Soluzione quesito 1:

Passo 1 — Verifica della forma indeterminata

Per \(x \to 0\), il numeratore \(\int_0^x e^t f(t)\,dt \to 0\) e il denominatore \(e^x - 1 \to 0\): il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Sono verificate le condizioni per applicare la regola di de L'Hôpital.

Passo 2 — Applicazione di de L'Hôpital e del Teorema di Torricelli

Deriviamo numeratore e denominatore. Per il Teorema di Torricelli, la derivata della funzione integrale è la funzione integranda:

\[ \frac{d}{dx}\int_0^x e^t f(t)\,dt = e^x f(x) \]

Quindi:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x e^t f(t)\,dt}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x f(x)}{e^x} = \lim_{x \to 0} f(x) \]

Passo 3 — Conclusione

Per la continuità di \(f\) in \(x=0\):

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 2 \]

Risultato

Il valore del limite è 2.

Soluzione quesito 2:

Passo 1 — Impostazione del problema

Le quattro parti sono prismi di altezza uguale \( AA' \) e basi le quattro parti in cui il quadrato \( ABCD \) resta diviso da \( DE \) ed \( AC \). Poniamo per comodità lo spigolo del cubo uguale a 2; risulta:

\[ AE = 1, \quad DE = \sqrt{5} \]

Passo 2 — Posizione del punto O (intersezione di AC e DE)

Il triangolo \( AEO \) è simile al triangolo \( DOC \) ed essendo \( AE = \frac{1}{2} CD \), risulta:

\[ AO = \frac{1}{2} OC \]

Essendo \( AC = 2\sqrt{2} \):

\[ AO = \frac{1}{3} AC = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad OC = 2AO = \frac{4\sqrt{2}}{3} \]

Passo 3 — Calcolo delle aree di base dei quattro prismi

\[ \begin{align*} \text{Area}(AOE) &= \frac{1}{2} \cdot AO \cdot AE \cdot \sin 45° = \frac{1}{3} \\[6pt] \text{Area}(DOC) &= \frac{1}{2} \cdot DC \cdot CO \cdot \sin 45° = \frac{4}{3} \\[6pt] \text{Area}(AED) &= \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AD = 1 \implies \text{Area}(AOD) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \\[6pt] \text{Area}(CBEO) &= 4 - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \end{align*} \]

Passo 4 — Confronto dei volumi

Poiché il volume di un prisma è \( V = \text{Area(base)} \cdot h \) e i quattro prismi hanno la stessa altezza, il rapporto fra i volumi è uguale al rapporto fra le aree di base:

\[ \text{Area}(CBEO) = \frac{5}{3} = 5 \cdot \frac{1}{3} = 5 \cdot \text{Area}(AOE) \]

Risultato

Il prisma più esteso (base CBEO) ha volume quintuplo rispetto al prisma meno esteso (base AOE).

Soluzione quesito 3:

Passo 1 — Derivata prima

Poiché \( f \) è continua e derivabile su tutto \( \mathbb{R} \), per avere estremanti relativi è necessario che si annulli la derivata prima:

\[ f'(x) = 3ax^2 + 4ax - 3 = 0 \]

Passo 2 — Condizione per massimo e minimo (discriminante positivo)

Se \( \frac{\Delta}{4} > 0 \), la derivata ha due radici reali e distinte, quindi \(f\) ha un massimo e un minimo relativi:

\[ \frac{\Delta}{4} = 4a^2 + 9a > 0 \]

Questa disequazione è verificata per:

\[ a < -\frac{9}{4} \quad \text{oppure} \quad a > 0 \]

Passo 3 — Condizione per nessun estremante (discriminante non positivo)

Se \( \frac{\Delta}{4} \leq 0 \), la derivata non cambia segno e \(f\) non ha estremanti:

\[ -\frac{9}{4} \leq a < 0 \]

Risultato

• Massimo e minimo relativi quando \( a \in \left(-\infty,\, -\dfrac{9}{4}\right) \cup (0,\, +\infty) \)
• Nessun estremante quando \( a \in \left[-\dfrac{9}{4},\, 0\right) \)

Soluzione quesito 4:

Passo 1 — Riscrittura dell'equazione

Osserviamo che \(x = 0\) non è soluzione (il primo membro varrebbe \(-2 \neq 0\)). Per \(x \neq 0\) possiamo dividere per \(x\) e riscrivere:

\[ e^x + e^{-x} = \frac{2}{x} \]

Passo 2 — Studio qualitativo delle due funzioni

Confrontiamo graficamente \( g(x) = e^x + e^{-x} \) e \( h(x) = \dfrac{2}{x} \).

Proprietà di \( g(x) = e^x + e^{-x} \):

• È sempre positiva
• \( g(0) = 2 \), valore minimo assoluto
• \( \lim_{x \to \pm\infty} g(x) = +\infty \)
• È una funzione pari (simmetrica rispetto all'asse \(y\))

Proprietà di \( h(x) = \dfrac{2}{x} \):

• Positiva per \(x > 0\), negativa per \(x < 0\)
• Asintoto verticale in \(x = 0\), asintoto orizzontale \(y = 0\)

Passo 3 — Analisi grafica

Per \(x < 0\): \(g(x) > 0\) mentre \(h(x) < 0\), quindi non ci sono intersezioni.
Per \(x > 0\): \(g(x)\) parte da 2 e cresce; \(h(x)\) parte da \(+\infty\) e decresce verso 0. Le due curve si intersecano esattamente una volta (compresa tra 0 e 2).

Risultato

L'equazione ha una sola soluzione reale, positiva e compresa tra 0 e 2.

Soluzione quesito 5:

Passo 1 — Equazione parametrica della retta \(r\)

Il vettore direzione di \(r\) ha componenti uguali alle differenze delle coordinate dei due punti:

\[ \vec{v} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A,\; z_B - z_A) = (3-1,\; 2-0,\; 0-2) = (2, 2, -2) \]

Le equazioni parametriche di \(r\), passante per \(A(1, 0, 2)\) con vettore direzione \(\vec{v}\), sono:

\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 2 - 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \]

Passo 2 — Intersezione di \(r\) con il piano \(\pi\)

Sostituiamo le equazioni parametriche nel piano \(x + 2y + z = 6\):

\[ (1 + 2t) + 2(2t) + (2 - 2t) = 6 \implies 3 + 4t = 6 \implies t = \frac{3}{4} \]

Il punto di intersezione è:

\[ P = \left(1 + \frac{3}{2},\; \frac{3}{2},\; 2 - \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \]

Passo 3 — Equazione della sfera di centro \(P\) e passante per \(A\)

Il raggio della sfera è la distanza \(PA\):

\[ r = |PA| = \sqrt{\left(\frac{5}{2}-1\right)^2 + \left(\frac{3}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-2\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]

L'equazione della sfera è:

\[ \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{27}{4} \]

Passo 4 — Angolo tra la retta \(r\) e il piano \(\pi\)

Il triangolo \(PAH\), dove \(H\) è il piede della perpendicolare da \(A\) al piano \(\pi\), è rettangolo in \(H\). Quindi:

\[ \sin\alpha = \frac{AH}{AP} \]

Calcoliamo \(AH\) con la formula della distanza punto-piano:

\[ AH = \frac{|x_A + 2y_A + z_A - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 0 + 2 - 6|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Il valore di \(AP\) è già noto dal Passo 3: \(AP = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\). Quindi:

\[ \sin\alpha = \frac{AH}{AP} = \frac{\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Risultato

L'angolo tra la retta \(r\) e il piano \(\pi\) è:

\[ \alpha = \arcsin\!\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 28°8' \]

Soluzione quesito 6:

Passo 1 — Punti di intersezione tra parabola e retta

Risolviamo il sistema:

\[ x^2 - 2x = x \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0 \]

I punti di intersezione sono \(O(0, 0)\) e \(A(3, 3)\).

Nel tratto \([0, 3]\) la retta \(y = x\) sta sopra la parabola \(y = x^2 - 2x\).

In blu la parabola \(y = x^2 - 2x\), in verde la retta \(y = x\). La regione colorata è l'area da calcolare, compresa tra \(O(0,0)\) e \(A(3,3)\).

Passo 2 — Metodo 1: calcolo integrale

\[ \text{Area} = \int_0^3 \left(x - (x^2 - 2x)\right)dx = \int_0^3 (3x - x^2)\,dx \] \[ = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2} \]

Passo 3 — Metodo 2: Teorema di Archimede

Troviamo la tangente \(t\) alla parabola parallela alla retta \(y = x\), cioè con pendenza 1:

\[ y' = 2x - 2 = 1 \implies x = \frac{3}{2}, \quad y = \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4} \]

Il punto di tangenza è \(T\!\left(\dfrac{3}{2},\, -\dfrac{3}{4}\right)\) e l'equazione della tangente è:

\[ t:\; y = x - \frac{9}{4} \quad \text{ovvero} \quad x - y - \frac{9}{4} = 0 \]

In blu la parabola, in verde la retta \(y = x\), in rosso la tangente \(t\) nel punto \(T\!\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4}\right)\). \(H\) è il piede della perpendicolare da \(T\) alla corda \(OA\), con \(h = TH\) altezza del rettangolo circoscritto.

Passo 4 — Calcolo della corda OA e dell'altezza

La base del rettangolo circoscritto è la corda \(OA\):

\[ OA = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

L'altezza del rettangolo circoscritto è la distanza di \(T\) dalla retta \(OA\), cioè dalla retta \(y = x\) ovvero \(x - y = 0\):

\[ h = \frac{\left|\dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{3}{4}\right)\right|}{\sqrt{2}} = \frac{\dfrac{9}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{8} \]

Passo 5 — Applicazione del Teorema di Archimede

L'area del segmento parabolico è \(\dfrac{2}{3}\) dell'area del rettangolo circoscritto:

\[ \text{Area} = \frac{2}{3} \cdot OA \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{54}{8} = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{4} = \frac{9}{2} \]

I due metodi concordano, confermando la validità del Teorema di Archimede per il segmento parabolico.

Soluzione quesito 7:

Passo 1 — Commissioni totali

Il numero di commissioni di 5 persone scelte da 15 è dato dalla combinazione:

\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5!} = \frac{360360}{120} = 3003 \]

Passo 2 — Commissioni con almeno una femmina

Usiamo il metodo del complementare: è più semplice contare le commissioni composte da soli maschi e sottrarle dal totale.

Commissioni composte da soli 5 maschi (scelti tra 8):

\[ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56 \]

Commissioni con almeno una femmina:

\[ 3003 - 56 = 2947 \]

Passo 3 — Commissioni con esattamente 3 maschi e 2 femmine

Scegliamo 3 maschi tra 8 e 2 femmine tra 7, indipendentemente:

\[ \binom{8}{3} \cdot \binom{7}{2} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} \cdot \frac{7 \cdot 6}{2!} = 56 \cdot 21 = 1176 \]

Passo 4 — Elezione di presidente e segretario

Una volta formata la commissione di 5 persone, dobbiamo scegliere 2 di esse per ruoli distinti (presidente e segretario): si tratta quindi di una disposizione (l'ordine conta).

\[ D_{5,2} = 5 \cdot 4 = 20 \]

Soluzione quesito 8:

Impostazione del problema

La probabilità di indovinare una risposta a caso è \(p = \dfrac{1}{4}\), quella di sbagliare è \(q = 1 - p = \dfrac{3}{4}\). Il numero di domande è \(n = 8\).

La variabile aleatoria \(X\) = numero di risposte corrette segue una distribuzione binomiale con formula generale:

\[ P(X = k) = \binom{8}{k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{8-k} \]

Passo 1 — Probabilità di indovinare esattamente 3 risposte

\[ P(X = 3) = \binom{8}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 56 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{243}{1024} = \frac{13608}{65536} \]

Passo 2 — Probabilità di indovinare almeno 2 risposte

Usiamo il metodo del complementare:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \] \[ P(X = 0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^8 = \frac{6561}{65536} \approx 0{,}1001 = 10{,}0\% \] \[ P(X = 1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^7 = 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2187}{16384} = \frac{17496}{65536} \approx 0{,}2670 = 26{,}7\% \] \[ P(X \geq 2) = 1 - \frac{6561}{65536} - \frac{17496}{65536} = 1 - \frac{24057}{65536} = \frac{41479}{65536} \]

Passo 3 — Probabilità di prendere la sufficienza

\[ P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \] \[ P(X = 5) = \binom{8}{5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 56 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{27}{64} = \frac{1512}{65536} \approx 0{,}0231 = 2{,}3\% \] \[ P(X = 6) = \binom{8}{6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 28 \cdot \frac{1}{4096} \cdot \frac{9}{16} = \frac{252}{65536} \approx 0{,}0038 = 0{,}4\% \] \[ P(X = 7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{4}\right)^7 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 8 \cdot \frac{1}{16384} \cdot \frac{3}{4} = \frac{24}{65536} \approx 0{,}0004 = 0{,}04\% \] \[ P(X = 8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{4}\right)^8 = \frac{1}{65536} \approx 0{,}00002 = 0{,}002\% \] \[ P(X \geq 5) = \frac{1512 + 252 + 24 + 1}{65536} = \frac{1789}{65536} \]

Rispondere a caso dà meno del 3% di probabilità di prendere la sufficienza!