🏗️ Integrazione Numerica

Questo metodo permette di calcolare in modo approssimato ∫ₐᵇ f(x) dx: 1. Suddivisione dell'intervallo [a, b] in n parti uguali: ➔ h = (b - a)/n (ampiezza passo) 2. Calcolo delle aree dei trapezi: ▷ Area trapezio i-esimo: (f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)) * h / 2 3. Formula composita: Tₙ = h/2 [f(x₀) + 2(f(x₁) + f(x₂) + ... + f(xₙ₋₁)) + f(xₙ)] 4. Errore: metodo più preciso di quello dei rettangoli.

Questo metodo permette di calcolare in modo approssimato ∫ₐᵇ f(x) dx: Due varianti principali (per funzione crescente): ❶ Rettangoli inscritti (somma inferiore): approssimazione per difetto ❷ Rettangoli circoscritti (somma superiore): approssimazione per eccesso Procedimento: 1. Suddivisione in n intervalli: h = (b - a)/n 2. Scelta del punto campione: - Inscritti: punto iniziale (xᵢ) - Circoscritti: punto finale (xᵢ₊₁) Formule: ▷ R(i)= h * Σ f(xᵢ) per i = 0 a n-1 (inscritti) ▷ R(c) = h * Σ f(xᵢ) per i = 1 a n (circoscritti) Due varianti principali (per funzione decrescente): ❶ Rettangoli inscritti (somma inferiore): approssimazione per difetto ❷ Rettangoli circoscritti (somma superiore): approssimazione per eccesso Procedimento: 1. Suddivisione in n intervalli: h = (b - a)/n 2. Scelta del punto campione: - Circoscritti: punto iniziale (xᵢ) - Inscritti: punto finale (xᵢ₊₁) Formule: ▷ R(c)= h * Σ f(xᵢ) per i = 0 a n-1 (circoscritti) ▷ R(i) = h * Σ f(xᵢ) per i = 1 a n (inscritti) Si prende come valore approssimato dell'integrale la media aritmetica. Media: (R(i) + R(c))/2. Errore: metodo meno preciso di quello dei trapezi.

Rappresentiamo, come aiuto grafico, la funzione (che è un'iperbole equilatera traslata) insieme alla regione la cui area è data dall'integrale da calcolare. Calcolo analitico: ∫₂⁴ 1/(x-1) dx = [ln|x-1|]₂⁴ = ln(3) - ln(1) = ln(3) ≈ 1.0986

Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. METODO DEI TRAPEZI (n=5): h = (4-2)/5 = 0.4 x₀=2.0 (1.0000) x₁=2.4 (0.7143) x₂=2.8 (0.5556) x₃=3.2 (0.4545) x₄=3.6 (0.3846) x₅=4.0 (0.3333) T₅ = 0.4/2 × [1 + 2(0.7143 + 0.5556 + 0.4545 + 0.3846) + 0.3333] = 0.2 × [1 + 4.218 + 0.3333] = 0.2 × 5.5513 ≈ 1.11

METODO DEI RETTANGOLI (n=5): h = 0.4 Rettangoli inscritti. Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. 2.4 (0.7143) 2.8 (0.5556) 3.2 (0.4545) 3.6 (0.3846) 4.0 (0.3333) Somma = 0.7143 + 0.5556 + 0.4545 + 0.3846 + 0.3333 = 2.4423 R(i) = 0.4 × 2.4423 ≈ 0.98 Rettangoli circoscritti. Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. 2.0 (1.0000) 2.4 (0.7143) 2.8 (0.5556) 3.2 (0.4545) 3.6 (0.3846) Somma = 1 + 0.7143 + 0.5556 + 0.4545 + 0.3846 = 3.109 R(c) = 0.4 × 3.109 ≈ 1.24 Media: (1.24 + 0.98)/2 = 1.11

Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. Funzione: f(x) = e−¹₂x² Intervallo: [0, 1], n=5 Parametri: h = ^{1 − 0}₅ = 0.2 Punti di suddivisione: x₀=0.0, x₁=0.2, x₂=0.4, x₃=0.6, x₄=0.8, x₅=1.0 Calcolo valori: f(0.0) = e⁰ = 1.0000 f(0.2) = e−¹₂(0.2)² ≈ 0.9802 f(0.4) = e−¹₂(0.4)² ≈ 0.9231 f(0.6) = e−¹₂(0.6)² ≈ 0.8353 f(0.8) = e−¹₂(0.8)² ≈ 0.7261 f(1.0) = e−¹₂(1.0)² ≈ 0.6065 Applicazione formula: T₅ = 0.2/2 × [1 + 2×(0.9802 + 0.9231 + 0.8353 + 0.7261) + 0.6065] = 0.1 × [1 + 2×3.4647 + 0.6065] = 0.1 × [1 + 6.9294 + 0.6065] = 0.1 × 8.5359 ≈ 0.8536 ≈ 0.85

Funzione: f(x) = e−¹₂x² Intervallo: [0, 1], n=5 Parametri: h = 0.2 Rettangoli inscritti. Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. 0.2 (e−¹₂(0.2)²), 0.4 (e−¹₂(0.4)²), 0.6 (e−¹₂(0.6)²), 0.8 (e−¹₂(0.8)²), 1.0 (e−¹₂(1.0)²) Somma = 0.9802 + 0.9231 + 0.8353 + 0.7261 + 0.6065 = 4.0712 R(i) = 0.2 × 4.0712 ≈ 0.8142 ≈ 0.81 Rettangoli circoscritti. Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. 0.0 (1.0000), 0.2 (e−¹₂(0.2)²), 0.4 (e−¹₂(0.4)²), 0.6 (e−¹₂(0.6)²), 0.8 (e−¹₂(0.8)²) Somma = 1 + 0.9802 + 0.9231 + 0.8353 + 0.7261 = 4.4647 R(c) = 0.2 × 4.4647 ≈ 0.8929 ≈ 0.89 Media dei due metodi: (0.89 + 0.81)/2 = 0.85

1. Riscriviamo il denominatore completando il quadrato: x2+4x+5 = (x+2)2 + 1 2. L'integrale diventa: ∫_-2^-11_(x+2)2+1dx 3. Riconosciamo la forma ∫¹_u2+1du = arctan(u) + C 4. Calcoliamo: [arctan(x+2)]_-2^-1 = arctan(1) - arctan(0) = ^π₄ - 0 = ^π₄ ≈ 0.7854

Abbiamo indicato il grafico della funzione, per comodità visiva, anche se non è necessario per il calcolo richiesto. Consideriamo la funzione f(x) = ¹_x2+4x+5 e calcoliamo ∫_-2^-1f(x)dx con n=5: 1. Calcolo passo h: h = ^{-1 - (-2)}₅ = ¹₅ = 0.2 2. Punti di suddivisione: x₀ = -2.0, x₁ = -1.8, x₂ = -1.6, x₃ = -1.4, x₄ = -1.2, x₅ = -1.0 3. Valori della funzione: f(-2.0) = 1/((-2)2+4(-2)+5) = 1/(4-8+5) = 1 f(-1.8) ≈ 0.9615  f(-1.6) ≈ 0.8621 f(-1.4) ≈ 0.7353  f(-1.2) ≈ 0.6098 f(-1.0) = 1/(1 + (-4)+5) = 0.5 4. Applicazione formula: T₅ = 0.2 × [^{1 + 0.5}₂ + 0.9615 + 0.8621 + 0.7353 + 0.6098] = 0.2 × [0.75 + 3.1687] = 0.2 × 3.9187 ≈ 0.784

Consideriamo la funzione f(x) = ¹_x2+4x+5 e calcoliamo ∫_-2^-1f(x)dx con n=5. Calcolo passo h: h = ^{-1 - (-2)}₅ = ¹₅ = 0.2 1. Rettangoli inscritti. Valori: f(-1.8)≈0.9615, f(-1.6)≈0.8621, f(-1.4)≈0.7353, f(-1.2)≈0.6098, f(-1.0)=0.5 Somma = 0.9615 + 0.8621 + 0.7353 + 0.6098 + 0.5 = 3.6687 R(i)= 0.2 × 3.6687 ≈ 0.7337 2. Rettangoli circoscritti. Valori: f(-2.0)=1, f(-1.8)≈0.9615, f(-1.6)≈0.8621, f(-1.4)≈0.7353, f(-1.2)≈0.6098 Somma = 1 + 0.9615 + 0.8621 + 0.7353 + 0.6098 = 4.1687 R(c) = 0.2 × 4.1687 ≈ 0.8337 3. Media dei due metodi: R = ^{0.8337 + 0.7337}₂ ≈ 0.7837 ≈ 0.784

Mostriamo il grafico, anche se non richiesto: 1. Riscriviamo la funzione: √^1−x_1+x = ^1−x_√1−x2 2. Separiamo l'integrale: ∫¹_√1−x2dx − ∫^x_√1−x2dx 3. Calcoliamo le primitive: = arcsin(x) + √1−x2 +C 4. Valutiamo tra 0 e 1: [arcsin(1) + 0] − [arcsin(0) + 1] = ^π₂ − 1 ≈ 0.5708

Mostriamo il grafico, anche se non richiesto: Parametri: h = ¹⁻⁰₅ = 0.2 x₀=0, x₁=0.2, x₂=0.4, x₃=0.6, x₄=0.8, x₅=1 Valori funzione: f(0) = 1  f(0.2) ≈ 0.816 f(0.4) ≈ 0.655 f(0.6) ≈ 0.5 f(0.8) ≈ 0.333 f(1) = 0 Applicazione formula: T₅ = 0.2 × [¹⁺⁰₂ + 0.816 + 0.655 + 0.5 + 0.333] = 0.2 × [0.5 + 2.304] = 0.2 × 2.804 ≈ 0.561

1. Rettangoli inscritti. Mostriamo il grafico, anche se non richiesto: Parametri: h = ¹⁻⁰₅ = 0.2 x₀=0, x₁=0.2, x₂=0.4, x₃=0.6, x₄=0.8, x₅=1 Valori funzione: f(0) = 1  f(0.2) ≈ 0.816 f(0.4) ≈ 0.655 f(0.6) ≈ 0.5 f(0.8) ≈ 0.333 f(1) = 0 Somma = 0.816 + 0.655 + 0.5 + 0.333 + 0 = 2.304 R(i) = 0.2 × 2.304 ≈ 0.4608 2. Rettangoli circoscritti. Mostriamo il grafico, anche se non richiesto: Somma = 1 + 0.816 + 0.655 + 0.5 + 0.333 = 3.304 R(c)= 0.2 × 3.304 ≈ 0.6608 3. Media dei due metodi: R = ^{0.6608 + 0.4608}₂ ≈ 0.5608 ≈ 0.561