Soluzione quesito 1:

La funzione integrale è definita come \( F(x) = \int_a^x \frac{\cos\left(\frac{1}{t}\right)}{t^2} dt \).

Dobbiamo determinare il più grande valore di \(a\) in modo che \( F\left(\frac{2}{\pi}\right) = -\frac{1}{2} \). Dato che la funzione è definita con \(x \geq a\), e ci viene chiesto \(F\left(\frac{2}{\pi}\right)\), deve valere la condizione \( \frac{2}{\pi} \geq a \).

Questo integrale è risolvibile per sostituzione. Poniamo \( u = \frac{1}{t} \).

Allora \( du = -\frac{1}{t^2} dt \), il che significa \( \frac{1}{t^2} dt = -du \).

Cambiamo gli estremi di integrazione:

• Se \( t = a \), allora \( u_1 = \frac{1}{a} \).
• Se \( t = \frac{2}{\pi} \), allora \( u_2 = \frac{1}{2/\pi} = \frac{\pi}{2} \).

L'integrale diventa:

\[ \int_{1/a}^{\frac{\pi}{2}} \cos(u) (-du) = -\int_{1/a}^{\frac{\pi}{2}} \cos(u) du \] \[ = -[\sin(u)]_{1/a}^{\frac{\pi}{2}} = - \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{1}{a}\right) \right) \]

Sappiamo che \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Quindi l'integrale è uguale a \( - (1 - \sin\left(\frac{1}{a}\right)) = \sin\left(\frac{1}{a}\right) - 1 \).

Ora, impostiamo l'equazione con la condizione data:

\[ \sin\left(\frac{1}{a}\right) - 1 = -\frac{1}{2} \] \[ \sin\left(\frac{1}{a}\right) = 1 - \frac{1}{2} \] \[ \sin\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{2} \]

Dobbiamo trovare il più grande valore di \(a\) positivo che soddisfi questa condizione e la condizione \( \frac{2}{\pi} \geq a \).

Le soluzioni generali per \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \) sono:

• \( \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \)
• \( \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)

Poiché \(a\) è un parametro reale positivo, \( \frac{1}{a} \) deve essere positivo. Questo implica che \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi > 0 \) e \( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi > 0 \). Entrambe queste condizioni sono soddisfatte se e solo se \( k \geq 0 \) per evitare valori di \( \frac{1}{a} \) negativi o nulli.

Caso 1: \( \frac{1}{a} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \), con \( k \geq 0 \).

\[ \frac{1}{a} = \frac{\pi(1 + 12k)}{6} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6}{\pi(1 + 12k)} \]

Valutiamo per i primi valori di \(k\):

• Se \( k = 0 \), \( a = \frac{6}{\pi} \approx 1.9098 \).
• Se \( k = 1 \), \( a = \frac{6}{13\pi} \approx 0.1469 \).
• Per \( k > 0 \), i valori di \(a\) diminuiscono ulteriormente.

Caso 2: \( \frac{1}{a} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), con \( k \geq 0 \).

\[ \frac{1}{a} = \frac{5\pi + 12k\pi}{6} = \frac{\pi(5 + 12k)}{6} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6}{\pi(5 + 12k)} \]

Valutiamo per i primi valori di \(k\):

• Se \( k = 0 \), \( a = \frac{6}{5\pi} \approx 0.38197 \).
• Se \( k = 1 \), \( a = \frac{6}{17\pi} \approx 0.11235 \).
• Per \( k > 0 \), i valori di \(a\) diminuiscono ulteriormente.

Ora applichiamo la condizione \( \frac{2}{\pi} \geq a \).

Convertiamo \( \frac{2}{\pi} \) in un valore numerico approssimato: \( \frac{2}{\pi} \approx \frac{2}{3.14159} \approx 0.6366 \).

Esaminiamo i valori di \(a\) candidati rispetto alla condizione \( a \leq \frac{2}{\pi} \):

• Da Caso 1, \(k=0\): \( a = \frac{6}{\pi} \approx 1.9098 \). Questo valore è maggiore di \( \frac{2}{\pi} \approx 0.6366 \), quindi **non è accettabile**.
• Da Caso 1, \(k=1\): \( a = \frac{6}{13\pi} \approx 0.1469 \). Questo valore è minore di \( \frac{2}{\pi} \), quindi **è accettabile**.
• Da Caso 2, \(k=0\): \( a = \frac{6}{5\pi} \approx 0.38197 \). Questo valore è minore di \( \frac{2}{\pi} \), quindi **è accettabile**.
• Da Caso 2, \(k=1\): \( a = \frac{6}{17\pi} \approx 0.11235 \). Questo valore è minore di \( \frac{2}{\pi} \), quindi **è accettabile**.

Confrontando tutti i valori accettabili per \(a\):

• \( \frac{6}{13\pi} \approx 0.1469 \)
• \( \frac{6}{5\pi} \approx 0.38197 \)
• \( \frac{6}{17\pi} \approx 0.11235 \)
• ... e tutti i successivi valori di \(a\) (per \(k\) crescenti) saranno ancora più piccoli.

Il più grande di questi valori accettabili è \( \frac{6}{5\pi} \).

Quindi, il più grande valore di \(a\) in modo che la condizione sia soddisfatta è \( \frac{6}{5\pi} \).

Soluzione quesito 2:

Prima domanda: Qual è la probabilità che il valore totale delle monete estratte sia esattamente 10 euro?

I casi possibili sono le combinazioni di 15 oggetti a 6 a 6, quindi: \[ C(15, 6) = \binom{15}{6} = \frac{15!}{6!(15-6)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005 \]

Analizziamo i casi favorevoli per ottenere un totale di 10 euro con 6 monete.

Siano \(x\) il numero di monete da 1 euro e \(y\) il numero di monete da 2 euro estratte. Sappiamo che \(x + y = 6\) e \(1x + 2y = 10\).

Sostituendo \(x = 6 - y\) nella seconda equazione:

\[ (6 - y) + 2y = 10 \quad \Rightarrow \quad 6 + y = 10 \quad \Rightarrow \quad y = 4 \]

Se \(y = 4\), allora \(x = 6 - 4 = 2\).

Quindi, l'unica configurazione favorevole è: **4 monete da 2 euro e 2 monete da 1 euro.**

Verifichiamo che questa configurazione sia possibile con le monete disponibili (9 da 1 euro, 6 da 2 euro): Abbiamo 6 monete da 2 euro disponibili, quindi estrarne 4 è possibile. Abbiamo 9 monete da 1 euro disponibili, quindi estrarne 2 è possibile.

Calcoliamo il numero di modi per ottenere questa configurazione:

• Combinazioni di 2 monete da 1 euro su 9 disponibili: \( C(9, 2) = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36 \)
• Combinazioni di 4 monete da 2 euro su 6 disponibili: \( C(6, 4) = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \)

Il numero totale di casi favorevoli è il prodotto di queste combinazioni:

\[ \text{Casi favorevoli} = C(9, 2) \times C(6, 4) = 36 \times 15 = 540 \]

Quindi la probabilità di avere un totale di 10 euro estraendo contemporaneamente 6 monete è:

\[ P(\text{valore esatto 10 euro}) = \frac{540}{5005} = \frac{108}{1001} \approx 0.1079 \]

Seconda domanda: Qual è la probabilità che il valore totale delle monete estratte sia al massimo 10 euro?

Sia \(E\) l'evento che il valore totale delle monete estratte sia al massimo 10 euro. Sia \(E^c\) l'evento complementare, ovvero che il valore totale sia maggiore di 10 euro.

Il massimo valore possibile con 6 monete è 12 euro (quando si estraggono 6 monete da 2 euro).

I valori totali che possono essere maggiori di 10 euro sono 11 euro o 12 euro.

Quindi, \(P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - P(\text{valore = 11 euro o valore = 12 euro})\).

Calcoliamo il numero di casi favorevoli per un valore totale di 11 euro.

Siano \(x\) il numero di monete da 1 euro e \(y\) il numero di monete da 2 euro. \(x + y = 6\) e \(1x + 2y = 11\).

Sostituendo \(x = 6 - y\): \[ (6 - y) + 2y = 11 \quad \Rightarrow \quad 6 + y = 11 \quad \Rightarrow \quad y = 5 \]

Se \(y = 5\), allora \(x = 6 - 5 = 1\).

Questa configurazione è: **1 moneta da 1 euro e 5 monete da 2 euro.**

Verifichiamo la possibilità: abbiamo 9 monete da 1 euro e 6 monete da 2 euro. Questa configurazione è possibile.

Numero di modi per ottenere 1 moneta da 1 euro su 9: \( C(9, 1) = \binom{9}{1} = 9 \) Numero di modi per ottenere 5 monete da 2 euro su 6: \( C(6, 5) = \binom{6}{5} = 6 \) Casi favorevoli per 11 euro: \( 9 \times 6 = 54 \).

Quindi, la probabilità di avere un totale di 11 euro è: \[ P(\text{valore esatto 11 euro}) = \frac{54}{5005} \]

Calcoliamo il numero di casi favorevoli per un valore totale di 12 euro.

Siano \(x\) il numero di monete da 1 euro e \(y\) il numero di monete da 2 euro. \(x + y = 6\) e \(1x + 2y = 12\).

Sostituendo \(x = 6 - y\): \[ (6 - y) + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 6 + y = 12 \quad \Rightarrow \quad y = 6 \]

Se \(y = 6\), allora \(x = 6 - 6 = 0\).

Questa configurazione è: **0 monete da 1 euro e 6 monete da 2 euro.**

Verifichiamo la possibilità: abbiamo 6 monete da 2 euro. Questa configurazione è possibile.

Numero di modi per ottenere 0 monete da 1 euro su 9: \( C(9, 0) = \binom{9}{0} = 1 \) Numero di modi per ottenere 6 monete da 2 euro su 6: \( C(6, 6) = \binom{6}{6} = 1 \) Casi favorevoli per 12 euro: \( 1 \times 1 = 1 \).

Quindi, la probabilità di avere un totale di 12 euro è: \[ P(\text{valore esatto 12 euro}) = \frac{1}{5005} \]

Pertanto, la probabilità che il valore totale sia maggiore di 10 euro è:

\[ P(E^c) = P(\text{valore = 11 euro}) + P(\text{valore = 12 euro}) = \frac{54}{5005} + \frac{1}{5005} = \frac{55}{5005} = \frac{1}{91} \]

Segue che la probabilità che il valore totale delle monete estratte sia al massimo 10 euro è data da:

\[ P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - \frac{1}{91} = \frac{90}{91} \approx 0.9890 \]

Soluzione quesito 3:

Per verificare che i quattro punti sono complanari determiniamo il piano per O, A e B e, successivamente, verifichiamo che C appartiene a tale piano.

Equazione generale del piano: \( ax + by + cz + d = 0 \).

Imponiamo il passaggio per O, A e B:

• Passaggio per \(O(0,0,0)\): \( a(0) + b(0) + c(0) + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 0 \).
• Passaggio per \(A(1,4,8)\): \( a(1) + b(4) + c(8) = 0 \quad \Rightarrow \quad a + 4b + 8c = 0 \).
• Passaggio per \(B(8,8,4)\): \( a(8) + b(8) + c(4) = 0 \quad \Rightarrow \quad 8a + 8b + 4c = 0 \quad \Rightarrow \quad 2a + 2b + c = 0 \).

Risolviamo il sistema:

\[ \begin{cases} a + 4b + 8c = 0 \\ 2a + 2b + c = 0 \end{cases} \]

Dalla seconda equazione: \( c = -2a - 2b \).

Sostituendo nella prima: \[ a + 4b + 8(-2a - 2b) = 0 \] \[ a + 4b - 16a - 16b = 0 \] \[ -15a - 12b = 0 \quad \Rightarrow \quad 5a + 4b = 0 \] Poniamo \( a = 4 \), allora \( 5(4) + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 20 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -20 \quad \Rightarrow \quad b = -5 \).

Quindi, \( c = -2(4) - 2(-5) = -8 + 10 = 2 \).

Le componenti del vettore normale al piano sono \( (4, -5, 2) \). Quindi il piano per O, A e B ha equazione: \( 4x - 5y + 2z = 0 \).

Verifichiamo che C appartiene a tale piano, sostituendo le coordinate di \(C(7,4,-4)\): \[ 4(7) - 5(4) + 2(-4) = 28 - 20 - 8 = 0 \] Poiché l'equazione è soddisfatta, il punto C appartiene al piano. Quindi i quattro punti sono complanari.

Classificazione del quadrilatero \(OABC\):

Calcoliamo i vettori che formano i lati del quadrilatero:

• Vettore \( \vec{OA} = A - O = (1, 4, 8) \)
• Vettore \( \vec{BC} = C - B = (7-8, 4-8, -4-4) = (-1, -4, -8) \)
• Vettore \( \vec{AB} = B - A = (8-1, 8-4, 4-8) = (7, 4, -4) \)
• Vettore \( \vec{OC} = C - O = (7, 4, -4) \)

Notiamo che \( \vec{OA} = (1,4,8) \) e \( \vec{BC} = (-1,-4,-8) \). Quindi \( \vec{BC} = - \vec{OA} \). I lati OA e BC sono paralleli e hanno la stessa lunghezza.

Notiamo che \( \vec{AB} = (7,4,-4) \) e \( \vec{OC} = (7,4,-4) \). Quindi \( \vec{AB} = \vec{OC} \). I lati AB e OC sono paralleli e hanno la stessa lunghezza.

Poiché i lati opposti sono paralleli e congruenti, il quadrilatero OABC è un **parallelogramma**.

Calcoliamo le misure dei lati (lunghezze dei vettori):

\[ ||\vec{OA}|| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9 \] \[ ||\vec{AB}|| = \sqrt{7^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9 \]

Poiché il parallelogramma ha due lati consecutivi uguali (\(||\vec{OA}|| = ||\vec{AB}|| = 9\)), è un **rombo**.

Controlliamo se è un quadrato verificando se due lati consecutivi (come OA e AB) sono perpendicolari, calcolando il loro prodotto scalare:

\[ \vec{OA} \cdot \vec{AB} = (1)(7) + (4)(4) + (8)(-4) = 7 + 16 - 32 = -9 \]

Poiché il prodotto scalare è \( -9 \neq 0 \), i lati OA e AB non sono perpendicolari. Pertanto, il rombo OABC non è un quadrato.

Quindi, il quadrilatero OABC è un **ROMBO**.

Calcolo dell'area e del perimetro:

Il perimetro del rombo, avendo tutti i lati uguali (lato = 9), è:

\[ \text{Perimetro} = 4 \times \text{lato} = 4 \times 9 = 36 \]

L'area del rombo può essere calcolata come metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali. Le diagonali sono OB e AC.

• Vettore diagonale \( \vec{OB} = B - O = (8, 8, 4) \)
• Vettore diagonale \( \vec{AC} = C - A = (7-1, 4-4, -4-8) = (6, 0, -12) \)

Calcoliamo le lunghezze delle diagonali:

\[ ||\vec{OB}|| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12 \] \[ ||\vec{AC}|| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 0 + 144} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \]

L'area del rombo (semiprodotto delle diagonali) è quindi:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times ||\vec{OB}|| \times ||\vec{AC}|| = \frac{1}{2} \times 12 \times 6\sqrt{5} = 36\sqrt{5} \]

Soluzione quesito 4:

Cerchiamo il valor medio di \( P(t) \) nell’intervallo \( [2a, 3a] \).

Dalla relazione data, la potenza è \( P(t) = R [i(t)]^2 \).

Sostituendo l'espressione per \( i(t) \): \[ P(t) = R \left[ I_0 \left(\frac{a}{t}\right) \right]^2 = R I_0^2 \frac{a^2}{t^2} \]

Osserviamo che la funzione \( P(t) \) è continua nell’intervallo chiuso e limitato \( [2a, 3a] \), poiché \( t > 0 \) e \( a \) è una costante positiva, quindi \( 2a \) e \( 3a \) sono positivi.

Quindi, in base al Teorema della media del calcolo integrale, il valor medio richiesto è dato da: \[ \overline{P} = \frac{1}{3a - 2a} \int_{2a}^{3a} P(t) dt \] \[ \overline{P} = \frac{1}{a} \int_{2a}^{3a} R I_0^2 \frac{a^2}{t^2} dt \] Portiamo fuori le costanti dall'integrale: \[ \overline{P} = \frac{R I_0^2 a^2}{a} \int_{2a}^{3a} \frac{1}{t^2} dt = R I_0^2 a \int_{2a}^{3a} t^{-2} dt \] Ora risolviamo l'integrale: \[ \int t^{-2} dt = -t^{-1} = -\frac{1}{t} \] Applichiamo i limiti di integrazione: \[ \left[ -\frac{1}{t} \right]_{2a}^{3a} = \left( -\frac{1}{3a} \right) - \left( -\frac{1}{2a} \right) = -\frac{1}{3a} + \frac{1}{2a} \] Mettiamo su denominatore comune: \[ = \frac{-2 + 3}{6a} = \frac{1}{6a} \]

Sostituendo questo risultato nell'espressione per il valor medio: \[ \overline{P} = R I_0^2 a \times \frac{1}{6a} \] \[ \overline{P} = \frac{R I_0^2}{6} \]

\(\overline{P} = \frac{R I_0^2}{6}\): valor medio richiesto (in watt).