Soluzione quesito 1:

Parte 1 — Unicità della soluzione

Posto \(f(x) = x^3 + x - \cos x\) abbiamo:

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]

La derivata è:

\[ f'(x) = 3x^2 + 1 + \sin x > 0 \quad \text{per ogni } x \in \mathbb{R} \]

poiché \(3x^2 + 1 \geq 1\) e \(-1 \leq \sin x \leq 1\), con \(f'(x) = 0\) solo quando contemporaneamente \(x = 0\) e \(\sin x = -1\), il che non accade mai.

La funzione è quindi strettamente crescente su tutto \(\mathbb{R}\) e per il teorema dei valori intermedi ammette un'unica soluzione reale.

Parte 2 — Localizzazione della soluzione in \((0,1)\)

Calcoliamo:

\[ f(0) = 0^3 + 0 - \cos 0 = -1 < 0 \] \[ f(1) = 1^3 + 1 - \cos 1 \approx 1 + 1 - 0.5403 = 1.4597 > 0 \]

Più precisamente:

\[ f(0.6) \approx 0.216 + 0.6 - 0.8253 \approx -0.0093 < 0 \] \[ f(0.7) \approx 0.343 + 0.7 - 0.7648 \approx 0.2782 > 0 \]

Parte 3 — Approssimazione con metodo di bisezione

Applicando il metodo di bisezione nell'intervallo \([0.6,\, 0.7]\):

Iterazione	a	b	Punto medio c	f(c)
1	0.6	0.7	0.65	0.1254
2	0.6	0.65	0.625	0.0564
3	0.6	0.625	0.6125	0.0230
4	0.6	0.6125	0.60625	0.0067

Parte 4 — Approssimazione con metodo di Newton

Partendo da \(x_0 = 0.6\):

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n - \cos x_n}{3x_n^2 + 1 + \sin x_n} \]

Iterazione	\(x_n\)	\(f(x_n)\)
0	0.6	−0.0093
1	0.6016	0.0001

Il metodo converge rapidamente a \(\alpha \approx 0.6016\).

Soluzione quesito 2:

Dominio

Deve essere \(\dfrac{ax-7}{x^2} > 0\). Poiché \(x^2 > 0\) per \(x \neq 0\), la condizione si riduce a \(ax - 7 > 0\), da cui \(x > \dfrac{7}{a}\) (con \(a > 0\)).

Applicazione del Teorema di Rolle

Affinché valga il Teorema di Rolle nell'intervallo \([1,7]\) deve essere \(f(1) = f(7)\):

\[ \ln(a-7) = \ln\!\left(\frac{7a-7}{49}\right) \] \[ a - 7 = \frac{a-1}{7} \quad \Rightarrow \quad 7a - 49 = a - 1 \quad \Rightarrow \quad 6a = 48 \quad \Rightarrow \quad a = 8 \]

La funzione diventa quindi \(f(x) = \ln\!\left(\dfrac{8x-7}{x^2}\right)\), definita, continua e derivabile per \(x > \dfrac{7}{8}\).

Per \(a = 8\) la funzione nell'intervallo \([1,7]\) soddisfa le tre ipotesi del Teorema di Rolle:

1. Continua in \([1,7]\)
2. Derivabile in \((1,7)\)
3. \(f(1) = f(7)\)

Esiste quindi almeno un punto \(c\) interno all'intervallo in cui \(f'(c) = 0\).

Calcolo del punto

Calcoliamo la derivata:

\[ f'(x) = \frac{x^2}{8x-7} \cdot \frac{8x^2 - 2x(8x-7)}{x^4} = \frac{-8x^2 + 14x}{x^2(8x-7)} \]

Ponendo \(f'(x) = 0\):

\[ -8x^2 + 14x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(8x - 14) = 0 \]

Soluzioni: \(x = 0\) (non accettabile) e \(x = \dfrac{7}{4} = c\).

Calcoliamo \(f\!\left(\dfrac{7}{4}\right)\):

\[ f\!\left(\frac{7}{4}\right) = \ln\!\left(\frac{8 \cdot \frac{7}{4} - 7}{\left(\frac{7}{4}\right)^2}\right) = \ln\!\left(\frac{7}{\frac{49}{16}}\right) = \ln\!\left(\frac{16}{7}\right) \]

Soluzione quesito 3:

Equazione della tangente in \(P\)

Sia \(P = (a, b)\) con \(ab = k\) il generico punto dell'iperbole. Utilizzando la formula di sdoppiamento otteniamo l'equazione della tangente \(t\) in \(P\):

\[ \frac{ay + bx}{2} = k \quad \Rightarrow \quad bx + ay - 2k = 0 \]

Il punto \(A\), intersezione di \(t\) con l'asse delle \(y\) (\(x=0\)), ha coordinate:

\[ A = \left(0,\; \frac{2k}{a}\right) \]

Il punto \(B\), intersezione di \(t\) con l'asse delle \(x\) (\(y=0\)), ha coordinate:

\[ B = \left(\frac{2k}{b},\; 0\right) \]

Calcolo delle aree

\[ \text{Area}(BPO) = \frac{OB \times PH}{2} = \frac{1}{2} \left|\frac{2k}{b}\right| \cdot |b| = |k| \] \[ \text{Area}(APO) = \frac{OA \times PK}{2} = \frac{1}{2} \left|\frac{2k}{a}\right| \cdot |a| = |k| \]

Dimostrazione alternativa con le derivate

A partire da \(xy = k\), consideriamo la funzione \(y = f(x) = \dfrac{k}{x}\). Posto \(P = (a, b)\) con \(ab = k\), la tangente ha equazione:

\[ y - b = -\frac{k}{a^2}(x - a) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{k}{a^2}x + \frac{2k}{a} \]

Intersezione con l'asse delle \(y\) (\(x=0\)):

\[ A = \left(0,\; \frac{k}{a} + b\right) \]

Intersezione con l'asse delle \(x\) (\(y=0\)):

\[ B = \left(\frac{a^2 b}{k} + a,\; 0\right) \]

Calcoliamo nuovamente le aree:

\[ \text{Area}(BPO) = \frac{1}{2}\left|\frac{a^2b}{k} + a\right| \cdot |b| = \frac{1}{2}\left|\frac{a^2b^2}{k} + ab\right| = \frac{1}{2}\left|\frac{k^2}{k} + k\right| = |k| \] \[ \text{Area}(APO) = \frac{1}{2}\left|\frac{k}{a} + b\right| \cdot |a| = \frac{1}{2}|k + ab| = \frac{1}{2}|k + k| = |k| \]

Come si può vedere, questo procedimento è meno veloce del primo.

N.B. Esiste una proprietà dell'iperbole generica secondo cui l'area del triangolo formato dal centro dell'iperbole e dalle intersezioni della tangente in un qualsiasi punto \(P\) con i suoi asintoti è costante al variare di \(P\). Nel nostro caso tale triangolo ha area costante \(|2k|\).

Soluzione quesito 4:

Continuità e forma a tratti

La funzione è definita e continua su tutto \(\mathbb{R}\). Studiamo la derivabilità. Esprimiamo la funzione a tratti:

\[ f(x) = \begin{cases} x - 1 + \sqrt[3]{x^3 + x^2} & \text{se } x \geq 1 \\ -x + 1 + \sqrt[3]{x^3 + x^2} & \text{se } x < 1 \end{cases} \]

Derivata prima

\[ f'(x) = \begin{cases} 1 + \dfrac{3x^2 + 2x}{3\sqrt[3]{(x^3 + x^2)^2}} & \text{se } x > 1 \\[10pt] -1 + \dfrac{3x^2 + 2x}{3\sqrt[3]{(x^3 + x^2)^2}} & \text{se } x < 1 \end{cases} \]

La funzione non è derivabile quando \((x^3 + x^2)^2 = 0\), quindi per \(x = 0\) e \(x = -1\).

Analisi dei limiti

Per \(x \to 0^\pm\):

\[ \lim_{x \to 0^\pm} f'(x) = \lim_{x \to 0} \left(-1 + \frac{2x}{3\sqrt[3]{x^4}}\right) = \pm\infty \]

Per \(x \to -1\):

\[ \lim_{x \to -1} f'(x) = \left[-1 + \frac{1}{0^+}\right] = +\infty \]

In \(x = 1\) le derivate laterali sono finite ma diverse:

\[ f'_+(1) = 1 + \frac{5}{3\sqrt[3]{4}} \quad \text{e} \quad f'_-(1) = -1 + \frac{5}{3\sqrt[3]{4}} \]

Classificazione dei punti

Soluzione quesito 5:

Trasformazione della retta \(s\) in forma parametrica

\[ \begin{cases} x + y = 3 \\ y - z = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \lambda \\ x = 3 - \lambda \\ z = \lambda - 1 \end{cases} \]

a) Le rette sono sghembe

Non sono parallele

\[ \vec{v}_r = (1,2,1), \quad \vec{v}_s = (-1,1,1) \]

I vettori non sono proporzionali ⇒ le rette non sono parallele.

Non hanno punti in comune

\[ \begin{cases} 1 + t = 3 - \lambda \\ 2t = \lambda \\ -1 + t = \lambda - 1 \end{cases} \] \[ \lambda = 2t \] \[ 1 + t = 3 - 2t \Rightarrow t = \frac{2}{3} \] \[ -1 + t = 2t - 1 \Rightarrow t = 0 \]

Contraddizione ⇒ nessun punto in comune.

b) Distanza tra le rette

Consideriamo:

\[ R(1+t,\;2t,\;-1+t) \in r \] \[ S(3-\lambda,\;\lambda,\;\lambda-1) \in s \]

Il vettore:

\[ \overrightarrow{RS} = (2 - \lambda - t,\;\lambda - 2t,\;\lambda - t) \]

Imponiamo che sia perpendicolare a entrambe le rette:

Perpendicolarità a \(r\):

\[ \overrightarrow{RS} \cdot \vec{v}_r = 0 \] \[ (2 - \lambda - t) + 2(\lambda - 2t) + (\lambda - t) = 0 \] \[ 2 + 2\lambda - 6t = 0 \Rightarrow \lambda = 3t - 1 \]

Perpendicolarità a \(s\):

\[ \overrightarrow{RS} \cdot \vec{v}_s = 0 \] \[ -(2 - \lambda - t) + (\lambda - 2t) + (\lambda - t) = 0 \] \[ -2 + 3\lambda - 2t = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2 + 2t}{3} \]

Uguagliando:

\[ 3t - 1 = \frac{2 + 2t}{3} \Rightarrow 9t - 3 = 2 + 2t \Rightarrow 7t = 5 \Rightarrow t = \frac{5}{7} \] \[ \lambda = \frac{8}{7} \]

Quindi:

\[ R\left(\frac{12}{7},\frac{10}{7},-\frac{2}{7}\right), \quad S\left(\frac{13}{7},\frac{8}{7},\frac{1}{7}\right) \]

Distanza:

\[ RS = \sqrt{\left(\frac{1}{7}\right)^2 + \left(-\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2} = \frac{\sqrt{14}}{7} \]

Soluzione quesito 6:

a) Distribuzione della variabile aleatoria

Ogni domanda rappresenta una prova di Bernoulli con:

\[ p = \frac{1}{4}, \quad q = \frac{3}{4} \]

Poiché le prove sono indipendenti e in numero fisso \(n = 10\), la variabile \(X\) segue una distribuzione binomiale:

\[ X \sim B(10,\; \tfrac{1}{4}) \]

b) Probabilità di esattamente 3 risposte corrette

\[ P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^3 \left(\frac{3}{4}\right)^7 \] \[ \binom{10}{3} = 120 \] \[ P(X=3) = 120 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{2187}{16384} \approx 0.2503 \]

c) Probabilità di almeno 2 risposte corrette

Conviene usare il complemento:

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \] \[ P(X=0) = \left(\frac{3}{4}\right)^{10} \] \[ P(X=1) = \binom{10}{1} \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^9 \]

Quindi:

\[ P(X \geq 2) \approx 1 - 0.0563 - 0.1877 \approx 0.756 \]

d) Valore atteso, varianza e deviazione standard

\[ E(X) = np = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2.5 \] \[ \sigma^2 = \text{Var}(X) = npq = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{30}{16} = 1.875 \] \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.875} \approx 1.37 \]

Soluzione quesito 7:

a) Calcolo del lato \(BC\)

Applichiamo il teorema del coseno:

\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ \] \[ BC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52 \] \[ BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

b) Area del triangolo

Usiamo la formula con il seno:

\[ A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \]

c) Calcolo degli angoli

Applichiamo il teorema del coseno per l’angolo \(\widehat{ABC}\):

\[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{36 + 52 - 64}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{24}{24\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \]

\(B \approx 73.9^\circ\)

Infine:

\[ C = 180^\circ - 60^\circ - B \approx 46.1^\circ \]

d) Raggio della circonferenza circoscritta

Usiamo la formula:

\[ R = \frac{BC}{2\sin A} \] \[ R = \frac{2\sqrt{13}}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \]

Soluzione quesito 8:

Analisi della forma indeterminata

Il limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Infatti:

• Il denominatore \((1 - \cos x) \to 0\) per \(x \to 0^+\).
• L'integrale a numeratore ha l'estremo superiore che tende a quello inferiore, quindi \(\int_{0}^{0} (e^{\sin t} - 1) \, dt = 0\).

Applicazione della Regola di De L'Hôpital

Poiché le funzioni sono derivabili in un intorno destro di 0 e sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di De L'Hôpital, deriviamo numeratore e denominatore.

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la derivata del numeratore è semplicemente la funzione integranda valutata in \(x\):

\[ D\left[ \int_{0}^{x} (e^{\sin t} - 1) \, dt \right] = e^{\sin x} - 1 \]

La derivata del denominatore è:

\[ D[1 - \cos x] = \sin x \]

Il limite originario è dunque equivalente a:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \]

Risoluzione con limite notevole

Per calcolare l'ultimo limite, utilizziamo il limite notevole della funzione esponenziale:

\[ \lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)} - 1}{f(x)} = 1 \]

Nel nostro caso, ponendo \(f(x) = \sin x\), osserviamo che per \(x \to 0^+\) anche \(\sin x \to 0\). Pertanto:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} = 1 \]