Versione standard con soluzioni dettagliate

🏗️ Integrazione Numerica

💡 Per una visualizzazione ottimale dei grafici e delle formule, se stai usando lo smartphone disponilo orizzontalmente.

Clicca sul bottone per vedere l'argomento corrispondente. Riclicca sullo stesso bottone per chiudere la sezione aperta. In fondo alla pagina trovi il collegamento ad un Questionario sull'Integrazione Numerica.

a) Metodi di integrazione numerica

Metodo dei Trapezi

Questo metodo permette di calcolare in modo approssimato \(\int_a^b f(x)\, dx\):

1. Suddivisione dell'intervallo \([a, b]\) in \(n\) parti uguali:
➔ \(h = \dfrac{b-a}{n}\) (ampiezza passo)

2. Calcolo delle aree dei trapezi:
▷ Area trapezio \(i\)-esimo: \(\dfrac{(f(x_i) + f(x_{i+1})) \cdot h}{2}\)

3. Formula composita: \[ T_n = \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\bigl(f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1})\bigr) + f(x_n) \right] \]

4. Errore: metodo più preciso di quello dei rettangoli.

Metodo dei Rettangoli

Questo metodo permette di calcolare in modo approssimato \(\int_a^b f(x)\, dx\).

Due varianti principali (per funzione crescente):
① Rettangoli inscritti (somma inferiore): approssimazione per difetto
② Rettangoli circoscritti (somma superiore): approssimazione per eccesso

Procedimento:
1. Suddivisione in \(n\) intervalli: \(h = \dfrac{b-a}{n}\)
2. Scelta del punto campione:
- Inscritti: punto iniziale \(x_i\)
- Circoscritti: punto finale \(x_{i+1}\)

Formule: \[ R_i = h \cdot \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \quad \text{(inscritti)} \] \[ R_c = h \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \quad \text{(circoscritti)} \]

Due varianti principali (per funzione decrescente):
① Rettangoli inscritti (somma inferiore): approssimazione per difetto
② Rettangoli circoscritti (somma superiore): approssimazione per eccesso

Procedimento:
1. Suddivisione in \(n\) intervalli: \(h = \dfrac{b-a}{n}\)
2. Scelta del punto campione:
- Circoscritti: punto iniziale \(x_i\)
- Inscritti: punto finale \(x_{i+1}\)

Formule: \[ R_c = h \cdot \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \quad \text{(circoscritti)} \] \[ R_i = h \cdot \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \quad \text{(inscritti)} \]

Si prende come valore approssimato dell'integrale la media aritmetica: \[ \text{Media} = \frac{R_i + R_c}{2} \]

Errore: metodo meno preciso di quello dei trapezi.

b) Calcola il valore esatto dell'integrale \(\displaystyle\int_2^4 \frac{1}{x-1}\,dx\)

Rappresentiamo, come aiuto grafico, la funzione (che è un'iperbole equilatera traslata) insieme alla regione la cui area è data dall'integrale da calcolare.

Calcolo analitico: \[ \int_2^4 \frac{1}{x-1}\,dx = \Big[\ln|x-1|\Big]_2^4 = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \approx 1.0986 \]

c) Calcola il valore approssimato dell'integrale \(\displaystyle\int_2^4 \frac{1}{x-1}\,dx\) con \(n=5\)

Metodo dei Trapezi (n=5)

Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

\(h = \dfrac{4-2}{5} = 0.4\)

\(x_0=2.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=2.4 \Rightarrow f(x_1)=0.7143\)
\(x_2=2.8 \Rightarrow f(x_2)=0.5556\)
\(x_3=3.2 \Rightarrow f(x_3)=0.4545\)
\(x_4=3.6 \Rightarrow f(x_4)=0.3846\)
\(x_5=4.0 \Rightarrow f(x_5)=0.3333\)

\[ T_5 = \frac{0.4}{2} \cdot \bigl[1 + 2(0.7143 + 0.5556 + 0.4545 + 0.3846) + 0.3333\bigr] \] \[ = 0.2 \cdot [1 + 4.218 + 0.3333] = 0.2 \times 5.5513 \approx 1.11 \]

Metodo dei Rettangoli (n=5)

\(h = 0.4\)

Rettangoli inscritti.
Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

\(x_1=2.4 \Rightarrow f(x_1)=0.7143\)
\(x_2=2.8 \Rightarrow f(x_2)=0.5556\)
\(x_3=3.2 \Rightarrow f(x_3)=0.4545\)
\(x_4=3.6 \Rightarrow f(x_4)=0.3846\)
\(x_5=4.0 \Rightarrow f(x_5)=0.3333\)

\[ R_i = 0.4 \times 2.4423 \approx 0.98 \]

Rettangoli circoscritti.
Mostriamo il grafico, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

\(x_0=2.0 \Rightarrow f(x_0)=1.0000\)
\(x_1=2.4 \Rightarrow f(x_1)=0.7143\)
\(x_2=2.8 \Rightarrow f(x_2)=0.5556\)
\(x_3=3.2 \Rightarrow f(x_3)=0.4545\)
\(x_4=3.6 \Rightarrow f(x_4)=0.3846\)

\[ R_c = 0.4 \times 3.109 \approx 1.24 \] \[ \text{Media} = \frac{1.24 + 0.98}{2} = 1.11 \]

d) Calcola il valore approssimato dell'integrale \(\displaystyle\int_0^1 e^{-\frac{1}{2}x^2}\,dx\) con \(n=5\)

Metodo dei Trapezi

Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

Funzione: \(f(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2}\) Intervallo: \([0, 1]\), \(n=5\)

\(h = \dfrac{1-0}{5} = 0.2\)

\(x_0=0.0 \Rightarrow f(0.0) = 1.0000\)
\(x_1=0.2 \Rightarrow f(0.2) \approx 0.9802\)
\(x_2=0.4 \Rightarrow f(0.4) \approx 0.9231\)
\(x_3=0.6 \Rightarrow f(0.6) \approx 0.8353\)
\(x_4=0.8 \Rightarrow f(0.8) \approx 0.7261\)
\(x_5=1.0 \Rightarrow f(1.0) \approx 0.6065\)

\[ T_5 = \frac{0.2}{2} \cdot \bigl[1 + 2(0.9802+0.9231+0.8353+0.7261) + 0.6065\bigr] \] \[ = 0.1 \times [1 + 6.9294 + 0.6065] = 0.1 \times 8.5359 \approx 0.85 \]

Metodo dei Rettangoli

Funzione: \(f(x) = e^{-\frac{1}{2}x^2}\) Intervallo: \([0, 1]\), \(n=5\), \(h=0.2\)

Rettangoli inscritti.
Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

\(f(0.2)\approx 0.9802,\ f(0.4)\approx 0.9231,\ f(0.6)\approx 0.8353,\ f(0.8)\approx 0.7261,\ f(1.0)\approx 0.6065\)

\[ R_i = 0.2 \times 4.0712 \approx 0.81 \]

Rettangoli circoscritti.
Mostriamo il grafico della funzione, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

\(f(0.0)=1.0000,\ f(0.2)\approx 0.9802,\ f(0.4)\approx 0.9231,\ f(0.6)\approx 0.8353,\ f(0.8)\approx 0.7261\)

\[ R_c = 0.2 \times 4.4647 \approx 0.89 \] \[ \text{Media} = \frac{0.89 + 0.81}{2} = 0.85 \]

e) Calcola: \(\displaystyle\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2+4x+5}\,dx\)

Calcolo Esatto

1. Riscriviamo il denominatore completando il quadrato: \[ x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1 \]

2. L'integrale diventa: \[ \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+2)^2+1}\,dx \]

3. Riconosciamo la forma \(\displaystyle\int \frac{1}{u^2+1}\,du = \arctan(u) + C\)

4. Calcoliamo: \[ \Big[\arctan(x+2)\Big]_{-2}^{-1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \]

Metodo dei Trapezi

Abbiamo indicato il grafico della funzione per comodità visiva, anche se non è necessario per il calcolo richiesto.

Consideriamo \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+4x+5}\) e calcoliamo \(\displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx\) con \(n=5\).

\(h = \dfrac{-1-(-2)}{5} = \dfrac{1}{5} = 0.2\)

\(x_0=-2.0,\ x_1=-1.8,\ x_2=-1.6,\ x_3=-1.4,\ x_4=-1.2,\ x_5=-1.0\)

\(f(-2.0) = \dfrac{1}{4-8+5} = 1\)
\(f(-1.8) \approx 0.9615,\ f(-1.6) \approx 0.8621\)
\(f(-1.4) \approx 0.7353,\ f(-1.2) \approx 0.6098\)
\(f(-1.0) = \dfrac{1}{1-4+5} = 0.5\)

\[ T_5 = 0.2 \times \left[\frac{1+0.5}{2} + 0.9615 + 0.8621 + 0.7353 + 0.6098\right] \] \[ = 0.2 \times [0.75 + 3.1687] = 0.2 \times 3.9187 \approx 0.784 \]

Metodo dei Rettangoli

Consideriamo \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+4x+5}\) e calcoliamo \(\displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx\) con \(n=5\).

\(h = \dfrac{-1-(-2)}{5} = 0.2\)

1. Rettangoli inscritti.

\(f(-1.8)\approx 0.9615,\ f(-1.6)\approx 0.8621,\ f(-1.4)\approx 0.7353,\ f(-1.2)\approx 0.6098,\ f(-1.0)=0.5\)

\[ R_i = 0.2 \times 3.6687 \approx 0.7337 \]

2. Rettangoli circoscritti.

\(f(-2.0)=1,\ f(-1.8)\approx 0.9615,\ f(-1.6)\approx 0.8621,\ f(-1.4)\approx 0.7353,\ f(-1.2)\approx 0.6098\)

\[ R_c = 0.2 \times 4.1687 \approx 0.8337 \] \[ \text{Media} = \frac{0.8337 + 0.7337}{2} \approx 0.784 \]

f) Calcola: \(\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx\)

Calcolo Analitico

Mostriamo il grafico, anche se non richiesto:

1. Riscriviamo la funzione: \[ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \]

2. Separiamo l'integrale: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \]

3. Calcoliamo le primitive: \[ = \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C \]

4. Valutiamo tra 0 e 1: \[ \Big[\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2}\Big]_0^1 = \bigl[\arcsin(1) + 0\bigr] - \bigl[\arcsin(0) + 1\bigr] = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.5708 \]

Metodo dei Trapezi

Mostriamo il grafico, anche se non richiesto:

\(h = \dfrac{1-0}{5} = 0.2\)
\(x_0=0,\ x_1=0.2,\ x_2=0.4,\ x_3=0.6,\ x_4=0.8,\ x_5=1\)

Valori funzione:
\(f(0)=1,\ f(0.2)\approx 0.816,\ f(0.4)\approx 0.655,\ f(0.6)\approx 0.5,\ f(0.8)\approx 0.333,\ f(1)=0\)

\[ T_5 = 0.2 \times \left[\frac{1+0}{2} + 0.816 + 0.655 + 0.5 + 0.333\right] \] \[ = 0.2 \times [0.5 + 2.304] = 0.2 \times 2.804 \approx 0.561 \]

Metodo dei Rettangoli

1. Rettangoli inscritti.
Mostriamo il grafico, anche se non richiesto:

\(h = \dfrac{1-0}{5} = 0.2\)
\(f(0)=1,\ f(0.2)\approx 0.816,\ f(0.4)\approx 0.655,\ f(0.6)\approx 0.5,\ f(0.8)\approx 0.333,\ f(1)=0\)

\[ R_i = 0.2 \times 2.304 \approx 0.4608 \]

2. Rettangoli circoscritti.
Mostriamo il grafico, anche se non richiesto:

\[ R_c = 0.2 \times 3.304 \approx 0.6608 \]

3. Media dei due metodi: \[ R = \frac{0.6608 + 0.4608}{2} \approx 0.5608 \approx 0.561 \]