Equazioni Differenziali a variabili separabili o lineari

Spiegazione Teorica

1. Definizione Generale

   Un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione incognita alle sue derivate. Esse sono fondamentali in matematica, fisica, ingegneria ed economia. La forma generale è:

   \[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \]

   Soluzione Generale e Particolare: La soluzione generale contiene costanti arbitrarie \( C \). Una soluzione particolare si ottiene assegnando valori a tali costanti tramite condizioni specifiche.

   Il Problema di Cauchy

   Consiste in un sistema composto da un'equazione differenziale e da condizioni iniziali:

   \[ \begin{cases} y^{(n)} = F(x, y, \dots) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \]

   Esempio 1
   \( y' = 2x \)

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   Integriamo entrambi i lati:

   \[ \int dy = \int 2x \, dx \implies y = x^2 + C \]

2. Equazioni Differenziali a Variabili Separabili

   Hanno la forma:

   \[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \implies \int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx \]

   Esempio 2
   \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)

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   Separiamo le variabili:

   \[ y \, dy = -x \, dx \]

   Integriamo entrambi i membri:

   \[ \int y \, dy = -\int x \, dx \implies \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + c\] \[ x^2 + y^2 = C \]

   Esempio 3
   Crescita esponenziale \( \frac{dP}{dt} = kP \)

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   \[ \int \frac{dP}{P} = \int k \, dt \implies \ln|P| = kt + C \implies \] \[P(t) = Ae^{kt} \]

3. Equazioni Differenziali Lineari del Primo Ordine

   Hanno la forma:

   \[ y' + p(x)y = q(x) \]

   Si usa il fattore integrante: \( e^{\int p(x) \, dx} \).

   Esempio 4
   \( y' + \frac{1}{x}y = x^2 \) per \( x > 0 \)

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   Fattore integrante: \( e^{\int 1/x dx} = x \). Moltiplicando: \( (xy)' = x^3 \).

   \[ xy = \frac{x^4}{4} + C \implies y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \]

   Esempio 5
   \( y' - y = e^{2x} \)

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   Fattore integrante: \( e^{-x} \). Moltiplicando: \( (e^{-x}y)' = e^{x} \).

   \[ e^{-x}y = e^x + C \implies y = e^{2x} + Ce^x \]