Applicazioni degli Integrali Indefiniti

\[ F'(x) = 2x + 2 \Rightarrow 2x + 2 = ax + b \] \[ \Rightarrow a=2,\ b=2 \] Risposta corretta: C.

• Ricordiamo che \(F^\prime\left(x\right)=f\left(x\right). \)
• L’opzione A si scarta perché il grafico non passa per l’origine.
• Per 𝑥<2 f è negativa; quindi 𝐹′(𝑥)<0 perciò F decresce per 𝑥<2.
• Per x=2 f(x)=0 quindi F'(x)=0.
• Per \( 2 < x < ;3 \), \( f\left(x\right) > 0 \) quindi \( F'\left(x\right) > 0 \): \( F \) cresce per \( 2 < x <3 \) e pertanto \( F \) ha un minimo relativo in \( x = 2 \).
• Per x=3 f(x)=0 quindi F' (x)=0: x=3 punto stazionario per F.
• Per x>3 f(x)>0 quindi F'(x)>0: F cresce per x>3 perciò il punto stazionario x=3 è un punto di flesso a tangente orizzontale. Ciò esclude le risposte B e D che non mostrano punti di flessi.
• Risposta corretta: C.

L’unica \( F(x) \) la cui derivata è \( f(x) \) è la D.

Verifica:

• A: \( \frac{d}{dx}(e^x + x \cdot e^x) = e^x + e^x + x \cdot e^x \neq x \cdot e^x \)
• B: \( \frac{d}{dx}(\ln(x) + 2) = \frac{1}{x} \neq x \cdot \ln(x) \)
• C: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} \cdot \cos(x)\right) = x \cdot \cos(x) - \frac{x^2}{2} \cdot \sin(x) \neq x \cdot \sin(x) \)
• D: \( \frac{d}{dx}(\arctan(2x) + 1) = \frac{2}{1 + 4x^2} \)

Soluzione

Integrando per parti si ha:

\[ \int \ln(x)dx = x\ln(x) - x + C \] \[ 1 = e\cdot1 - e + C \Rightarrow C = 1 \] Risposta corretta: D

Soluzione

L'unica risposta ERRATA è la C, perché \( \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \)

Soluzione

\[ \int (3x^2 - 1)dx = x^3 - x + C \]

Dal grafico: \( C = 0 \)

Risposta corretta: C

Soluzione

\[ f'(x) = 2e^{2x} + C \] \[ f(x) = e^{2x} + Cx + D \] Ma \[ f(0) =2; 1 + D= 2, D=1\] Inoltre \[ f'(0) =1; 2 + C= 1, C=-1, \] La risposta corretta è la A.

Soluzione

Partiamo dall'accelerazione \( a(t) = (t+3)e^t \) e integriamo per trovare la velocità \( v(t) \).

Per integrare \( a(t) \), usiamo l'integrazione per parti \( \int u dv = uv - \int v du \) con \( u=(t+3) \) e \( dv=e^t dt \). Quindi \( du=dt \) e \( v=e^t \).

\[ v(t) = \int (t+3)e^t dt = (t+3)e^t - \int e^t dt = (t+3)e^t - e^t + C_1 = (t+2)e^t + C_1 \]

Usiamo la condizione \( v(0)=2 \) (all'istante iniziale la velocità è \( 2\ m/s \)):

\[ 2 = (0+2)e^0 + C_1 \Rightarrow 2 = 2 \cdot 1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 0 \]

Quindi, la legge della velocità è: \( v(t) = (t+2)e^t \).

Ora integriamo la velocità per trovare la legge oraria del moto \( s(t) \).

\[ s(t) = \int (t+2)e^t dt \]

Usiamo nuovamente l'integrazione per parti con \( u=(t+2) \) e \( dv=e^t dt \). Quindi \( du=dt \) e \( v=e^t \).

\[ s(t) = (t+2)e^t - \int e^t dt = (t+2)e^t - e^t + C_2 = (t+1)e^t + C_2 \]

Usiamo la condizione \( s(0)=0 \) (all'istante iniziale il punto si trova nell'origine):

\[ 0 = (0+1)e^0 + C_2 \Rightarrow 0 = 1 \cdot 1 + C_2 \Rightarrow C_2 = -1 \]

Quindi, la legge oraria del moto è: \( s(t) = (t+1)e^t - 1 \).

Verifichiamo ora l'ultima condizione: un secondo prima (\( t=-1 \)) il punto si trovava nella posizione \( s=-1 \) (\( s(-1)=-1 \)).

\[ s(-1) = (-1+1)e^{-1} - 1 = 0 \cdot e^{-1} - 1 = 0 - 1 = -1 \]

Tutte le condizioni sono soddisfatte con la legge oraria \( s(t) = (t+1)e^t - 1 \).

Risposta corretta: D.

Soluzione

\[ F''(x) =D(f'(x))= 6x - 12 = 0 \Rightarrow x=2 \] Integrando f(x) trovo \[F(x)=x^3 -6x^2+c \] Ma: \[ F(2) =0 \Rightarrow 8 - 24 + c= 0 \Rightarrow c=16\] Perciò: \[ F(x) = x^3 - 6x^2 + 16 \] Risposta corretta: B.

Soluzione

L'asintoto può essere solo per \[ {x \to -\infty} \] perché per \[ {x \to +\infty} \] tutte le funzioni tendono a \[ { -\infty} \] L'unica funzione che tende a 3 per \[ {x \to -\infty} \] è la D. Infatti: \[ \lim_{x \to -\infty} (-e^x(x - 1) + 3) = 3 \]