Calcolo dei limiti a partire da un grafico

Spiegazione Domanda 1:

Perché è corretta: La risposta corretta è: B) $$\lim_{x \to 2} f(x) = 5$$

La definizione di limite afferma che se al tendere di $x$ a un certo valore (in questo caso $2$), la funzione $f(x)$ si avvicina a un valore $L$ (in questo caso $5$), allora il limite della funzione per $x$ che tende a quel valore è $L$. Il fatto che la funzione sia continua rafforza questa conclusione, poiché per le funzioni continue il limite in un punto coincide con il valore della funzione nel punto.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to 2} f(x) = 2$$: Questa opzione confonde il valore a cui tende la $x$ con il valore a cui tende la $y$ (il limite).
• C) $$\lim_{x \to 2} f(x) = 0$$: Non c'è alcuna indicazione nel testo o nel grafico (implicito) che il limite sia $0$.
• D) Nessuna delle precedenti: L'opzione B è corretta, quindi questa è falsa.

Spiegazione Domanda 2:

Perché è corretta: La risposta corretta è: D) Il limite per $$x \to 0$$ non esiste

Per la funzione mostrata nel grafico, possiamo osservare il comportamento della funzione quando $x$ si avvicina a $0$ da destra e da sinistra:

• Quando $x$ si avvicina a $0$ da destra ($x \to 0^+$), la funzione si avvicina al valore $0$.
• When $x$ si avvicina a $0$ da sinistra ($x \to 0^-$), la funzione scende indefinitamente verso valori negativi, tendendo a $-\infty$.

Poiché i limiti laterali sono diversi (uno è $0$ e l'altro è $-\infty$), il limite bilaterale per $x \to 0$ non esiste.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$$: Questo è il limite destro, ma non il limite bilaterale.
• B) $$\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$$: La funzione non tende a $+\infty$ da entrambi i lati di $0$.
• C) $$\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$$: La funzione tende a $-\infty$ solo da sinistra, ma non da destra.

Spiegazione Domanda 3:

Perché è corretta: La risposta corretta è: C) Il limite per $$x \to 1$$ non esiste a causa del salto

Quando un grafico mostra un "salto di continuità" in un punto, significa che i limiti laterali (destro e sinistro) in quel punto sono diversi. Per l'esistenza del limite bilaterale, è necessario che i limiti laterali esistano e siano uguali. Se sono diversi, il limite non esiste.

Perché le altre sono scorrette:

• A) Il limite per $$x \to 1$$ esiste ed è il valore medio dei due lati: Falso. Il limite non è il valore medio dei limiti laterali quando questi sono diversi.
• B) Il limite per $$x \to 1$$ esiste ed è uguale ai valori dei due lati: Falso. Se ci fosse un salto, i valori dei due lati (i limiti laterali) sarebbero diversi, e quindi il limite bilaterale non esisterebbe.
• D) Nessuna delle precedenti: L'opzione C è corretta.

Spiegazione Domanda 4:

Perché è corretta: La risposta corretta è: D) Il limite potrebbe non esistere

Un comportamento oscillatorio sempre più stretto intorno a un punto (come nel caso di funzioni tipo $$\sin(\frac{1}{x-c})$$ vicino a $c$) indica che la funzione non si avvicina a un unico valore specifico. In questi casi, la funzione continua a oscillare tra due o più valori, impedendo l'esistenza di un limite ben definito.

Perché le altre sono scorrette:

• A) Il limite esiste ed è 0: Falso. L'oscillazione non garantisce che il limite sia 0.
• B) Il limite esiste ed è infinito: Falso. L'oscillazione è tra valori finiti, non tende a infinito.
• C) Il limite esiste ed è il valore medio delle oscillazioni: Falso. Il limite deve essere un unico valore a cui la funzione si avvicina, non un intervallo o una media.

Spiegazione Domanda 5:

Perché è corretta: La risposta corretta è: C) $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$$

Osservando il grafico, possiamo analizzare il comportamento della funzione quando $x$ si avvicina a $1$ da destra e da sinistra:

• Quando $x$ si avvicina a $1$ da destra ($x \to 1^+$), la curva della funzione sale indefinitamente, tendendo a $+\infty$.
• Quando $x$ si avvicina a $1$ da sinistra ($x \to 1^-$), la curva della funzione scende indefinitamente, tendendo a $-\infty$.

Poiché i limiti laterali sono diversi ($+\infty$ da destra e $-\infty$ da sinistra), il limite bilaterale $$\lim_{x \to 1} f(x)$$ non esiste. La domanda chiede quale affermazione è CORRETTA, e l'affermazione C) è l'unica vera tra le opzioni presentate, descrivendo correttamente il limite destro.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to 1} f(x) = 0$$: Falso. La funzione tende a infinito (o meno infinito) vicino a $x=1$, non a $0$.
• B) $$\lim_{x \to 1} f(x) = -\infty$$: Falso. Questo è il limite sinistro, ma non il limite bilaterale.
• D) $$\lim_{x \to 1} f(x) = 5$$: Falso. La funzione non tende a un valore finito in $x=1$.

Spiegazione Domanda 6:

Perché è corretta: La risposta corretta è: C) $$\lim_{x \to -2} f(x) = -\infty$$

Se $f(x)$ cresce indefinitamente in valore assoluto (cioè diventa sempre più grande in magnitudine) ma rimane negativa, significa che sta tendendo a $-\infty$. Osservando il grafico, vedremmo la curva scendere verso il basso man mano che $x$ si avvicina a $-2$. Questo è il comportamento tipico di una funzione che ha un asintoto verticale in $x=-2$ e i suoi valori scendono verso il basso su entrambi i lati dell'asintoto.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to -2} f(x) = -2$$: Falso. Il limite è un valore della $y$, non della $x$.
• B) $$\lim_{x \to -2} f(x) = +\infty$$: Falso. La funzione rimane negativa, quindi non tende a $+\infty$.
• D) Il limite non esiste: Falso. Il limite esiste e vale $-\infty$ se il comportamento è lo stesso da entrambi i lati.

Spiegazione Domanda 7:

Perché è corretta: La risposta corretta è: A) $$\lim_{x \to 0} f(x)$$ non esiste

Per l'esistenza del limite bilaterale in un punto, è condizione necessaria e sufficiente che i limiti laterali (destro e sinistro) esistano e siano uguali tra loro. In questo caso, il limite sinistro è $2$ e il limite destro è $5$, essendo diversi, il limite bilaterale non esiste.

Perché le altre sono scorrette:

• B) $$\lim_{x \to 0} f(x) = 2$$: Falso. Questo è solo il limite sinistro.
• C) $$\lim_{x \to 0} f(x) = 5$$: Falso. Questo è solo il limite destro.
• D) $$\lim_{x \to 0} f(x) = 3.5$$: Falso. Il limite non è la media dei limiti laterali quando sono diversi.

Spiegazione Domanda 8:

Perché è corretta: La risposta corretta è: B) $$\lim_{x \to 4} f(x) = \pm\infty$$ o non esiste

Un asintoto verticale in $x=4$ significa che la funzione tende a infinito (o meno infinito) quando $x$ si avvicina a $4$. Se i limiti laterali sono entrambi $+\infty$ o entrambi $-\infty$, allora il limite esiste e vale quell'infinito. Se un limite laterale è $+\infty$ e l'altro è $-\infty$, allora il limite bilaterale non esiste.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to 4} f(x) = 4$$: Falso. Il limite è un valore della $y$, non della $x$.
• C) $$\lim_{x \to 4} f(x) = 0$$: Falso. Un asintoto verticale implica che la funzione tende a infinito, non a $0$.
• D) $$\lim_{x \to 4} f(x)$$ è sempre definito: Falso. Il limite può non esistere (se i laterali sono infiniti di segno opposto) o essere infinito, non un valore finito definito.

Spiegazione Domanda 9:

Perché è corretta: La risposta corretta è: B) L'asintoto orizzontale è $$y=1$$

Osservando il grafico della funzione, puoi vedere che man mano che la curva si estende verso destra (per $x \to +\infty$) e verso sinistra (per $x \to -\infty$), essa si avvicina sempre di più a una retta orizzontale. Questa retta orizzontale è l'**asintoto orizzontale** della funzione.

Dal grafico, si vede chiaramente che la funzione tende ad "appiattirsi" e avvicinarsi al valore $1$ sull'asse delle $y$. Questo significa che il limite della funzione per $x$ che tende a infinito (sia positivo che negativo) è $1$. Pertanto, l'asintoto orizzontale è la retta $y=1$.

Perché le altre sono scorrette:

• A) L'asintoto orizzontale è $$y=0$$: Falso. Se fosse $y=0$, la funzione si avvicinerebbe all'asse $x$ per valori di $x$ molto grandi o molto piccoli, cosa che non si verifica nel grafico.
• C) L'asintoto orizzontale è $$x=1$$: Falso. Un asintoto orizzontale è una linea orizzontale ($y=costante$), non verticale ($x=costante$). La linea $x=1$ sarebbe una linea verticale.
• D) Non c'è alcun asintoto orizzontale: Falso. Il grafico mostra chiaramente che la funzione si stabilizza e si avvicina a un valore fisso man mano che $x$ si allontana, indicando la presenza di un asintoto orizzontale.

Spiegazione Domanda 10:

Perché è corretta: La risposta corretta è: C) $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$$

L'asse $x$ è la retta $y=0$. Se una funzione si avvicina sempre più all'asse $x$ quando $x$ tende a **+infinito**, significa che il valore della funzione si avvicina a $0$. Questo comportamento grafico è la definizione di un **asintoto orizzontale in $y=0$ per $x \to +\infty$**.

Perché le altre sono scorrette:

• A) $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$: Falso. La funzione si avvicina a un valore finito ($0$), non tende a infinito.
• B) $$\lim_{x \to \infty} f(x)$$ non esiste: Falso. La funzione si sta avvicinando a un valore specifico ($0$), quindi il limite esiste.
• D) $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$$: Falso. La funzione si avvicina a $0$, non a $1$.