Le quattro parti sono prismi di altezza uguale \( AA' \) e basi le quattro parti in cui il quadrato \( ABCD \) resta diviso da \( DE \) ed \( AC \). Poniamo per comodità lo spigolo del cubo uguale a 2; risulta:
\[
AE = 1, \quad DE = \sqrt{5}
\]
Il triangolo \( AEO \) è simile al triangolo \( DOC \) ed essendo \( AE = \frac{1}{2} CD \), risulta:
\[
AO = \frac{1}{2} OC
\]
Essendo \( AC = 2\sqrt{2} \) risulta:
\[
AO = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{2}
\]
\[
OC = 2AO = \frac{4}{3}\sqrt{2}
\]
Calcoliamo le aree di base dei quattro prismi in cui è diviso il cubo:
\[
\begin{align*}
\text{Area}(AOE) &= \frac{1}{2} \cdot (AO \cdot AE \cdot \sin 45°) = \frac{1}{3} \\
\text{Area}(DOC) &= \frac{1}{2} \cdot (DC \cdot CO \cdot \sin 45°) = \frac{4}{3} \\
\text{Area}(AED) &= \frac{1}{2} \cdot (AE \cdot AD) = 1 \implies \text{Area}(AOD) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \\
\text{Area}(CBEO) &= 4 - \frac{2}{3} - \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 5 \cdot \text{Area}(AEO)
\end{align*}
\]
Quindi, siccome il volume di un prisma è dato da \( V = \text{Area(base)} \cdot h \), avendo i quattro prismi la stessa altezza il rapporto fra i volumi è uguale al rapporto fra le aree di base.
Siccome \( \text{Area}(CBEO) = 5 \cdot \text{Area}(AEO) \), il prisma più esteso ha il volume che è il quintuplo del volume del prisma meno esteso.
