Definizione Generale
Un'**equazione differenziale** è un'equazione che lega una funzione incognita alle sue derivate. Esse sono fondamentali in matematica, fisica, ingegneria ed economia per modellare fenomeni in cui la variazione di una quantità dipende dalla quantità stessa. La forma generale di un'equazione differenziale può essere espressa come:
\[ F(x, y, y', y'', \dots, y^{(n)}) = 0 \]dove \( y \) è la funzione incognita di \( x \), e \( y', y'', \dots, y^{(n)} \) sono le sue derivate di ordine primo, secondo, ..., \( n \)-esimo.
L'**ordine** di un'equazione differenziale è l'ordine della derivata più alta presente nell'equazione. Una soluzione di un'equazione differenziale è una funzione che, sostituita nell'equazione insieme alle sue derivate, la rende un'identità.
Quando si risolve un'equazione differenziale, si ottiene tipicamente una famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione. Questa famiglia è nota come **soluzione generale**. La soluzione generale contiene una o più **costanti arbitrarie** (ad esempio, \( C \) o \( A \) negli esempi successivi), il cui numero è uguale all'ordine dell'equazione differenziale. Queste costanti rappresentano l'indeterminazione intrinseca derivante dalle operazioni di integrazione.
Una **soluzione particolare** è una specifica funzione ottenuta dalla soluzione generale assegnando un valore definito a ciascuna costante arbitraria. Queste costanti vengono solitamente determinate imponendo delle condizioni specifiche alla funzione, come il suo valore in un determinato punto o il valore delle sue derivate in un punto.
Il **Problema di Cauchy**, noto anche come **problema ai valori iniziali**, è un sistema composto da un'equazione differenziale e da un insieme di **condizioni iniziali** che la soluzione deve soddisfare. Le condizioni iniziali specificano il valore della funzione incognita e/o delle sue derivate in un unico punto. Per un'equazione differenziale ordinaria di ordine \( n \), il problema di Cauchy si presenta generalmente come:
\[ \begin{cases} y^{(n)} = F(x, y, y', \dots, y^{(n-1)}) \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_1 \\ \dots \\ y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} \end{cases} \]dove \( F \) è una funzione data, \( x_0 \) è un punto dato, e \( y_0, y_1, \dots, y_{n-1} \) sono valori iniziali dati. Risolvere un Problema di Cauchy significa trovare una e una sola soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi tutte le condizioni iniziali. Il teorema di esistenza e unicità di Cauchy (o Teorema di Picard-Lindelöf per equazioni del primo ordine) garantisce che, sotto opportune ipotesi sulla funzione \( F \), esista un'unica soluzione al problema di Cauchy in un intorno del punto \( x_0 \).
Esempio: \( y' = 2x \)
Questa è un'equazione differenziale del **primo ordine**. Per risolverla, integriamo entrambi i lati rispetto a \( x \):
\[ \frac{dy}{dx} = 2x \] \[ dy = 2x \, dx \] \[ \int dy = \int 2x \, dx \] \[ y = x^2 + C \]Questa è la **soluzione generale**. Ogni valore di \( C \) fornisce una soluzione particolare. Ad esempio, se si impone la condizione iniziale \( y(0) = 0 \), allora \( 0 = 0^2 + C \), da cui \( C=0 \) e la **soluzione particolare** è \( y=x^2 \).
Equazioni Differenziali a Variabili Separabili
Un'equazione differenziale del primo ordine si dice a **variabili separabili** se può essere scritta nella forma:
\[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \]dove \( f(x) \) è una funzione solo di \( x \) e \( g(y) \) è una funzione solo di \( y \). Per risolverla, separiamo le variabili e integriamo:
\[ \frac{dy}{g(y)} = f(x) \, dx \] \[ \int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx \]È importante notare che se \( g(y_0) = 0 \) per qualche \( y_0 \), allora \( y(x) = y_0 \) è una soluzione (soluzione singolare), che potrebbe non essere ottenibile dalla soluzione generale.
Esempio: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \)
Separiamo le variabili:
\[ y \, dy = -x \, dx \]Integriamo entrambi i lati:
\[ \int y \, dy = \int -x \, dx \] \[ \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C' \]Moltiplichiamo per 2 e ridefiniamo la costante \( C = 2C' \):
\[ y^2 = -x^2 + C \] \[ x^2 + y^2 = C \]Questa è l'equazione di una famiglia di circonferenze centrate nell'origine, con raggio \( \sqrt{C} \) (per \( C>0 \)). Se \( C=0 \), la soluzione è il singolo punto \( (0,0) \).
Esempio: Crescita esponenziale \( \frac{dP}{dt} = kP \)
Questa equazione differenziale modella la crescita o il decadimento esponenziale. Separiamo le variabili:
\[ \frac{dP}{P} = k \, dt \]Integriamo entrambi i lati:
\[ \int \frac{1}{P} \, dP = \int k \, dt \] \[ \ln|P| = kt + C \]Per rimuovere il logaritmo, esponenziamo entrambi i lati:
\[ |P| = e^{kt+C} = e^C e^{kt} \]Riscrivendo \( A = \pm e^C \) (con \( A \neq 0 \)), otteniamo la **soluzione generale**:
\[ P(t) = A e^{kt} \]Se \( P=0 \) è una soluzione triviale (\( 0=k \cdot 0 \)), ottenibile dalla soluzione generale ponendo \( A=0 \). Se, ad esempio, poniamo la condizione iniziale \( P(0) = P_0 \), allora \( P_0 = A e^{k \cdot 0} = A \), e la **soluzione particolare** diventa \( P(t) = P_0 e^{kt} \).
Equazioni Differenziali Lineari del Primo Ordine
Un'equazione differenziale lineare del primo ordine ha la forma:
\[ y' + p(x)y = q(x) \]dove \( p(x) \) e \( q(x) \) sono funzioni continue di \( x \). Queste equazioni possono essere risolte usando un **fattore integrante**, che è \( e^{\int p(x) \, dx} \).
Moltiplicando l'intera equazione per il fattore integrante, il lato sinistro diventa la derivata di un prodotto:
\[ e^{\int p(x) \, dx} y' + p(x)e^{\int p(x) \, dx} y = q(x)e^{\int p(x) \, dx} \] \[ \frac{d}{dx} \left( y \cdot e^{\int p(x) \, dx} \right) = q(x)e^{\int p(x) \, dx} \]Integrando entrambi i lati rispetto a \( x \), otteniamo:
\[ y \cdot e^{\int p(x) \, dx} = \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \] \[ y(x) = e^{-\int p(x) \, dx} \left( \int q(x)e^{\int p(x) \, dx} \, dx + C \right) \]Esempio: \( y' + \frac{1}{x}y = x^2 \) per \( x > 0 \)
In questo caso, \( p(x) = \frac{1}{x} \) e \( q(x) = x^2 \).
Calcoliamo il fattore integrante:
\[ \int p(x) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \]Poiché \( x > 0 \), \( \ln|x| = \ln x \). Il fattore integrante è:
\[ e^{\int p(x) \, dx} = e^{\ln x} = x \]Moltiplichiamo l'equazione per \( x \):
\[ x y' + y = x^3 \]Il lato sinistro è la derivata di \( xy \):
\[ \frac{d}{dx} (xy) = x^3 \]Integriamo entrambi i lati rispetto a \( x \):
\[ \int \frac{d}{dx} (xy) \, dx = \int x^3 \, dx \] \[ xy = \frac{x^4}{4} + C \]Infine, isoliamo \( y \):
\[ y(x) = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \]Esempio: \( y' - y = e^{2x} \)
Qui, \( p(x) = -1 \) e \( q(x) = e^{2x} \).
Calcoliamo il fattore integrante:
\[ \int p(x) \, dx = \int -1 \, dx = -x \] \[ e^{\int p(x) \, dx} = e^{-x} \]Moltiplichiamo l'equazione per \( e^{-x} \):
\[ e^{-x} y' - e^{-x} y = e^{-x} e^{2x} \] \[ \frac{d}{dx} (e^{-x} y) = e^x \]Integriamo entrambi i lati rispetto a \( x \):
\[ \int \frac{d}{dx} (e^{-x} y) \, dx = \int e^x \, dx \] \[ e^{-x} y = e^x + C \]Infine, isoliamo \( y \):
\[ y(x) = e^x \cdot e^x + C e^x \] \[ y(x) = e^{2x} + C e^x \]