Questionario sulla Monotonia di una Funzione e Massimi/Minimi

Soluzione quesito 1:

Passo 1: Calcolo della derivata prima

Per studiare la monotonia, calcoliamo la derivata prima:

\[f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

I punti critici sono \(x = -1\) e \(x = 3\). Studiamo il segno:

Passo 3: Conclusioni

• Monotonia:
  • La funzione è crescente in \((-\infty, -1) \cup (3, +\infty)\)
  • La funzione è decrescente in \((-1, 3)\)
• Punti estremanti:
  • \(x = -1\) è punto di massimo relativo con \(f(-1) = -1 + 3 + 9 + 5 = 10\)
  • \(x = 3\) è punto di minimo relativo con \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 2:

Dominio: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) (la funzione ha un asintoto verticale in \(x=1\))

Passo 1: Calcolo della derivata prima

Usando la regola del quoziente:

\[f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

Punti critici: \(x = 0\) e \(x = 2\) (numeratore), \(x = 1\) (non nel dominio)

Passo 3: Conclusioni

• Monotonia:
  • Funzione crescente in \((-\infty, 0) \cup (2, +\infty)\)
  • Funzione decrescente in \((0, 1) \cup (1, 2)\)
• Punti estremanti:
  • \(x = 0\) è punto di massimo relativo con \(f(0) = 0\)
  • \(x = 2\) è punto di minimo relativo con \(f(2) = \frac{4}{1} = 4\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 3:

Passo 1: Calcolo della derivata prima

\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)\]

Passo 2: Studio del segno e punti critici in \([0,3]\)

Punti critici nell'intervallo: \(x = 1\) e \(x = 3\)

• Per \(0 < x < 1\): \(f'(x) > 0\) → funzione crescente
• Per \(1 < x < 3\): \(f'(x) < 0\) → funzione decrescente

Passo 3: Calcolo dei valori agli estremi e nei punti critici

• \(f(0) = 1\)
• \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\)
• \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\)

Passo 4: Conclusioni

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 4:

Passo 1: Calcolo della derivata prima

Usando la regola del prodotto:

\[f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

Poiché \(e^{-x} > 0\) per ogni \(x\), il segno di \(f'(x)\) dipende solo da \((1-x)\):

• \(f'(x) > 0\) se \(1 - x > 0\), cioè \(x < 1\)
• \(f'(x) = 0\) se \(x = 1\)
• \(f'(x) < 0\) se \(x > 1\)

Passo 3: Conclusioni

• Monotonia:
  • Funzione crescente in \((-\infty, 1)\)
  • Funzione decrescente in \((1, +\infty)\)
• Punto estremante:
  • \(x = 1\) è punto di massimo assoluto con \(f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 5:

Dominio: \(D = \mathbb{R}\) (poiché \(x^2 + 1 > 0\) per ogni \(x\))

Passo 1: Calcolo della derivata prima

Usando la regola di derivazione del logaritmo composto:

\[f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

Il denominatore \(x^2 + 1\) è sempre positivo, quindi il segno dipende solo dal numeratore \(2x\):

• \(f'(x) < 0\) se \(x < 0\)
• \(f'(x) = 0\) se \(x = 0\)
• \(f'(x) > 0\) se \(x > 0\)

Passo 3: Conclusioni

• Monotonia:
  • Funzione decrescente in \((-\infty, 0)\)
  • Funzione crescente in \((0, +\infty)\)
• Punto estremante:
  • \(x = 0\) è punto di minimo assoluto con \(f(0) = \ln(1) = 0\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 6:

Passo 1: Calcolo della derivata prima

\[f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

Punti critici: \(x = 0\) (con molteplicità 2) e \(x = 3\)

Il fattore \(4x^2\) è sempre non negativo (positivo per \(x \neq 0\)), quindi il segno dipende da \((x-3)\):

• Per \(x < 0\): \(f'(x) < 0\) (decrescente)
• Per \(0 < x < 3\): \(f'(x) < 0\) (decrescente)
• Per \(x > 3\): \(f'(x) > 0\) (crescente)

Passo 3: Analisi del punto \(x = 0\)

In \(x = 0\) la derivata si annulla, ma la funzione è decrescente sia prima che dopo. Quindi \(x = 0\) è un punto di flesso a tangente orizzontale, non un punto di estremo.

Passo 4: Calcolo dei valori

• \(f(0) = 0\)
• \(f(3) = 81 - 108 = -27\)

Conclusioni:

• Monotonia:
  • Funzione decrescente in \((-\infty, 3)\)
  • Funzione crescente in \((3, +\infty)\)
• Punto estremante:
  • \(x = 3\) è punto di minimo assoluto con \(f(3) = -27\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 7:

Passo 1: Calcolo della derivata prima

\[f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\]

Passo 2: Ricerca dei punti critici in \([0, 2\pi]\)

Risolviamo \(f'(x) = 0\):

\[\cos(x) - \sin(x) = 0 \implies \cos(x) = \sin(x) \implies \tan(x) = 1\]

Le soluzioni in \([0, 2\pi]\) sono: \(x = \frac{\pi}{4}\) e \(x = \frac{5\pi}{4}\)

Passo 3: Calcolo dei valori nei punti critici e agli estremi

• \(f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1\)
• \(f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414\)
• \(f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \approx -1.414\)
• \(f(2\pi) = \sin(2\pi) + \cos(2\pi) = 0 + 1 = 1\)

Conclusioni:

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 8:

Dominio: \(D = (0, 1) \cup (1, +\infty)\) (dobbiamo escludere \(x \leq 0\) per il logaritmo e \(x = 1\) perché \(\ln(1) = 0\))

Passo 1: Calcolo della derivata prima

Usando la regola del quoziente:

\[f'(x) = \frac{1 \cdot \ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{[\ln(x)]^2} = \frac{\ln(x) - 1}{[\ln(x)]^2}\]

Passo 2: Studio del segno di \(f'(x)\)

Il denominatore \([\ln(x)]^2\) è sempre positivo (quando definito), quindi il segno dipende dal numeratore:

• \(\ln(x) - 1 = 0\) quando \(\ln(x) = 1\), cioè \(x = e\)
• \(\ln(x) - 1 < 0\) quando \(\ln(x) < 1\), cioè \(0 < x < e\) (escluso \(x=1\))
• \(\ln(x) - 1 > 0\) quando \(\ln(x) > 1\), cioè \(x > e\)

Passo 3: Conclusioni

• Monotonia:
  • Funzione decrescente in \((0, 1) \cup (1, e)\)
  • Funzione crescente in \((e, +\infty)\)
• Punto estremante:
  • \(x = e\) è punto di minimo relativo con \(f(e) = \frac{e}{\ln(e)} = \frac{e}{1} = e\)

Grafico qualitativo della funzione:

Soluzione quesito 9:

Passo 1: Condizione necessaria per l'estremo

Affinché \(x = 2\) sia punto di estremo, deve essere \(f'(2) = 0\).

Calcoliamo la derivata:

\[f'(x) = 3x^2 - 3a\]

Imponiamo \(f'(2) = 0\):

\[f'(2) = 3(2)^2 - 3a = 12 - 3a = 0\] \[3a = 12 \implies a = 4\]

Passo 2: Verifica che sia un minimo

Con \(a = 4\), abbiamo \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)\)

Studio del segno:

• Per \(x < -2\): \(f'(x) > 0\) (crescente)
• Per \(-2 < x < 2\): \(f'(x) < 0\) (decrescente)
• Per \(x > 2\): \(f'(x) > 0\) (crescente)

La funzione passa da decrescente a crescente in \(x = 2\), quindi è effettivamente un punto di minimo.

Alternativamente, usando la derivata seconda:

\[f''(x) = 6x\] \[f''(2) = 12 > 0\]

Poiché \(f''(2) > 0\), il punto è un minimo.

Grafico qualitativo della funzione con \(a = 4\):

Animazione:

Soluzione quesito 10:

Dominio: \(D = \mathbb{R}\)

a) Calcolo della derivata prima

Usando la regola del prodotto:

\[f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x e^{-x}(2 - x)\]

Studio del segno di \(f'(x)\)

Poiché \(e^{-x} > 0\) per ogni \(x\), il segno dipende da \(x(2-x)\):

• Punti critici: \(x = 0\) e \(x = 2\)

b) Punti di estremo

• \(x = 0\) è punto di minimo relativo (che è anche assoluto) con \(f(0) = 0\)
• \(x = 2\) è punto di massimo relativo (ma non assoluto) con \(f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}\)

c) Comportamento agli estremi

• Per \(x \to -\infty\): \[\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = +\infty\] (l'esponenziale cresce più velocemente del polinomio)
• Per \(x \to +\infty\): \[\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0\] (l'esponenziale al denominatore domina; forma indeterminata risolvibile con De L'Hôpital)

Grafico qualitativo della funzione: