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Test sugli Integrali Indefiniti con Soluzioni Guidate


Svolgi l'esercizio, scegli la soluzione dal menu a tendina e controlla la soluzione guidata. Puoi verificare se la soluzione è corretta cliccando sul bottone in basso "Verifica risposte": se la risposta si colora di verde è corretta se si colora di rosso è errata. Cliccando sul bottone in basso "Azzera risposte" puoi riprovare il Test.

1. \(\displaystyle\int x \sqrt[3]{2 + 5x^2}\,dx\)

Passaggi:

1. Sostituzione \( u = 2 + 5x^2 \)

2. Differenziale \( du = 10x\,dx \Rightarrow x\,dx = \frac{du}{10} \)

3. Sostituisci: \( \frac{1}{10}\int u^{1/3}\,du \)

4. Integra: \( \frac{1}{10} \cdot \frac{3}{4}u^{4/3} + C \)

5. Risultato: \( \frac{3}{40}(2+5x^2)^{4/3} + C \)

2. \(\int\frac{2x+5}{2x+1}\,dx\)

Passaggi:

1. Dividi: \( \frac{2x+5}{2x+1} = 1 + \frac{4}{2x+1} \)

2. Separa: \( \int 1\,dx + 4\int\frac{1}{2x+1}\,dx \)

3. Integra: \( x + 2\ln|2x+1| + C \)

3. \(\int\frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\)

Passaggi:

1. Sostituzione \( u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \)

2. Riscrivi: \( \frac{1}{2}\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}} \)

3. Soluzione: \( \frac{1}{2}\arcsin(u) + C \)

4. Sostituisci: \( \frac{1}{2}\arcsin(x^2) + C \)

4. \(\int\frac{1}{9+x^2}\,dx\)

Passaggi:

1. Formula diretta: \( \int\frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C \)

2. Sostituisci \( a = 3 \):

3. Risultato: \( \frac{1}{3}\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C \)

5. \(\int\frac{4x^4+8x^2+x+3}{2x^2+1}\,dx\)

Passaggi:

1. Dividi il polinomio: \( 2x^2 + 3 + \frac{x}{2x^2+1} \)

2. Separa gli integrali:

3. \( 2\int x^2\,dx + 3\int dx + \frac{1}{2}\int\frac{2x}{2x^2+1}\,dx \)

4. Risultati parziali: \( \frac{2}{3}x^3 + 3x + \frac{1}{4}\ln|2x^2+1| + C \)

6. \(\int\frac{2x-7}{x^2-x-2}\,dx\)

Passaggi:

1. Fattorizza denominatore: \( (x-2)(x+1) \)

2. Decomposizione in fratti semplici:

3. \( \frac{3}{x+1} + \frac{-1}{x-2} \)

4. Integra: \( 3\ln|x+1| - \ln|x-2| + C \)

5. Risultato: \( \ln\left|\frac{(x+1)^3}{x-2}\right| + C \)

7. \(\int\sqrt{e^x-4}\,dx\)

Passaggi:

1. Sostituzione \( t = \sqrt{e^x-4} \Rightarrow x = \ln(t^2+4) \)

2. Differenziale \( dx = \frac{2t}{t^2+4}\,dt \)

3. Integrale diventa: \( \int t \cdot \frac{2t}{t^2+4}\,dt \)

4. Semplifica: \( 2\int\frac{t^2}{t^2+4}\,dt = 2\int\left(1-\frac{4}{t^2+4}\right)dt \)

5. Risultato: \( 2t - 8\cdot\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C \)

6. Sostituisci \( t \): \( 2\sqrt{e^x-4} - 4\arctan\left(\frac{\sqrt{e^x-4}}{2}\right) + C \)

8. \(\int e^{-2x}\sin{x}\,dx\)

Passaggi:

1. Integrazione per parti due volte

2. Prima integrazione: \( u = e^{-2x}, dv = \sin{x}\,dx \)

3. Ottieni: \( -\frac{1}{5}e^{-2x}(2\sin{x} + \cos{x}) + C \)

9. \(\int 3x^2\arctan{x}\,dx\)

Passaggi:

1. Integrazione per parti: \( u = \arctan{x}, dv = 3x^2\,dx \)

2. Calcola \( du = \frac{1}{1+x^2}\,dx \), \( v = x^3 \)

3. Ottieni: \( x^3\arctan{x} - \int\frac{x^3}{1+x^2}\,dx \)

4. Semplifica l'integrale residuo: \( \int (x - \frac{x}{1+x^2})\,dx \)

5. Risultato finale: \( x^3\arctan{x} - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \)

10. \(\int\frac{1}{x(\ln^2{x}+4\ln{x}+5)}\,dx\)

Passaggi:

1. Sostituzione \( u = \ln{x} + 2 \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx \)

2. Denominatore diventa: \( u^2 + 1 \)

3. Integrale diventa: \( \int\frac{1}{u^2+1}\,du \)

4. Risultato: \( \arctan{u} + C = \arctan(\ln{x}+2) + C \)

 

INDICE TEST