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Test sui Limiti Notevoli

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1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x}\)

1. Applichiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{kx} = 1\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{3}\)
2. Sostituiamo il limite notevole:
\(1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)
Risposta corretta: B) \(\frac{2}{3}\)

2. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}\)

1. Usiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(kx)}{x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(kx)}{(kx)^2} \cdot k^2 =\frac{k^2}{2}\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2}\)
Risposta corretta: B) \(\frac{9}{2}\)

3. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)}\)

1. Applichiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\) e \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{\sin(x)}\)
2. Sostituiamo i limiti notevoli:
\(1 \cdot 1 = 1\)
Risposta corretta: B) 1

4. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x}\)

1. Applichiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\).
Quindi \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + kx)}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + kx)}{kx} \cdot k = 1 \cdot k=k\)
\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{x} = 2\)
Risposta corretta: B) 2

5. \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)

1. Applichiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). :
Si ha: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x cos x}=1 \cdot 1\ =1\)
Risposta corretta: B) 1

6. \(\lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)^{1/4} - 1}{2x}\)

1. Usiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \). Quindi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{(1 + kx)^a - 1}{kx} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + kx)^a - 1}{kx} \cdot k \ =a \cdot k\). Quindi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{(1 - x)^{1/4} - 1}{2x} = \frac{1}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}\)
Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{8}\)

7. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x} - 1}{2x}\)

1. Razionalizziamo il numeratore:
\(\frac{\sqrt{1 - x} - 1}{2x} \cdot \frac{\sqrt{1 - x} + 1}{\sqrt{1 - x} + 1} = \frac{(1 - x) - 1}{2x (\sqrt{1 - x} + 1)}\)
2. Semplifichiamo:
\(\frac{-x}{2x (\sqrt{1 - x} + 1)} = \frac{-1}{2 (\sqrt{1 - x} + 1)}\)
3. Calcoliamo il limite:
\(\frac{-1}{2 (\sqrt{1 - 0} + 1)} = \frac{-1}{4}\)
Risposta corretta: B) \(-\frac{1}{4}\)

8. \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin(x)}\)

1. Usiamo i limiti notevoli: \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} =0\) e \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1\). Quindi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{x}{\sin x}=0 \cdot 1=0\)
Risposta corretta: A) 0

9. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}\)

1. Osserviamo che \(|\sin(x)| \leq 1\) per ogni \(x\):
\(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{x}\)
2. Calcoliamo il limite:
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)
3. Per il teorema del confronto:
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot \sin x =0\)
Risposta corretta: A) 0

10. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{3x^2}\)

1. Applichiamo il limite notevole \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} = 1\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{3x^2} = \frac{1}{3}\)
Risposta corretta: B) \(\frac{1}{3}\)
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