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Test sulle Funzioni Continue

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1. Classifica i punti di discontinuità della funzione \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x}\).

1. Il dominio della funzione è \(x^2 - x \neq 0 \Rightarrow x(x-1) \neq 0\), quindi \(x \neq 0\) e \(x \neq 1\).
2. Studiamo il comportamento in \(x=0\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 1}{x(x-1)} = \frac{-1}{0^-} = +\infty\) (da destra) o \(\frac{-1}{0^+} = -\infty\) (da sinistra). Poiché il limite è infinito, \(x=0\) è un punto di **discontinuità di seconda specie**.
3. Studiamo il comportamento in \(x=1\):
\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x} = \frac{1+1}{1} = 2\). Poiché il limite esiste ed è finito ma la funzione non è definita in \(x=1\), \(x=1\) è un punto di **discontinuità eliminabile**.
Risposta corretta: A) \(x=0\) discontinuità di seconda specie, \(x=1\) discontinuità eliminabile.

2. Stabilisci se la seguente funzione è continua in \(x=2\):
\(f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{se } x \leq 2 \\ 2x - 1 & \text{se } x > 2 \end{cases}\)

1. Calcoliamo il valore della funzione in \(x=2\): \(f(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\).
2. Calcoliamo il limite sinistro in \(x=2\):
\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3\).
3. Calcoliamo il limite destro in \(x=2\):
\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3\).
4. Poiché \(f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3\), la funzione è continua in \(x=2\).
Risposta corretta: A) La funzione è continua in \(x=2\).

3. Determina il valore di \(k\) affinché la funzione sia continua in \(x=1\):
\(f(x) = \begin{cases} kx^2 + 3 & \text{se } x \leq 1 \\ 2x + 5 & \text{se } x > 1 \end{cases}\)

1. Per la continuità in \(x=1\), devono essere uguali il valore della funzione, il limite sinistro e il limite destro.
Valore della funzione: \(f(1) = k(1)^2 + 3 = k + 3\).
2. Limite sinistro: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (kx^2 + 3) = k(1)^2 + 3 = k + 3\).
3. Limite destro: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 5) = 2(1) + 5 = 7\).
4. Per la continuità, dobbiamo imporre \(k + 3 = 7\).
Risolvendo per \(k\): \(k = 7 - 3 = 4\).
Risposta corretta: C) \(k=4\)

4. La funzione \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) ha almeno una radice reale nell'intervallo \([0, 1]\)?

1. Il Teorema degli Zeri afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\) e \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segni opposti (cioè \(f(a)f(b) < 0\)), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f(c) = 0\).
2. La funzione \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) è un polinomio, quindi è continua su tutto l'intervallo \([0, 1]\).
3. Calcoliamo i valori della funzione agli estremi dell'intervallo:
\(f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1\).
\(f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1\).
4. Poiché \(f(0) = 1\) (positivo) e \(f(1) = -1\) (negativo), \(f(0) \cdot f(1) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0\). Le condizioni del Teorema degli Zeri sono soddisfatte.
Risposta corretta: A) Sì, perché \(f(0)f(1) < 0\).

5. Data la funzione \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), il Teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di un massimo e minimo assoluto nell'intervallo \([0, 3]\)?

1. Il Teorema di Weierstrass afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora la funzione ammette un massimo assoluto e un minimo assoluto in quell'intervallo.
2. La funzione \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\) e, in particolare, sull'intervallo \([0, 3]\).
3. L'intervallo \([0, 3]\) è un intervallo chiuso e limitato.
4. Poiché entrambe le condizioni del Teorema di Weierstrass (funzione continua e intervallo chiuso e limitato) sono soddisfatte, il teorema garantisce l'esistenza di un massimo e un minimo assoluto.
Risposta corretta: A) Sì, perché la funzione è continua e l'intervallo è chiuso e limitato.

6. Quale delle seguenti funzioni ha una discontinuità di prima specie con salto uguale a 2 nel punto indicato?

Una funzione ha una **discontinuità di prima specie (o a salto)** in un punto \(x_0\) se esistono finiti i limiti destro e sinistro in \(x_0\), ma sono diversi tra loro. Il salto è dato da \(| \lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x) |\).
Analizziamo le opzioni:
**A) \(f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \leq 0 \\ x-1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\) in \(x=0\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 0+1 = 1\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-1) = 0-1 = -1\)
Il salto è \(|(-1) - 1| = |-2| = 2\). **Questa è la risposta corretta.**
**B) \(f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{se } x \leq 1 \\ x+3 & \text{se } x > 1 \end{cases}\) in \(x=1\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 2(1)+1 = 3\)
\(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+3) = 1+3 = 4\)
Il salto è \(|4 - 3| = |1| = 1\).
**C) \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) in \(x=2\)**
Il dominio della funzione è \(x \neq 2\). Studiamo il limite per \(x \to 2\):
\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4\).
Poiché il limite esiste finito ma la funzione non è definita nel punto, \(x=2\) è un punto di **discontinuità eliminabile**.
**D) \(f(x) = \frac{1}{x}\) in \(x=0\)**
Calcoliamo i limiti laterali:
\(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)
Poiché i limiti sono infiniti, questa è una **discontinuità di seconda specie**, non di prima specie.
Risposta corretta: A) \(f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{se } x \leq 0 \\ x-1 & \text{se } x > 0 \end{cases}\) in \(x=0\).

7. La funzione \(f(x) = x^2 - x - 1\) sull'intervallo \([0, 2]\) assume tutti i valori compresi tra \(f(0)\) e \(f(2)\)?

1. Il **Teorema dei valori intermedi** (o Teorema di Darboux-Bolzano per le funzioni continue) afferma che se una funzione \(f(x)\) è continua su un intervallo chiuso e limitato \([a, b]\), allora essa assume tutti i valori compresi tra \(f(a)\) e \(f(b)\) (incluso \(f(a)\) e \(f(b)\)).
2. La funzione data, \(f(x) = x^2 - x - 1\), è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\). In particolare, è continua sull'intervallo \([0, 2]\).
3. L'intervallo \([0, 2]\) è un intervallo chiuso e limitato.
4. Poiché entrambe le condizioni del Teorema dei valori intermedi sono soddisfatte (funzione continua e intervallo chiuso e limitato), la funzione assumerà tutti i valori compresi tra \(f(0)\) e \(f(2)\).
Calcoliamo \(f(0)\) e \(f(2)\):
\(f(0) = 0^2 - 0 - 1 = -1\)
\(f(2) = 2^2 - 2 - 1 = 4 - 2 - 1 = 1\)
Quindi, la funzione assume tutti i valori nell'intervallo \([-1, 1]\).
Risposta corretta: A) Sì, perché la funzione è continua sull'intervallo chiuso e limitato.

8. La funzione \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\). Qual è il prolungamento continuo di \(f(x)\) in \(x=0\)?

1. Per trovare il prolungamento continuo di una funzione con discontinuità eliminabile in \(x_0\), dobbiamo definire (o ridefinire) il valore della funzione in \(x_0\) come il limite della funzione per \(x \to x_0\).
2. Nel caso della funzione \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) e del punto \(x=0\), dobbiamo calcolare il limite notevole:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).
3. Poiché il limite esiste ed è finito (e non è necessario che la funzione sia definita in \(x=0\), infatti non lo è), possiamo definire il prolungamento continuo \(g(x)\) come: \[ g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \neq 0 \\ \lim_{x \to 0} f(x) & \text{se } x = 0 \end{cases} \] Nel nostro caso: \[ g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{se } x \neq 0 \\ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases} \]
Risposta corretta: A) \(g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{se } x \neq 0 \\ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases}\)

9. La funzione di equazione \(f(x) = x \cdot \ln x - 1\) ammette almeno una soluzione nell'intervallo:

Per applicare il **Teorema degli Zeri**, la funzione \(f(x)\) deve essere **continua** sull'intervallo chiuso e limitato \([a, b]\) e i valori \(f(a)\) e \(f(b)\) devono avere **segno opposto** (cioè \(f(a) \cdot f(b) < 0\)).
Il dominio della funzione \(f(x) = x \cdot \ln x - 1\) è \(x > 0\). La funzione è continua nel suo dominio.
Analizziamo le opzioni:
**A) \((0, 1]\)**
L'intervallo non è chiuso a sinistra (è aperto in 0). Inoltre, in \(x \to 0^+\), \(\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0\), quindi \(f(x) \to -1\). In \(x=1\), \(f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 = 1 \cdot 0 - 1 = -1\). Poiché \(f(x)\) tende a \(-1\) e \(f(1) = -1\), non c'è un cambio di segno che garantisca una soluzione per il teorema degli zeri.
**B) \([e, e^2]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(e) = e \cdot \ln e - 1 = e \cdot 1 - 1 = e - 1 \approx 1.718 > 0\).
\(f(e^2) = e^2 \cdot \ln (e^2) - 1 = e^2 \cdot 2 - 1 = 2e^2 - 1 \approx 13.778 > 0\).
Poiché \(f(e)\) e \(f(e^2)\) hanno lo stesso segno (entrambi positivi), il teorema degli zeri non è applicabile per garantire una soluzione in questo intervallo.
**C) \([\frac{1}{2}, 1]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2} \cdot (-\ln 2) - 1 = -\frac{\ln 2}{2} - 1 \approx -\frac{0.693}{2} - 1 = -0.3465 - 1 = -1.3465 < 0\).
\(f(1) = 1 \cdot \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1\).
Poiché \(f(\frac{1}{2}) < 0\) e \(f(1) = -1\), non c'è un cambio di segno. Il teorema degli zeri non garantisce una soluzione in questo intervallo.
**D) \([\frac{1}{e}, e]\)**
Calcoliamo i valori agli estremi:
\(f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln(\frac{1}{e}) - 1 = \frac{1}{e} \cdot (-1) - 1 = -\frac{1}{e} - 1 \approx -0.368 - 1 = -1.368 < 0\).
\(f(e) = e \cdot \ln e - 1 = e \cdot 1 - 1 = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718 > 0\).
Poiché \(f(\frac{1}{e}) < 0\) e \(f(e) > 0\), i valori agli estremi hanno segni opposti. La funzione è continua sull'intervallo \([\frac{1}{e}, e]\) (essendo \(1/e > 0\)). Pertanto, per il Teorema degli Zeri, esiste almeno una soluzione in questo intervallo.
Risposta corretta: D) \([\frac{1}{e}, e]\)

10. Il valore di \(k\) per cui la funzione \(f(x)=\frac{e^x-1}{kx}\) ha in \(x=0\) una discontinuità eliminabile è:

Una funzione ha una **discontinuità eliminabile** in \(x=x_0\) se il limite della funzione per \(x \to x_0\) esiste ed è finito, ma la funzione non è definita in \(x_0\) o il suo valore in \(x_0\) è diverso dal limite.
La funzione data è \(f(x)=\frac{e^x-1}{kx}\). Per definizione, il denominatore \(kx\) non può essere zero, quindi dobbiamo imporre che **\(k \neq 0\)**. Se \(k=0\), la funzione non avrebbe senso.
Consideriamo il limite per \(x \to 0\), dato che vogliamo studiare il comportamento della funzione in questo punto: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{kx}\).
Per risolvere questo limite, possiamo riscriverlo come:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{k} \cdot \frac{e^x-1}{x}\).
Sappiamo che \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\) (questo è un **limite notevole**).
Quindi, per ogni \(k \neq 0\), il limite è:
\(\frac{1}{k} \cdot 1 = \frac{1}{k}\).
Poiché questo limite esiste ed è finito per qualsiasi valore di \(k\) diverso da zero, la funzione \(f(x)\) ha una discontinuità eliminabile in \(x=0\) per **ogni \(k \neq 0\)**.
Risposta corretta: C) Qualsiasi \(k \neq 0\)
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