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Test sugli integrali definiti

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Domanda 1

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{2}^{7}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\, dx\)

Analisi Matematica:
* Tipo: Integrale di una funzione composta del tipo \( f(g(x)) \cdot g'(x) \).
* Sostituzione: Poniamo \( u = x + 2 \). Questo semplifica il radicando. Derivando otteniamo \( du = dx \).
* Cambiamento Limiti: Fondamentale negli integrali definiti! Se \( x=2 \to u=4 \); se \( x=7 \to u=9 \).
* Calcolo: L'integrale diventa \( \int_{4}^{9} u^{-1/2} du \). La primitiva di \( u^n \) è \( \frac{u^{n+1}}{n+1} \), quindi \( 2\sqrt{u} \).
* Valutazione (Teorema Fondamentale): Si calcola la differenza tra il limite superiore e quello inferiore: \( 2(\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 2(3 - 2) = 2 \).

Domanda 2

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{2}\frac{4x}{1+x^2}\, dx\)

Analisi Matematica:
* Osservazione: Notiamo che al numeratore c'è quasi la derivata del denominatore. La derivata di \( 1+x^2 \) è \( 2x \).
* Manipolazione: Possiamo scrivere l'integrale come \( 2 \cdot \int_{0}^{2} \frac{2x}{1+x^2} \, dx \) per isolare la forma nota \( \frac{f'(x)}{f(x)} \).
* Sostituzione (Opzionale): Ponendo \( u = 1 + x^2 \), si ha \( du = 2x \, dx \).
* Cambiamento Limiti: Per \( x=0 \to u=1 \); per \( x=2 \to u=5 \).
* Risoluzione: L'integrale diventa \( 2\int_{1}^{5} \frac{du}{u} = 2\ln|u| \bigg|_{1}^{5} \).
* Calcolo Finale: \( 2(\ln 5 - \ln 1) = 2\ln 5 \) (dato che \( \ln 1 = 0 \)).

Domanda 3

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{1}\frac{3}{x^2+6x+9}\, dx\)

Analisi Matematica:
* Scomposizione: Riconosciamo che il denominatore è un quadrato di binomio: \( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \).
* Riscrizione: L'integrale può essere scritto come \( 3 \cdot \int_{0}^{1} (x+3)^{-2} \, dx \).
* Integrazione Immediata: Si applica la regola delle potenze \( \int (x+c)^n = \frac{(x+c)^{n+1}}{n+1} \).
* Primitiva: La primitiva è \( 3 \cdot \left[ -\frac{1}{x+3} \right] = -\frac{3}{x+3} \).
* Valutazione: Calcoliamo nei limiti \( 0 \) e \( 1 \): \( \left( -\frac{3}{1+3} \right) - \left( -\frac{3}{0+3} \right) \).
* Calcolo Finale: \( -\frac{3}{4} + \frac{3}{3} = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4} \).

Domanda 4

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{1}^{e}\ln x\, dx\)

Analisi Matematica:
* Strategia: Poiché non conosciamo una primitiva immediata per \(\ln x\), usiamo l'integrazione per parti: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\).
* Scelta delle funzioni: Poniamo \(u = \ln x\) (da cui \(du = \frac{1}{x}dx\)) e \(dv = 1 \cdot dx\) (da cui \(v = x\)).
* Applicazione: L'integrale diventa \([x \ln x] - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = [x \ln x] - \int 1 dx\).
* Primitiva: La primitiva finale è \(F(x) = x \ln x - x\).
* Valutazione: Calcoliamo tra \(1\) ed \(e\):
\(F(e) = e \ln e - e = e(1) - e = 0\).
\(F(1) = 1 \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1\).
* Calcolo Finale: \(F(e) - F(1) = 0 - (-1) = 1\).

Domanda 5

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{1}xe^x\, dx\)

Analisi Matematica:
* Strategia: Usiamo l'integrazione per parti per "abbassare" il grado del polinomio \(x\).
* Scelta delle funzioni: Poniamo il fattore finito \(u = x\) (quindi \(du = dx\)) e il fattore differenziale \(dv = e^x dx\) (quindi \(v = e^x\)).
* Applicazione: Seguendo la formula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), otteniamo: \([xe^x] - \int e^x dx\).
* Primitiva: La primitiva è \(F(x) = xe^x - e^x\), che possiamo scrivere anche come \(e^x(x - 1)\).
* Valutazione: Calcoliamo tra \(0\) e \(1\):
\(F(1) = e^1(1 - 1) = e \cdot 0 = 0\).
\(F(0) = e^0(0 - 1) = 1 \cdot (-1) = -1\).
* Calcolo Finale: \(F(1) - F(0) = 0 - (-1) = 1\).

Domanda 6

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\, dx\)

Analisi Matematica:
* Metodo: Integrazione per parti. Scegliamo \(u = x\) come fattore finito per ridurne il grado tramite derivazione.
* Scelta funzioni: Poniamo \(u = x \implies du = dx\) e \(dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x\).
* Applicazione formula: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\). Otteniamo: \([-x \cos x] - \int (-\cos x) \, dx\).
* Primitiva: \(-x \cos x + \sin x\).
* Valutazione ai limiti:
- Per \(x = \frac{\pi}{2}\): \(-\frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + 1 = 1\).
- Per \(x = 0\): \(-0 \cos(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0\).
* Risultato: \(1 - 0 = 1\).

Domanda 7

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\, dx\)

Analisi Matematica:
* Osservazione: La funzione può essere scritta come \(\int (\ln x) \cdot \frac{1}{x} \, dx\). Notiamo che \(\frac{1}{x}\) è la derivata di \(\ln x\).
* Sostituzione: Poniamo \(u = \ln x\), allora \(du = \frac{1}{x} \, dx\).
* Nuovi Limiti: Se \(x = 1 \implies u = \ln(1) = 0\). Se \(x = e \implies u = \ln(e) = 1\).
* Calcolo: L'integrale diventa \(\int_{0}^{1} u \, du\).
* Integrazione: La primitiva è \(\frac{1}{2}u^2\). Valutando tra \(0\) e \(1\), otteniamo \(\frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2\).
* Risultato: \(\frac{1}{2}\).

Domanda 8

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^2 x\, dx\)

Analisi Matematica:
* Problema: Non conosciamo una primitiva immediata per \(\tan^2 x\), ma conosciamo quella di \(1 + \tan^2 x\) (che è \(\tan x\)) o di \(\sec^2 x\).
* Identità: Usiamo la relazione fondamentale \(\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1\).
* Riscrizione: L'integrale diventa \(\int_{0}^{\pi/4} (1 + \tan^2 x - 1) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} (1 + \tan^2 x) \, dx - \int_{0}^{\pi/4} 1 \, dx\).
* Primitiva: Otteniamo \(F(x) = \tan x - x\).
* Valutazione ai limiti:
- Per \(x = \frac{\pi}{4}\): \(\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
- Per \(x = 0\): \(\tan(0) - 0 = 0\).
* Risultato finale: \(1 - \frac{\pi}{4}\).

Domanda 9

Calcola il valore del seguente integrale definito:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x \cos^3 x\, dx\)

Analisi Matematica:
* Strategia: Poiché il coseno ha esponente dispari, isoliamo un \(\cos x\) per il differenziale: \(\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x\).
* Sostituzione: Poniamo \(t = \sin x\), quindi \(dt = \cos x \, dx\).
* Cambiamento Limiti: Se \(x = 0 \implies t = 0\). Se \(x = \frac{\pi}{2} \implies t = 1\).
* Riscrizione Integrale: L'espressione diventa \(\int_{0}^{1} t^2 (1 - t^2) \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 - t^4) \, dt\).
* Integrazione: Calcoliamo la primitiva: \(\left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1}\).
* Calcolo Finale: \(\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) - 0 = \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}\).

Domanda 10

Risolvi l'integrale fratto con discriminante negativo:

\(\int_{-1}^{0}\frac{x+3}{x^2+4x+5}\, dx\)

Strategia Risolutiva:
* Denominatore: Notiamo che il trinomio non è scomponibile (\(\Delta < 0\)). Completiamo il quadrato: \( x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1 \).
* Sostituzione: Poniamo \( u = x + 2 \), da cui \( x = u - 2 \) e \( dx = du \). I limiti diventano: per \( x=-1 \to u=1 \), per \( x=0 \to u=2 \).
* Scomposizione del Numeratore: Sostituendo \( x \) otteniamo \( \frac{(u-2)+3}{u^2+1} = \frac{u+1}{u^2+1} \). Separiamo in due frazioni: \( \frac{u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1} \).
* Integrazione: 1. Il primo termine è del tipo \( \frac{f'(x)}{f(x)} \), che produce \( \frac{1}{2}\ln(u^2+1) \). 2. Il secondo è l'integrale immediato dell'arcotangente: \( \arctan(u) \).
* Risultato finale: Valutando tra \( 1 \) e \( 2 \) otteniamo: \( \left[ \frac{1}{2}\ln(5) + \arctan(2) \right] - \left[ \frac{1}{2}\ln(2) + \arctan(1) \right] \). Sapendo che \( \arctan(1) = \pi/4 \), il risultato è quello indicato nella risposta C.

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