Soluzione del punto 1

Per determinare i valori dei parametri \(a\) e \(b\) per cui la concentrazione del farmaco raggiunge un massimo di 2 mg/L dopo 1 ora, dobbiamo analizzare la funzione \(f(x) = ax e^{-bx}\).

Derivata della funzione

Per determinare i valori dei parametri \(a\) e \(b\) per cui la concentrazione del farmaco raggiunge un massimo di 2 mg/L dopo 1 ora, dobbiamo analizzare la funzione \(f(x) = ax e^{-bx}\).

Derivata della funzione

Per trovare il valore massimo della funzione, dobbiamo calcolare la derivata prima e porla uguale a zero.

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(ax e^{-bx})\]

Applichiamo la regola del prodotto \((uv)' = u'v + uv'\) dove \(u = ax\) e \(v = e^{-bx}\).

\[u' = a\] \[v' = -be^{-bx}\]

Quindi,

\[f'(x) = a \cdot e^{-bx} + ax \cdot (-be^{-bx})\] \[f'(x) = ae^{-bx} - abxe^{-bx}\]

Raccogliamo il termine comune \(ae^{-bx}\):

\[f'(x) = ae^{-bx}(1 - bx)\]

Ricerca del punto di massimo e studio del segno della derivata prima

Ora, poniamo \(f'(x) = 0\) per trovare i punti critici.

\[ae^{-bx}(1 - bx) = 0\]

Poiché \(a > 0\) e \(e^{-bx} > 0\) per ogni \(x\), l'espressione è zero solo se:

\[1 - bx = 0\] \[bx = 1\] \[x = \frac{1}{b}\]

Per studiare il segno della derivata prima, consideriamo \(f'(x) = ae^{-bx}(1 - bx)\). Dato che \(a > 0\) e \(e^{-bx} > 0\) per ogni \(x\), il segno di \(f'(x)\) dipende interamente dal segno di \((1 - bx)\):

• Se \(1 - bx > 0 \implies bx < 1 \implies x < \frac{1}{b}\), allora \(f'(x) > 0\), e la funzione \(f(x)\) è **crescente**.
• Se \(1 - bx < 0 \implies bx > 1 \implies x > \frac{1}{b}\), allora \(f'(x) < 0\), e la funzione \(f(x)\) è **decrescente**.

Questo cambio di segno da positivo a negativo intorno a \(x = \frac{1}{b}\) conferma che in \(x = \frac{1}{b}\) la funzione \(f(x)\) presenta un **massimo relativo**.

Applicazione delle condizioni date

Il problema ci dice che il valore massimo della concentrazione si raggiunge dopo **1 ora**, quindi:

\[x_{max} = 1\] \[\frac{1}{b} = 1 \implies \mathbf{b = 1}\]

Ora, dobbiamo usare l'altra condizione: il valore massimo della concentrazione è **2 mg/L**. Sostituiamo \(x = 1\) e \(b = 1\) nella funzione originale \(f(x)\):

\[f(x_{max}) = a(1)e^{-b(1)}\] \[2 = a \cdot e^{-1}\] \[2 = \frac{a}{e}\] \[\mathbf{a = 2e}\]

Conclusione

Quindi, i valori dei parametri sono:

• \(a = 2e\)
• \(b = 1\)

Con questi valori, la funzione della concentrazione del farmaco diventa \(f(x) = 2ex e^{-x}\).

Soluzione del punto 2

Verifica dell'espressione analitica

Nel punto precedente abbiamo determinato che \(a = 2e\) e \(b = 1\). Sostituendo questi valori nella funzione generale \(f(x) = ax e^{-bx}\), otteniamo:

\[f(x) = (2e)x e^{-(1)x}\] \[f(x) = 2ex e^{-x}\]

Quindi, possiamo riscrivere l'espressione come:

\[f(x) = 2x(e \cdot e^{-x})\] \[f(x) = 2x e^{1-x}\]

Questo verifica l'affermazione del dottor Rossi.

Studio di funzione e grafico

Per rappresentare il grafico della funzione \(f(x) = 2x e^{1-x}\) per \(x \ge 0\), analizziamo i suoi comportamenti principali.

Dominio

Il dominio è \(x \ge 0\).

Intersezioni con gli assi

• Asse y: Per \(x=0\), \(f(0) = 2(0)e^{1-0} = 0\). La funzione passa per l'origine \((0,0)\).
• Asse x: Per \(f(x)=0\), \(2xe^{1-x} = 0\). Poiché \(e^{1-x}\) è sempre positivo, \(2x = 0 \implies x=0\). L'unica intersezione è l'origine.

Comportamento agli estremi

• Per \(x \to 0^+\), \(f(x) \to 0\).
• Per \(x \to +\infty\), \(f(x) = 2x e^{1-x} = \frac{2x}{e^{x-1}}\). L'esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi potenza di \(x\), quindi \(f(x) \to 0\). L'asse x è un asintoto orizzontale per \(x \to +\infty\).

Derivata prima e massimi/minimi

Dalla soluzione del punto 1, sappiamo che \(f'(x) = ae^{-bx}(1 - bx)\). Sostituendo \(a=2e\) e \(b=1\):

\[f'(x) = 2e \cdot e^{-x}(1 - 1x)\] \[f'(x) = 2e^{1-x}(1 - x)\]

Ponendo \(f'(x) = 0\), abbiamo \(1 - x = 0 \implies x = 1\).

Studiamo il segno di \(f'(x)\):

• Per \(0 \le x < 1\), \(1-x > 0\), quindi \(f'(x) > 0\). La funzione è **crescente**.
• Per \(x > 1\), \(1-x < 0\), quindi \(f'(x) < 0\). La funzione è **decrescente**.

In \(x=1\), la funzione ha un **massimo relativo** (che è anche assoluto dato il comportamento agli estremi). Il valore massimo è \(f(1) = 2(1)e^{1-1} = 2e^0 = 2\). Quindi, il punto di massimo è \((1, 2)\).

Determinazione del flesso F

Per trovare i punti di flesso, dobbiamo calcolare la derivata seconda e porla uguale a zero.

\[f''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{1-x}(1 - x))\]

Applichiamo la regola del prodotto con \(u = 2e^{1-x}\) e \(v = (1 - x)\).

\[u' = 2e^{1-x} \cdot (-1) = -2e^{1-x}\] \[v' = -1\]

Quindi,

\[f''(x) = (-2e^{1-x})(1 - x) + (2e^{1-x})(-1)\] \[f''(x) = -2e^{1-x} + 2xe^{1-x} - 2e^{1-x}\] \[f''(x) = 2xe^{1-x} - 4e^{1-x}\]

Raccogliamo il termine comune \(2e^{1-x}\):

\[f''(x) = 2e^{1-x}(x - 2)\]

Poniamo \(f''(x) = 0\):

\[2e^{1-x}(x - 2) = 0\]

Poiché \(2e^{1-x}\) è sempre positivo, l'espressione è zero solo se:

\[x - 2 = 0 \implies x = 2\]

Verifichiamo che l'ascissa del flesso è uguale a 2, come richiesto dal problema.

Studiamo il segno di \(f''(x)\):

• Per \(0 \le x < 2\), \(x - 2 < 0\), quindi \(f''(x) < 0\). La funzione è **concava verso il basso**.
• Per \(x > 2\), \(x - 2 > 0\), quindi \(f''(x) > 0\). La funzione è **concava verso l'alto**.

Il cambio di concavità in \(x=2\) conferma che \(x=2\) è l'ascissa di un punto di flesso.

Calcoliamo l'ordinata del flesso \(F\):

\[f(2) = 2(2)e^{1-2} = 4e^{-1} = \frac{4}{e}\]

Le coordinate del flesso \(F\) sono \(\left(2, \frac{4}{e}\right)\).

Equazione della tangente nel punto F

Per trovare l'equazione della retta tangente nel punto \(F(2, \frac{4}{e})\), usiamo la formula \(y - y_0 = m(x - x_0)\), dove \(m = f'(x_0)\) è il coefficiente angolare della tangente.

Calcoliamo \(f'(2)\):

\[f'(2) = 2e^{1-2}(1 - 2)\] \[f'(2) = 2e^{-1}(-1)\] \[f'(2) = -\frac{2}{e}\]

Ora, sostituiamo \(x_0=2\), \(y_0=\frac{4}{e}\) e \(m=-\frac{2}{e}\) nell'equazione della retta:

\[y - \frac{4}{e} = -\frac{2}{e}(x - 2)\] \[y - \frac{4}{e} = -\frac{2}{e}x + \frac{4}{e}\] \[y = -\frac{2}{e}x + \frac{4}{e} + \frac{4}{e}\] \[\mathbf{y = -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e}}\]

L'equazione della tangente nel punto di flesso \(F\) è \(y = -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e}\).

Grafico della funzione

Soluzione del punto 3

Intervallo in cui la velocità di variazione è positiva

La velocità di variazione della concentrazione del farmaco è data dalla derivata prima della funzione \(f(x)\). Nel punto 1, abbiamo trovato la funzione \(f(x) = 2x e^{1-x}\) e la sua derivata prima:

\[f'(x) = 2e^{1-x}(1 - x)\]

Per determinare l'intervallo in cui la velocità di variazione è positiva, dobbiamo studiare il segno di \(f'(x)\).

Abbiamo già stabilito che \(2e^{1-x}\) è sempre positivo per ogni \(x\). Pertanto, il segno di \(f'(x)\) dipende unicamente dal segno del fattore \((1 - x)\):

• Se \(1 - x > 0 \implies x < 1\), allora \(f'(x) > 0\).
• Se \(1 - x < 0 \implies x > 1\), allora \(f'(x) < 0\).
• Se \(1 - x = 0 \implies x = 1\), allora \(f'(x) = 0\).

Considerando il dominio fisico del problema, \(x \ge 0\), la velocità di variazione della concentrazione del farmaco è **positiva** nell'intervallo di tempo:

\[\mathbf{0 \le x < 1 \text{ ore}}\]

Questo significa che la concentrazione del farmaco nel sangue del cucciolo aumenta dal momento della somministrazione fino a 1 ora dopo.

Valore della velocità di variazione dopo 2 ore

Per calcolare il valore della velocità di variazione della concentrazione del farmaco dopo 2 ore, dobbiamo semplicemente sostituire \(x = 2\) nella derivata prima \(f'(x)\):

\[f'(x) = 2e^{1-x}(1 - x)\] \[f'(2) = 2e^{1-2}(1 - 2)\] \[f'(2) = 2e^{-1}(-1)\] \[f'(2) = -\frac{2}{e}\]

Il valore di \(\frac{2}{e}\) è circa \(\frac{2}{2.718} \approx 0.736\). Quindi, \(f'(2) \approx -0.736\).

La velocità di variazione della concentrazione del farmaco dopo 2 ore è \(\mathbf{-\frac{2}{e} \text{ mg/L per ora}}\). Il segno negativo indica che la concentrazione del farmaco sta diminuendo in quel momento.

Soluzione del punto 4

Nuovo modello della funzione

Il problema ci dice che la funzione \(f(x) = 2x e^{1-x}\) è un ottimo modello per la concentrazione del farmaco solo per \(0 \le x \le 2\) ore. Da \(x = 2\) ore in poi, la concentrazione decresce linearmente seguendo l'andamento della tangente nel punto di flesso \(F\).

Abbiamo già calcolato nel punto 2:

• Le coordinate del flesso \(F\): \(\left(2, \frac{4}{e}\right)\).
• L'equazione della tangente nel punto \(F\): \(y = -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e}\).

Il nuovo modello di concentrazione, che chiamiamo \(C(x)\), sarà una funzione definita a tratti:

\[ C(x) = \begin{cases} 2x e^{1-x} & \text{per } 0 \le x \le 2 \\ -\frac{2}{e}x + \frac{8}{e} & \text{per } x > 2 \end{cases} \]

Grafico del nuovo modello della funzione

Tempo di smaltimento completo dell'antibiotico

Il cucciolo avrà completamente smaltito l'antibiotico quando la concentrazione del farmaco nel sangue sarà zero. Questo avviene quando la parte lineare del modello interseca l'asse delle ascisse (\(C(x) = 0\)).

Poniamo la parte lineare uguale a zero:

\[-\frac{2}{e}x + \frac{8}{e} = 0\]

Moltiplichiamo entrambi i lati per \(e\) per eliminare il denominatore:

\[-2x + 8 = 0\] \[2x = 8\] \[x = 4\]

Questo significa che la concentrazione del farmaco raggiunge lo zero dopo **4 ore** dall'iniezione.

Rappresentazione grafica della funzione trovata

Il grafico della funzione \(C(x)\) sarà composto da due parti:

1. **Per \(0 \le x \le 2\):** La curva della funzione esponenziale \(f(x) = 2x e^{1-x}\).
   • Inizia dall'origine \((0,0)\).
   • Raggiunge un massimo in \((1, 2)\).
   • Ha un flesso in \(\left(2, \frac{4}{e}\right)\), dove \(\frac{4}{e} \approx \frac{4}{2.718} \approx 1.47\).
2. **Per \(2 < x \le 4\):** Un segmento di retta che è la tangente nel punto di flesso \(F\).
   • Parte dal punto \(F\left(2, \frac{4}{e}\right)\).
   • Termina nel punto \((4, 0)\) sull'asse delle ascisse, dove la concentrazione si azzera.

Il grafico mostra una curva che cresce da 0 a 1, poi decresce fino a \(x=2\), mantenendo una concavità verso il basso fino a \(x=2\) e diventando una retta discendente da \(x=2\) fino a \(x=4\) dove tocca lo zero.