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Test sui Limiti con Forme Indeterminate senza limiti notevoli

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1. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

1. Scomposizione del numeratore:
\(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\)
2. Semplificazione con il denominatore:
\(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\)
3. Sostituzione del valore limite:
\(2 + 2 = 4\)
Risposta corretta: C) 4

2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)

1. Razionalizzazione moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt{x+1}+1\):
\(\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}\)
2. Semplificazione:
\(\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\)
3. Sostituzione \(x = 0\):
\(\frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{2}\)
Risposta corretta: B) \(\frac{1}{2}\)

3. \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 5}\)

1. Dividere numeratore e denominatore per \(x^2\):
\(\frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{5}{x^2}}\)
2. Valutare i limiti dei singoli termini:
\(\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x} = 0\), \(\lim_{x\to\infty} \frac{5}{x^2} = 0\)
3. Sostituire i valori limite:
\(\frac{3 - 0}{1 + 0} = 3\)
Risposta corretta: C) 3

4. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^4 - 3x^2}\)

1. Confronto gradi del polinomio:
Numeratore: grado 3, Denominatore: grado 4
2. Dividere tutti i termini per \(x^4\):
\(\frac{\frac{2}{x} - \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{3}{x^2}}\)
3. Valutare i limiti dei singoli termini:
Tutti i termini con \(x\) al denominatore → 0
4. Risultato finale:
\(\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0} = 0\)
Risposta corretta: C) 0

5. \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\)

1. Fattorizzare il numeratore:
\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\)
2. Semplificare la frazione:
\(\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3\)
3. Sostituire \(x = 3\):
\(3 + 3 = 6\)
Risposta corretta: C) 6

6. \(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x - 2}\)

1. Moltiplicare numeratore e denominatore per \(\sqrt{x} + \sqrt{2}\):
\(\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\)
2. Semplificare il numeratore:
\(x - 2\)
3. Frazione diventa:
\(\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\)
4. Sostituire \(x = 2\):
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Risposta corretta: C) \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

7. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)

1. Analisi limiti laterali:
Da dest (\(x \to 0^+\)):
\(\frac{1}{0^+} \to +\infty\)
Da sinistra (\(x \to 0^-\)):
\(\frac{1}{0^-} \to -\infty\)
2. Confronto limiti laterali:
\(+\infty \neq -\infty\)
3. Conclusione:
Il limite non esiste
Risposta corretta: C) Non esiste

8. \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1}\)

1. Fattorizzare il denominatore:
\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\)
2. Riscrivere il limite:
\(\frac{1}{(x-1)(x+1)}\)
3. Analisi limiti laterali:
Da destra (\(x \to 1^+\)): \(+\infty\)
Da sinistra (\(x \to 1^-\)): \(-\infty\)
4. Conclusione:
Limite destro ≠ limite sinistro → Non esiste
Risposta corretta: C) Non esiste

9. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x}\)

1. Scomporre la frazione:
\(\frac{2x}{x} + \frac{3}{x} = 2 + \frac{3}{x}\)
2. Calcolare limite separatamente:
\(\lim_{x\to\infty} 2 = 2\)
\(\lim_{x\to\infty} \frac{3}{x} = 0\)
3. Sommare i risultati:
\(2 + 0 = 2\)
Risposta corretta: C) 2

10. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x}\)

1. Confronto ordini di infinito:
\(e^x\) cresce più velocemente di \(x^3\)
2. Applicare regola di De L'Hôpital 3 volte:
\(\lim \frac{6}{e^x} = 0\)
3. Risultato finale:
\(0\)
Risposta corretta: C) 0
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