Argomenti: studio di funzioni cubiche, intersezioni tra curve, problema di massimo, tangenti parallele, area fra due curve con integrali, volume di solido di rotazione con il metodo dei gusci cilindrici.
📚 Disponibile anche in versione DSA
Risolvi da solo le 4 parti del Problema e controlla la soluzione premendo il tasto corrispondente.
Studiare le funzioni: \[ y = f(x) = \frac{-2x^3+6x^2}{3}, \qquad y = g(x) = \frac{x^3-6x^2+12x}{3} \] e disegnare i loro grafici.
Studiamo la funzione:
\[ y = f(x) = \frac{-2x^3+6x^2}{3} = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 = x^2\!\left(-\frac{2}{3}x+2\right) \]Si tratta di una cubica, quindi è definita su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione non è né pari né dispari.
Intersezioni con gli assi cartesiani:
Se \(x=0\), \(y=0\).
Se \(y=0\): \(x=0\) (doppia, quindi tangenza all'asse \(x\)) e \(-\frac{2}{3}x+2=0\) da cui \(x=3\).
Limiti:
\[ \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{2}{3}x^3+2x^2\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{2}{3}x^3\right) = \mp\infty \](non ci sono asintoti obliqui).
Derivata prima:
\[ f'(x) = -2x^2+4x \geq 0 \iff x^2-2x \leq 0 \iff 0 \leq x \leq 2 \]La funzione è crescente se \(0 < x < 2\) e decrescente se \(x < 0\) o \(x > 2\).
\(x=2\) è punto di massimo relativo con valore \(f(2) = -\frac{2}{3}\cdot 8 + 8 = \frac{8}{3}\);
\(x=0\) è punto di minimo relativo con valore \(y=0\).
Derivata seconda:
\[ f''(x) = -4x+4 \geq 0 \iff x \leq 1 \]Concavità verso l'alto se \(x < 1\), verso il basso se \(x > 1\), flesso per \(x=1\) con \(y = f(1) = -\frac{2}{3}+2 = \frac{4}{3}\).
Grafico di \(f(x) = -\dfrac{2}{3}x^3 + 2x^2\)
Studiamo la seconda funzione:
\[ y = g(x) = \frac{x^3-6x^2+12x}{3} = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x = x\!\left(\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4\right) \]Si tratta di una cubica, quindi è definita su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione non è né pari né dispari.
Intersezioni con gli assi cartesiani:
Se \(x=0\), \(y=0\).
Se \(y=0\): \(x=0\) e \(\frac{1}{3}x^2-2x+4=0\) che non ha soluzioni reali (\(\Delta < 0\)).
Limiti:
\[ \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3}x^3 = \pm\infty \](non ci sono asintoti obliqui).
Derivata prima:
\[ g'(x) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 \quad \text{per ogni } x \]La funzione è sempre crescente e ha in \(x=2\) un flesso a tangente orizzontale, con ordinata \(y = g(2) = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}\).
Derivata seconda:
\[ g''(x) = 2x-4 \geq 0 \iff x \geq 2 \]Concavità verso l'alto se \(x > 2\), verso il basso se \(x < 2\), flesso per \(x=2\) con \(y = \frac{8}{3}\).
Grafico di \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\)
Dopo aver verificato che, oltre al punto \(O\), tali grafici hanno in comune un altro punto \(A\), determinare sul segmento \(OA\) un punto \(P\) tale che, condotta per esso la retta parallela all'asse \(y\), sia massima la lunghezza del segmento \(RS\), dove \(R\) ed \(S\) sono i punti in cui la retta interseca i due grafici suddetti.
Cerchiamo le intersezioni fra le due curve:
\[ \begin{cases} y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \\ y = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \end{cases} \]Uguagliando le due espressioni:
\[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x = -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \implies x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \implies x(x-2)^2 = 0 \]Quindi: \(x=0\) e \(x=2\) (doppia).
Se \(x=0\): \(y=0\); se \(x=2\): \(y=\frac{8}{3}\).
I due grafici, oltre al punto \(O=(0;\,0)\), hanno in comune il punto \(A=\!\left(2;\,\frac{8}{3}\right)\).
I due grafici si intersecano in \(O=(0;\,0)\) e in \(A=\!\left(2;\,\dfrac{8}{3}\right)\)
Retta \(OA\): \(y = \frac{4}{3}x\). Il punto \(P\) sul segmento \(OA\) ha coordinate \(P = \!\left(t;\,\frac{4}{3}t\right)\) con \(0 \leq t \leq 2\). La retta verticale per \(P\) è \(x = t\).
Punto \(R\) (sulla curva \(f\)):
\[ R = \left(t;\; -\frac{2}{3}t^3 + 2t^2\right) \]Punto \(S\) (sulla curva \(g\)):
\[ S = \left(t;\; \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 4t\right) \]La lunghezza \(RS\) è:
\[ z(t) = y_S - y_R = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 4t - \left(-\frac{2}{3}t^3 + 2t^2\right) = t^3 - 4t^2 + 4t, \quad 0 \leq t \leq 2 \]Cerchiamo il massimo di \(z(t)\):
\[ z'(t) = 3t^2 - 8t + 4 = 0 \implies t = \frac{2}{3} \quad \text{oppure} \quad t = 2 \]Studiamo il segno di \(z'(t)\) nell'intervallo \([0, 2]\):
| \(t\) | \(0\) | \(\left(0,\,\frac{2}{3}\right)\) | \(\frac{2}{3}\) | \(\left(\frac{2}{3},\,2\right)\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(z'(t)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) |
| \(z(t)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | max | \(\searrow\) | \(0\) |
Il punto \(P\) richiesto è quindi:
\[ P = \left(\frac{2}{3};\; \frac{8}{9}\right) \]Determinare le coordinate dei punti di ascisse uguali in cui le due curve hanno tangenti parallele e verificare che, oltre al punto \(A\), si ritrovano i punti \(R\) ed \(S\).
Imponiamo \(f'(x) = g'(x)\):
\[ -2x^2 + 4x = x^2 - 4x + 4 \implies 3x^2 - 8x + 4 = 0 \]Soluzioni: \(x = \frac{2}{3}\) e \(x = 2\).
Per \(x = \frac{2}{3}\) troviamo i punti \(R\) ed \(S\) calcolati nel punto b), e per \(x = 2\) troviamo il punto \(A\).
Calcolare l'area della regione finita di piano delimitata dalle due curve.
Rappresentiamo la regione di cui si chiede l'area:
In grigio la regione di area \(\dfrac{4}{3}\) u² delimitata dalle due curve
L'area richiesta si ottiene calcolando:
\[ \text{Area} = \int_0^2 \left[g(x) - f(x)\right] dx = \int_0^2 \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - \left(-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2\right)\right] dx \] \[ = \int_0^2 \left(x^3 - 4x^2 + 4x\right) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2\right]_0^2 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = \frac{4}{3} \text{ u}^2 \]Indicata con \(S\) la regione finita di piano delimitata dai grafici di \(f\) e \(g\), calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di \(S\) attorno all'asse \(y\).
Utilizziamo il metodo dei gusci cilindrici. Per una regione delimitata da due curve \(y = g(x)\) e \(y = f(x)\) con \(g(x) \geq f(x)\) nell'intervallo \([a, b]\), il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse \(y\) è:
\[ V = 2\pi \int_a^b x \cdot [g(x) - f(x)]\, dx \]Nel nostro caso \(a = 0\), \(b = 2\) e abbiamo già calcolato nel punto d) che:
\[ g(x) - f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \]Quindi:
\[ V = 2\pi \int_0^2 x \cdot (x^3 - 4x^2 + 4x)\, dx = 2\pi \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\, dx \]Integriamo termine per termine:
\[ V = 2\pi \left[\frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3}\right]_0^2 = 2\pi \left(\frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3}\right) \]Riducendo al denominatore comune 15:
\[ V = 2\pi \cdot \frac{96 - 240 + 160}{15} = \frac{32\pi}{15} \text{ u}^3 \]Nel seguente grafico, in verde è rappresentata la superficie esterna del solido (generata dall'arco di curva di \(f\)) e in rosa la superficie interna (generata dall'arco di curva di \(g\)). Il solido richiesto è una specie di calice (senza piede).
Solido di rotazione di \(S\) attorno all'asse \(y\)