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Applicazioni degli Integrali Indefiniti

Svolgi l'esercizio, scegli la soluzione fra le quattro proposte e controlla la soluzione guidata premendo (una o due volte) "Mostra passaggi". In fondo alla pagina premi "Verifica le risposte" per vedere l'esito del test e premi "Ricomincia" per rifare il test.

Domanda 1

Determina a e b tali che \( F(x) = x^2 + 2x \) sia primitiva di \( f(x) = ax + b \):

A) \( \hspace{0.4cm} \) a=2, b=1
B) \( \hspace{0.4cm} \) a=1, b=2
C) \( \hspace{0.4cm} \) a=2, b=2
D) \( \hspace{0.4cm} \) a=2, b=1
\[ F'(x) = 2x + 2 \Rightarrow 2x + 2 = ax + b \] \[ \Rightarrow a=2,\ b=2 \] Risposta corretta: C.

Domanda 2

In figura è rappresentato il grafico di una funzione \( y = f(x) \). Quali dei seguenti grafici rappresenta la sua primitiva \( F(x) \) che passa per l’origine degli assi cartesiani?

A)
B)
C)
D)
  • Ricordiamo che \(F^\prime\left(x\right)=f\left(x\right). \)
  • L’opzione A si scarta perché il grafico non passa per l’origine.
  • Per 𝑥<2 f è negativa; quindi 𝐹′(𝑥)<0 perciò F decresce per 𝑥<2.
  • Per x=2 f(x)=0 quindi F'(x)=0.
  • Per \( 2 < x < ;3 \), \( f\left(x\right) > 0 \) quindi \( F'\left(x\right) > 0 \): \( F \) cresce per \( 2 < x <3 \) e pertanto \( F \) ha un minimo relativo in \( x = 2 \).
  • Per x=3 f(x)=0 quindi F' (x)=0: x=3 punto stazionario per F.
  • Per x>3 f(x)>0 quindi F'(x)>0: F cresce per x>3 perciò il punto stazionario x=3 è un punto di flesso a tangente orizzontale. Ciò esclude le risposte B e D che non mostrano punti di flessi.
  • Risposta corretta: C.

Domanda 3

Scegli la coppia funzione \( f \) - primitiva \( F \):

A) \( \hspace{0.4cm} f(x) = x \cdot e^x, \quad F(x) = e^x + x \cdot e^x \)
B) \( \hspace{0.4cm} f(x) = x \cdot \ln(x), \quad F(x) = \ln(x) + 2 \)
C) \( \hspace{0.4cm} f(x) = x \cdot \sin(x), \quad F(x) = \frac{x^2}{2} \cdot \cos(x) \)
D) \( \hspace{0.4cm} f(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}, \quad F(x) = \arctan(2x) + 1 \)

L’unica \( F(x) \) la cui derivata è \( f(x) \) è la D.

Verifica:

  • A: \( \frac{d}{dx}(e^x + x \cdot e^x) = e^x + e^x + x \cdot e^x \neq x \cdot e^x \)
  • B: \( \frac{d}{dx}(\ln(x) + 2) = \frac{1}{x} \neq x \cdot \ln(x) \)
  • C: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} \cdot \cos(x)\right) = x \cdot \cos(x) - \frac{x^2}{2} \cdot \sin(x) \neq x \cdot \sin(x) \)
  • D: \( \frac{d}{dx}(\arctan(2x) + 1) = \frac{2}{1 + 4x^2} \)

Domanda 4

Primitiva di \( \ln(x) \) passante per \( (e, 1) \):

A) \( \hspace{0.4cm} x\ln(x) - x \)
B) \( \hspace{0.4cm} x\ln(x) - 1 \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ln(x) \)
D) \( \hspace{0.4cm} x\ln(x) - x + 1 \)

Soluzione

Integrando per parti si ha:

\[ \int \ln(x)dx = x\ln(x) - x + C \] \[ 1 = e\cdot1 - e + C \Rightarrow C = 1 \] Risposta corretta: D

Domanda 5

Quale uguaglianza è ERRATA?

A) \( \hspace{0.4cm} \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C \)
B) \( \hspace{0.4cm} \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \)
C) \( \hspace{0.4cm} \int \cos(x) dx = -\sin(x) + C \)
D) \( \hspace{0.4cm} \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C \)

Soluzione

L'unica risposta ERRATA è la C, perché \( \int \cos(x) dx = \sin(x) + C \)

Domanda 6

Trova l’equazione della funzione rappresentata nel grafico sapendo che è una primitiva di \( f(x) = 3x^2 - 1 \):

A) \( \hspace{0.4cm} \ x^3 - x + 1 \)
B) \( \hspace{0.4cm} \ 3x^3 - x \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ x^3 - x \)
D) \( \hspace{0.4cm} \ x^2 + x \)

Soluzione

\[ \int (3x^2 - 1)dx = x^3 - x + C \]

Dal grafico: \( C = 0 \)

Risposta corretta: C

Domanda 7

Determina \( f(x) \) con \( f''(x) = 4e^{2x} \), \( f'(0) = 1 \), \( f(0) = 2 \):

A) \( \hspace{0.4cm} \ e^{2x} - x + 1 \)
B) \( \hspace{0.4cm} \ 2e^{2x} - x \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ e^{2x} + 2x \)
D) \( \hspace{0.4cm} \ 4e^{2x} + x - 2 \)

Soluzione

\[ f'(x) = 2e^{2x} + C \] \[ f(x) = e^{2x} + Cx + D \] Ma \[ f(0) =2; 1 + D= 2, D=1\] Inoltre \[ f'(0) =1; 2 + C= 1, C=-1, \] La risposta corretta è la A.

Domanda 8

Un punto si muove lungo l’asse x con accelerazione \( a\left(t\right)=\left(2+t\right)e^t \). Determina la legge oraria del moto \( s\left(t\right) \), sapendo che all’istante iniziale il punto si trova nell’origine da dove parte con velocità di \( 2\ m/s \) e che un secondo prima si trovava nella posizione s=-1

A) \( \hspace{0.4cm} \ (t + 1)e^t \)
B) \( \hspace{0.4cm} \ t e^t + t \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ (t - 2)e^t + t + 2 \)
D) \( \hspace{0.4cm} \ (t + 1)e^t -1 \)

Soluzione

Integrazione per parti due volte:

\[ v(t) = (t + 1)e^t + C \] \[ v(0)=2, 1+C=2, C=1 \] quindi \[ v(t) = (t + 1)e^t + 1 \] \[ s(t) = e^t(t+1) + Dt+E \] ma \[ s(0)=0, 1+E=0, E=-1 \] quindi \[ s(t) = (t + 1)e^t +Dt- 1 \] Essendo \[s(-1)=-1 \] si ha: \[ -1=-D-1 \] quindi \[ D=0 \] La risposta corretta è la D.

Domanda 9

Primitiva di \( 3x^2 - 12x \) con flesso di ordinata nulla:

A) \(\hspace{0.4cm} \ x^3 - 6x^2 \)
B) \( \hspace{0.4cm} \ x^3 - 6x^2 + 16 \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ x^3 - 6x^2 + 4 \)
D) \( \hspace{0.4cm} \ x^3 - 6x^2 + 12x \)

Soluzione

\[ F''(x) =D(f'(x))= 6x - 12 = 0 \Rightarrow x=2 \] Integrando f(x) trovo \[F(x)=x^3 -6x^2+c \] Ma: \[ F(2) =0 \Rightarrow 8 - 24 + c= 0 \Rightarrow c=16\] Perciò: \[ F(x) = x^3 - 6x^2 + 16 \] Risposta corretta: B.

Domanda 10

Primitiva di \( -xe^x \) con asintoto y=3:

A) \(\hspace{0.4cm} \ -e^x(x + 1) \)
B) \( \hspace{0.4cm} \ -e^x(x - 1) + 4 \)
C) \( \hspace{0.4cm} \ -e^x(x) + 3x \)
D) \( \hspace{0.4cm} \ -e^x(x + 1) + 3 \)

Soluzione

L'asintoto può essere solo per \[ {x \to -\infty} \] perché per \[ {x \to +\infty} \] tutte le funzioni tendono a \[ { -\infty} \] L'unica funzione che tende a 3 per \[ {x \to -\infty} \] è la D. Infatti: \[ \lim_{x \to -\infty} (-e^x(x + 1) + 3) = 3 \]

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