Test sugli integrali definiti

Svolgi l'esercizio, scegli la soluzione fra le quattro proposte e controlla la soluzione guidata premendo (una o due volte) "Mostra passaggi".
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Domanda 1

\(\int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\, dx\)

\(2\) 3 \(2(\sqrt{9} - \sqrt{5})\) \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\)

Soluzione:
1. Sostituzione \( u = x + 2 \) ⇒ \( du = dx \)
2. Nuovi limiti: \( x=7 ⇒ u=9 \), \( x=2 ⇒ u=4 \)
3. Integrale diventa \( \int_{4}^{9} u^{-1/2} du = 2\sqrt{u} \bigg|_{4}^{9} \)
4. Risultato: \( 2(3 - 2) = 2 \)

Domanda 2

\(\int_{0}^{2}\frac{4x}{1+x^2}\, dx\)

\(2\ln 5\) \(\ln 4\) 4 \(4\ln 2\)

Soluzione:
1. Sostituzione \( u = 1 + x^2 \) ⇒ \( du = 2x dx \)
2. Riscrittura: \( 2\int_{1}^{5} \frac{du}{u} \)
3. Risoluzione: \( 2\ln|u| \bigg|_{1}^{5} = 2\ln5 \)

Domanda 3

\(\int_{0}^{1}\frac{3}{x^2+6x+9}\, dx\)

1 \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\ln 2\)

Soluzione:
1. Fattorizzazione: \( (x+3)^2 \)
2. Integrale: \( 3\int_{3}^{4} \frac{du}{u^2} \) (con \( u = x+3 \))
3. Risultato: \( -\frac{3}{u} \bigg|_{3}^{4} = \frac{1}{4} \)

Domanda 4

\(\int_{1}^{e}\ln x\, dx\)

0 \(e\) \(e - 2\) 1

Soluzione:
1. Integrazione per parti: \( u = \ln x \), \( dv = dx \)
2. Risulta: \( x\ln x - x \bigg|_{1}^{e} \)
3. Calcolo: \( (e - e) - (0 - 1) = 1 \)

Domanda 5

\(\int_{0}^{1}xe^x\, dx\)

1 \(e - 1\) \(e\) 0

Soluzione:
1. Integrazione per parti: \( u = x \), \( dv = e^x dx \)
2. Risulta: \( xe^x - e^x \bigg|_{0}^{1} \)
3. Calcolo: \( (e - e) - (0 - 1) = 1 \)

Domanda 6

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\, dx\)

\(\frac{\pi}{2}\) 0 1 \(\frac{\pi}{4}\)

Soluzione:
1. Integrazione per parti: \( u = x \), \( dv = \sin x dx \)
2. Risulta: \( -x\cos x + \sin x \bigg|_{0}^{\pi/2} \)
3. Calcolo: \( (0 + 1) - (0 - 0) = 1 \)

Domanda 7

\(\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\, dx\)

\(\frac{1}{e}\) \(\frac{1}{2}\) 1 \(e^2\)

Soluzione:
1. Sostituzione \( u = \ln x \) ⇒ \( du = \frac{1}{x}dx \)
2. Nuovi limiti: \( u(1) = 0 \), \( u(e) = 1 \)
3. Integrale diventa \( \int_{0}^{1} u\, du = \frac{1}{2}u^2 \bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \)

Domanda 8

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^2 x\, dx\)

\(\frac{\pi}{4}\) 1 \(\ln 2\) \(1 - \frac{\pi}{4}\)

Soluzione:
1. Identità trigonometrica: \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \)
2. Integrale: \( \int (\sec^2 x - 1)dx = \tan x - x \bigg|_{0}^{\pi/4} \)
3. Calcolo: \( (1 - \pi/4) - (0 - 0) = 1 - \pi/4 \)

Domanda 9

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x\cos^3 x\, dx\)

\(\frac{2}{15}\) \(\frac{1}{5}\) \(\frac{\pi}{4}\) 1

Soluzione:
1. Sostituzione \( t = \sin x \) ⇒ \( dt = \cos x dx \)
2. Riscrivi \( \cos^2 x = 1 - t^2 \)
3. Integrale diventa \( \int_{0}^{1} t^2(1 - t^2)dt = \left[\frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5}\right]_0^1 = \frac{2}{15} \)

Domanda 10

\(\int_{-1}^{0}\frac{x+3}{x^2+4x+5}\, dx\)

\(\frac{\pi}{2}\) \(\ln 2\) \(\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{2}\right)+arctan\left(2\right)-\frac{\pi}{4})\) \(e\)

Soluzione:
1. Completa il quadrato: \( x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \)
2. Sostituzione \( u = x + 2 \) ⇒ \( du = dx \)
3. Separazione: \( \int\left(\frac{u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1}\right)du \)
4. Risultato: \( \frac{1}{2}\ln(u^2+1) + \arctan u \bigg|_{-1}^{2}=\frac{1}{2}ln\left(\frac{5}{2}\right)+arctan\left(2\right)-\frac{\pi}{4} \)