \cdot 10^6}{676} \approx 7409{,}76 \]

Con \( n=3 \): \( 10^3 = 1000 < 7409{,}76 \) ✗
Con \( n=4 \): \( 10^4 = 10000 > 7409{,}76 \) ✓

Servono quindi almeno 4 cifre.

Domanda 8

In un piano sono dati 6 punti a 3 a 3 non allineati. Quanti sono i triangoli che hanno per vertici questi punti?

📌 Suggerimento: Un triangolo è individuato da una scelta di 3 vertici tra i 6 punti; l'ordine con cui li scegli non conta, quindi si tratta di combinazioni semplici, non di disposizioni.

Soluzione:

Per formare un triangolo bisogna scegliere 3 vertici. Poiché i punti sono "a 3 a 3 non allineati", ogni scelta di 3 punti forma un triangolo valido. L'ordine non conta, quindi usiamo le combinazioni semplici:

\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = \frac{720}{36} = 20 \]

Domanda 9

Le targhe automobilistiche italiane sono costituite da 2 lettere, seguite da 3 cifre, seguite a loro volta da 2 lettere. Per evitare confusioni con i numeri, vengono escluse le lettere I (simile a 1), O (simile a 0), Q e U (simili a 0). Le lettere utilizzabili sono quindi 22 su 26. Quante automobili si possono immatricolare in questo modo?

📌 Suggerimento: È un problema di disposizioni con ripetizione: moltiplica le possibilità di ciascun blocco (2 lettere, 3 cifre, 2 lettere), ricordando che le lettere utilizzabili sono 22, non 26.

Soluzione:

È un problema di disposizioni con ripetizione. Le lettere utilizzabili sono 22 (escluse I, O, Q, U per evitare confusioni con le cifre).

2 lettere iniziali (22 lettere, ripetizione ammessa): \( 22^2 = 484 \)
3 cifre centrali (10 cifre, ripetizione ammessa): \( 10^3 = 1000 \)
2 lettere finali (22 lettere, ripetizione ammessa): \( 22^2 = 484 \)

Totale:

\[ 484 \times 1000 \times 484 = 234.256.000 \]

Domanda 10

Nel gioco del Lotto, da un'urna contenente i numeri da 1 a 90, vengono estratti 5 numeri per formare una cinquina. Quante sono le cinquine possibili che contengono specificamente i numeri 11, 22 e 33?

📌 Suggerimento: Tre numeri della cinquina sono già fissati (11, 22, 33): devi scegliere solo i restanti 2 numeri tra gli 87 rimanenti, usando le combinazioni, perché l'ordine di estrazione non conta.

Soluzione:

La cinquina ha 5 numeri: tre sono già fissati (11, 22, 33). Dobbiamo scegliere i restanti 2 tra i \( 90-3=87 \) numeri disponibili.

Poiché l'ordine non conta, usiamo le combinazioni:

\[ \binom{87}{2} = \frac{87 \times 86}{2} = 87 \times 43 = 3741 \]