Soluzione quesito 1:

Il quadrato ha lato 4. La circonferenza circoscritta ha come diametro la diagonale del quadrato. La diagonale \( d \) del quadrato si calcola con il teorema di Pitagora: \[ d = 4\sqrt{2} \] Il raggio della circonferenza circoscritta è: \[ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \] Quindi la sua area è: \[ A_{\text{grande}} = \pi R^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi \cdot 8 = 8\pi \] La circonferenza iscritta nel quadrato ha raggio pari a metà lato, cioè: \[ r = \frac{4}{2} = 2 \] e la sua area è: \[ A_{\text{piccola}} = \pi r^2 = \pi \cdot 4 = 4\pi \] L'area compresa tra le due circonferenze è quindi: \[ A = A_{\text{grande}} - A_{\text{piccola}} = 8\pi - 4\pi = 4\pi \]

Soluzione quesito 2:

Il numero di teste ottenute in 10 lanci di una moneta con probabilità \( p = 0{,}6 \) segue una distribuzione binomiale \( B(n=10, p=0{,}6) \).

La probabilità che si ottengano esattamente 7 teste è data dalla formula della distribuzione binomiale:

\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot (0{,}6)^7 \cdot (0{,}4)^3 \]

Calcoliamo passo per passo:

\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \] \[ (0{,}6)^7 \approx 0{,}02799 \quad \text{e} \quad (0{,}4)^3 = 0{,}064 \] \[ P(X = 7) \approx 120 \cdot 0{,}02799 \cdot 0{,}064 \approx 0{,}215 \]

Quindi la probabilità richiesta è circa 0,215 (ovvero 21,5%).

Ora calcoliamo la probabilità che escano al massimo 7 teste. Questa è la probabilità complementare di ottenere 8, 9 o 10 teste:

\[ P(X \leq 7) = 1 - P(X = 8) - P(X = 9) - P(X = 10) \]

Calcoliamo ciascun termine:

\[ P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot (0{,}6)^8 \cdot (0{,}4)^2 = 45 \cdot 0{,}0168 \cdot 0{,}16 \approx 0{,}121 \] \[ P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot (0{,}6)^9 \cdot (0{,}4)^1 = 10 \cdot 0{,}0101 \cdot 0{,}4 \approx 0{,}040 \] \[ P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot (0{,}6)^{10} = 1 \cdot 0{,}0060 = 0{,}006 \]

Sommiamo:

\[ P(X \geq 8) = 0{,}121 + 0{,}040 + 0{,}006 = 0{,}167 \]

Quindi:

\[ P(X \leq 7) = 1 - 0{,}167 = 0{,}833 \]

La probabilità che esca testa **al massimo 7 volte** è quindi circa 0,833 (83,3%).

Soluzione quesito 3:

L'integrale \[ \int_0^1 x \ln(x) \, dx \] è un **integrale improprio** in quanto la funzione \( \ln(x) \) non è definita in \( x=0 \) (presenta una singolarità). Per calcolarlo, lo riscriviamo come limite, introducendo una variabile \( k \) che tende a \( 0 \) da destra:

\[ \int_0^1 x \ln(x) \, dx = \lim_{k \to 0^+} \int_k^1 x \ln(x) \, dx \]

Risolviamo prima l'integrale indefinito \[ \int x \ln(x) \, dx \] utilizzando l'integrazione per parti. Ricordiamo la formula: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).

Poniamo:

• \( u = \ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \)
• \( dv = x \, dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} \)

Allora:

\[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x}{2} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \]

Ora, calcoliamo l'integrale definito tra \( k \) e \( 1 \):

\[ \int_k^1 x \ln(x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} \right]_k^1 \]

Applichiamo il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, valutando la funzione agli estremi dell'intervallo:

\[ = \left( \frac{1^2}{2} \ln(1) - \frac{1^2}{4} \right) - \left( \frac{k^2}{2} \ln(k) - \frac{k^2}{4} \right) \]

Sappiamo che \( \ln(1) = 0 \), quindi il primo termine diventa:

\[ = \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{k^2}{2} \ln(k) - \frac{k^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - \frac{k^2}{2} \ln(k) + \frac{k^2}{4} \]

Infine, prendiamo il limite per \( k \to 0^+\). Dobbiamo analizzare il comportamento del termine \(k^2 \ln(k) \):

Consideriamo il limite \(\lim_{k \to 0^+} k^2 \ln(k) \). Questa è una forma indeterminata del tipo \( 0 \cdot (-\infty) \). Possiamo riscriverla come una forma \( \frac{\infty}{\infty} \) per applicare la Regola di L'Hôpital:

\[ \lim_{k \to 0^+} \frac{\ln(k)}{1/k^2} = \lim_{k \to 0^+} \frac{1/k}{-2/k^3} = \lim_{k \to 0^+} \frac{1}{k} \cdot \left(-\frac{k^3}{2}\right) = \lim_{k \to 0^+} -\frac{k^2}{2} = 0 \]

Dunque, abbiamo che:

• \( \lim_{k \to 0^+} \frac{k^2}{2} \ln(k) = 0 \)
• \( \lim_{k \to 0^+} \frac{k^2}{4} = 0 \)

Quindi, il limite finale è:

\[ \lim_{k \to 0^+} \left( -\frac{1}{4} - \frac{k^2}{2} \ln(k) + \frac{k^2}{4} \right) = -\frac{1}{4} - 0 + 0 = -\frac{1}{4} \]

Risultato:

Il valore dell'integrale improprio è:

\[ \int_0^1 x \ln(x) \, dx = -\frac{1}{4} \]

Poiché il limite è un valore finito, l'integrale improprio **converge**.

Soluzione:

a) Per determinare la posizione reciproca della retta \( r \) e del piano \( \beta \), dobbiamo prima trovare i parametri direttori della retta \( r \). Questi si ottengono dalla differenza delle coordinate dei punti \( A \) e \( B \):

\[ \text{Parametri direttori di } r: (2-1, 1-0, 1-(-1)) = (1, 1, 2) \]

L'equazione parametrica della retta \( r \) è quindi:

\[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 + t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \]

Per verificare la posizione reciproca, sostituiamo le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano \( \beta \):

\[ 2(1 + t) - (0 + t) + 3(-1 + 2t) - 6 = 0 \]

Semplificando:

\[ 2 + 2t - t - 3 + 6t - 6 = 0 \] \[ (2t - t + 6t) + (2 - 3 - 6) = 0 \] \[ 7t - 7 = 0 \] \[ 7t = 7 \] \[ t = 1 \]

Poiché esiste un valore di \( t \) che soddisfa l'equazione, la retta \( r \) è incidente al piano \( \beta \) nel punto corrispondente a \( t = 1 \).

b) Per trovare l'equazione della sfera con centro \( C(0, 1, -1) \) e tangente al piano \( \beta \), dobbiamo prima determinare il raggio della sfera, che è la distanza dal centro \( C \) al piano \( \beta \).

La distanza \( d \) dal punto \( C(x_0, y_0, z_0) \) al piano \( \beta \) di equazione \( 2x - y + 3z - 6 = 0 \) è data da:

\[ d = \frac{|2x_0 - y_0 + 3z_0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} \]

Sostituendo le coordinate di \( C \):

\[ d = \frac{|2(0) - 1 + 3(-1) - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|0 - 1 - 3 - 6|}{\sqrt{14}} = \frac{10}{\sqrt{14}} \]

Il raggio della sfera è quindi \( \frac{10}{\sqrt{14}} \). L'equazione della sfera è:

\[ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - (-1))^2 = \left(\frac{10}{\sqrt{14}}\right)^2 \]

Semplificando:

\[ x^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = \frac{100}{14} \] \[ x^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = \frac{50}{7} \]

Soluzione:

Continuità in \(x = 0\)

Per la continuità in \(x = 0\), dobbiamo avere:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]

Calcoliamo i limiti:

Per \(x \to 0^-\):

\[ \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(x)}{x} + a \right) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(x)}{x} + a = 1 + a \]

Sappiamo che \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).

Per \(x \to 0^+\):

\[ \lim_{x \to 0^+} (x^2 + a x + b) = 0^2 + a \cdot 0 + b = b \]

Il valore della funzione in \(x = 0\) è:

\[ f(0) = 0^2 + a \cdot 0 + b = b \]

Per la continuità, dobbiamo avere:

\[ 1 + a = b \]

Derivabilità in \(x = 0\)

Per la derivabilità in \(x = 0\), dobbiamo verificare che le derivate destra e sinistra in \(x = 0\) siano uguali.

Calcoliamo le derivate:

Per \(x < 0\): \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x} + a\)

\[ f'(x) = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \]

Quindi, la derivata sinistra in \(x = 0\) è:

\[ f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} \]

Usando la regola di de l'Hôpital:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - x \sin(x) - \cos(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x \sin(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2} = 0 \]

Per \(x > 0\): \(f(x) = x^2 + a x + b\)

\[ f'(x) = 2x + a \]

Quindi, la derivata destra in \(x = 0\) è:

\[ f'_+(0) = 2 \cdot 0 + a = a \]

Per la derivabilità, dobbiamo avere:

\[ f'_-(0) = f'_+(0) \Rightarrow 0 = a \]

Da \(1 + a = b\) e \(a = 0\), otteniamo \(b = 1\).

Conclusione:

• La funzione \(f(x)\) è continua e derivabile in \(x = 0\) se e solo se \(a = 0\) e \(b = 1\).

Soluzione:

Metodo dei gusci cilindrici

Per calcolare il volume del solido di rotazione attorno all'asse \( y \) utilizzando il metodo dei gusci cilindrici con la formula \( V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \), dobbiamo considerare \( f(x) \) come l'altezza del guscio cilindrico.

In questo caso, \( f(x) = \sqrt{x} + 1 \).

I limiti di integrazione per \( x \) sono da \( 0 \) a \( 4 \).

Il volume \( V \) del solido di rotazione è dato da:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{4} x \cdot (\sqrt{x} + 1) \, dx \]

Semplifichiamo l'integrando:

\[ V = 2\pi \int_{0}^{4} (x^{3/2} + x) \, dx \]

Calcoliamo l'integrale:

\[ V = 2\pi \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = 2\pi \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]

Sostituendo i limiti di integrazione:

\[ V = 2\pi \left( \frac{2}{5} (4)^{5/2} + \frac{4^2}{2} \right) - 2\pi \left( \frac{2}{5} (0)^{5/2} + \frac{0^2}{2} \right) \] \[ V = 2\pi \left( \frac{2}{5} \cdot 32 + \frac{16}{2} \right) = 2\pi \left( \frac{64}{5} + 8 \right) = 2\pi \left( \frac{64}{5} + \frac{40}{5} \right) = 2\pi \left( \frac{104}{5} \right) = \frac{208\pi}{5} \]

Conclusione: Il volume del solido ottenuto ruotando la regione \( R \) attorno all'asse \( y \) è \( \frac{208\pi}{5} \).

Soluzione quesito 7:

Applicazione del Teorema di Rolle:

Il Teorema di Rolle afferma che se una funzione \(f(x)\) soddisfa le seguenti tre ipotesi nell'intervallo [a, b] :

1. \(f(x)\) è continua nell'intervallo chiuso [a, b] .
2. \(f(x)\) è derivabile nell'intervallo aperto (a, b) .
3. \(f(a) = f(b)\).

Allora esiste almeno un punto \(c \in (A, B)\) tale che \(f'(c) = 0\).

Nel nostro caso, la funzione è \(f(x) = x^3 - ax\) e l'intervallo è [0, 4] .

1. **Continuità:** La funzione \(f(x) = x^3 - ax\) è un polinomio, quindi è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare nell'intervallo [0, 4] .

2. **Derivabilità:** La derivata di \(f(x)\) è \(f'(x) = 3x^2 - a\). Essendo un polinomio, \(f'(x)\) è definita su tutto \(\mathbb{R}\), quindi \(f(x)\) è derivabile nell'intervallo aperto \((0, 4)\).

3. **Condizione agli estremi:** Dobbiamo imporre che \(f(0) = f(4)\).

\[ f(0) = 0^3 - a(0) = 0 \] \[ f(4) = 4^3 - a(4) = 64 - 4a \]

Uguagliamo i valori:

\[ 0 = 64 - 4a \] \[ 4a = 64 \] \[ a = 16 \]

Quindi, la funzione soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle per \(a = 16\).

La funzione diventa \(f(x) = x^3 - 16x\).

Trovare il punto \(c\)

Ora che abbiamo determinato \(a=16\), dobbiamo trovare un punto \(c \in (0, 4)\) tale che \(f'(c) = 0\).

La derivata della funzione è \(f'(x) = 3x^2 - a\).

Sostituendo \(a=16\):

\[ f'(x) = 3x^2 - 16 \]

Imponiamo \(f'(c) = 0\):

\[ 3c^2 - 16 = 0 \] \[ 3c^2 = 16 \] \[ c^2 = \frac{16}{3} \]

Le soluzioni per \(c\) sono:

\[ c = \pm\sqrt{\frac{16}{3}} = \pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Dobbiamo scegliere il valore di \(c\) che appartiene all'intervallo \((0, 4)\).

\[ c = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Verifichiamo che questo valore sia nell'intervallo \((0, 4)\):

Sappiamo che \(\sqrt{3} \approx 1.732\).

\[ c \approx \frac{4 \cdot 1.732}{3} = \frac{6.928}{3} \approx 2.309 \]

Poiché \(0 < 2.309 < 4\), il valore \(c = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) è il punto garantito dal Teorema di Rolle.

Risultato:

Il valore di \(a\) per cui la funzione soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle è \(a=16\).

Il punto \(c\) garantito dal teorema è \(c = \frac{4\sqrt{3}}{3}\).

Soluzione quesito 8:

Definizione di derivata:

La derivata di una funzione \(f(x)\) in un punto \(x_0\) è definita come il limite del rapporto incrementale, se tale limite esiste ed è finito:

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

Nel nostro caso, la funzione è \(f(x) = e^x\) e il punto in cui vogliamo calcolare la derivata è \(x_0 = 1\).

Applichiamo la definizione:

Sostituiamo \(f(x) = e^x\) e \(x_0 = 1\) nella definizione:

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \]

Calcoliamo i termini \(f(1 + h)\) e \(f(1)\):

• \(f(1 + h) = e^{(1+h)}\)
• \(f(1) = e^1 = e\)

Sostituiamo questi valori nell'espressione del limite:

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{(1+h)} - e}{h} \]

Utilizziamo la proprietà delle potenze \(e^{(1+h)} = e^1 \cdot e^h = e \cdot e^h\):

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e \cdot e^h - e}{h} \]

Mettiamo in evidenza \(e\) al numeratore:

\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{e(e^h - 1)}{h} \]

Ora possiamo usare il limite notevole fondamentale:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]

Nel nostro limite, \(x\) corrisponde a \(h\). Quindi, il limite \(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}\) è uguale a 1.

Possiamo portare \(e\) fuori dal limite in quanto è una costante rispetto a \(h\):

\[ f'(1) = e \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \] \[ f'(1) = e \cdot 1 \] \[ f'(1) = e \]

Risultato:

La derivata della funzione \(f(x) = e^x\) nel punto \(x=1\), calcolata utilizzando la definizione, è \(e\).