Test a risposta multipla

Domanda 1

Si lancia 5 volte una moneta truccata che dà testa con probabilità p=2/3. La probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte è:

A) \(\frac{40}{243}\) B) \(\frac{80}{243}\) C) \(\frac{20}{243}\) D) \(\frac{10}{243}\)

Soluzione:
Si tratta di un problema di prove ripetute (distribuzione binomiale), con probabilità di "un successo" uguale a p=2/3 (uscita della testa), n=5 e k=2. La probabilità di ottenere testa esattamente 2 volte nei cinque lanci è data da (ricordiamo che q=1-p):

\( p_{k,n} = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = p_{2,5} = \binom{5}{2} p^2 (1-p)^3 = 10 p^2 (1-p)^3 \).

Sostituendo p=2/3 otteniamo:

\( 10 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243} \)

Domanda 2

Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz è dato il piano: π:3x-2y+5=0.
Quali sono le coordinate del punto H, proiezione ortogonale di P=(4,2,1) sul piano π?

A) (3, 0, -2) B) (-2, 3, 1) C) (1, -1, 0) D) (1, 4, 1)

Soluzione:
1. Determiniamo la retta r per P ortogonale al piano π:
- Vettore normale al piano: n = (3, -2, 0)
- Equazioni parametriche della retta r:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3t \\ y = 2 - 2t \\ z = 1 + 0t \end{cases} \]

2. Troviamo l'intersezione tra retta e piano:
Sostituendo nell'equazione del piano π:
\[ 3(4+3t) - 2(2-2t) + 5 = 0 \]
\[ 12 + 9t - 4 + 4t + 5 = 0 \]
\[ 13t + 13 = 0 \Rightarrow t = -1 \]

3. Sostituendo t=-1 nelle equazioni parametriche:
\[ \begin{cases} x = 4 + 3(-1) = 1 \\ y = 2 - 2(-1) = 4 \\ z = 1 + 0(-1) = 1 \end{cases} \]
⇒ H = (1; 4; 1)

Domanda 3

Una funzione polinomiale di quarto grado y=p(x) soddisfa queste proprietà:
1) il suo grafico è tangente all'asse x nell'origine
2) passa per il punto (1,0)
3) ha un punto stazionario in (2, -2).
Qual è l'equazione del polinomio?

A) \(y = x^4 - 3x^3 + 2x^2\) B) \(y = x^4 - \frac{7}{2}x^3 + \frac{5}{2}x^2\) C) \(y = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{3}{2}x^2\) D) \(y = 2x^4 - 5x^3 + 3x^2\)

Soluzione:
La generica funzione polinomiale di quarto grado ha equazione del tipo:
\[ y = p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \] \[ y' = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d \]

Condizioni:
1) Passaggio per (0; 0): \( e = 0 \)
2) Passaggio per (1;0): \( a + b + c + d + e = 0 \)
3) Passaggio per (2; -2): \( 16a + 8b + 4c + 2d + e = -2 \)
4) Tangenza all'asse x nell'origine: \( y'(0) = 0 \Rightarrow d = 0 \)
5) Punto stazionario in (2; -2): \( y'(2) = 0 \Rightarrow 32a + 12b + 4c + d = 0 \)

Sistema risolutivo:
\[ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ 16a + 8b + 4c = -2 \\ 32a + 12b + 4c = 0 \end{cases} \] Semplificando: \[ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ 8a + 4b + 2c = -1 \\ 8a + 3b + c = 0 \end{cases} \] Risolvendo si ottiene: \[ a = 1,\quad b = -\frac{7}{2},\quad c = \frac{5}{2},\quad d = 0,\quad e = 0 \]

Equazione finale:
\[ y = p(x) = x^4 - \frac{7}{2}x^3 + \frac{5}{2}x^2 \]

Domanda 4

I valori dei parametri reali a e b della funzione \( f(x)=\frac{ax^2+bx+3}{2x^2+5x-1} \) tali che essa abbia:

la retta y=2 come asintoto orizzontale
un punto stazionario in x=1

sono:

A) a = 4, b = -5 B) a = 2, b = -3 C) a = 4, b = 5 D) a = -4, b = 5

Soluzione:
1. Condizione per l'asintoto orizzontale y=2:
\[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \] Calcoliamo il limite: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{ax^2+bx+3}{2x^2+5x-1} = \frac{a}{2} = 2 \] Quindi: \( a = 4 \)

2. Condizione per il punto stazionario in x=1:
La funzione diventa: \[ f(x) = \frac{4x^2 + bx + 3}{2x^2 + 5x - 1} \] Calcoliamo la derivata prima: \[ f'(x) = \frac{(8x + b)(2x^2 + 5x - 1) - (4x^2 + bx + 3)(4x + 5)}{(2x^2 + 5x - 1)^2} \] Imponiamo \( f'(1) = 0 \): \[ \frac{(8 + b)(6) - (7 + b)(9)}{36} = 0 \] \[ 6(8 + b) - 9(7 + b) = 0 \] \[ 48 + 6b - 63 - 9b = 0 \] \[ -3b - 15 = 0 \] \[ b = -5 \]

Soluzione finale:
I parametri sono \( a = 4 \) e \( b = -5 \)
La funzione diventa: \[ f(x) = \frac{4x^2 - 5x + 3}{2x^2 + 5x - 1} \]

Domanda 5

Determinare il valore del parametro reale k > 1 in modo che il valor medio della funzione:

\[ f(x) = \ln(x^3) + \frac{3x - 3}{x} \]

sull'intervallo [1, k] sia uguale a \( 1 - \ln\left(\frac{5}{2}\right) \).

Il valore di k è:

A) \( e^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right)} \) B) \( \sqrt[3]{\frac{2}{5}} \) C) \( \frac{5}{2}e \) D) \( \frac{2}{5}e^{\frac{1}{3}} \)

Soluzione:
1. Calcolo del valor medio:
\[ f_{medio} = \frac{1}{k-1} \int_1^k \left[ \ln(x^3) + \frac{3x-3}{x} \right] dx \] Semplifichiamo l'integranda: \[ = \frac{3}{k-1} \int_1^k \left[ \ln x + 1 - \frac{1}{x} \right] dx \]

2. Integrazione:
Calcoliamo separatamente gli integrali: \[ \int \ln x \, dx = x\ln x - x + C \] \[ \int \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx = x - \ln x + C \] Quindi: \[ \frac{3}{k-1} \left[ (x\ln x - x) + (x - \ln x) \right]_1^k \] \[ = \frac{3}{k-1} \left[ (k-1)\ln k \right] = 3\ln k \]

3. Risoluzione dell'equazione:
Uguagliamo al valor medio richiesto: \[ 3\ln k = 1 - \ln\left(\frac{5}{2}\right) \] \[ \ln k^3 = 1 - \ln\left(\frac{5}{2}\right) \] \[ k^3 = e^{1 - \ln(5/2)} = \frac{e}{5/2} = \frac{2e}{5} \] \[ k = \left( \frac{2e}{5} \right)^{1/3} = e^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\ln\left(\frac{5}{2}\right)} \]

Domanda 6

L'area massima di un rettangolo inscritto in una semicirconferenza di raggio 5 cm, con la base sul diametro è:

A) 25 cm² B) 20 cm² C) 30 cm² D) 15 cm²

Soluzione:
1. Impostazione geometrica:
Consideriamo la semicirconferenza \( y = \sqrt{25 - x^2} \) con \( x \in [0,5] \).

Rettangolo inscritto in semicirconferenza

2. Funzione area e strategia di massimizzazione:
\( A(x) = 2x\sqrt{25-x^2} \)
Poiché A(x) ≥ 0, il massimo di A(x) coincide con il massimo di [A(x)]²
Definiamo quindi: \( z(x) = [A(x)]^2 = 4x^2(25-x^2) = 100x^2 - 4x^4 \)

3. Derivata prima:
\( z'(x) = 200x - 16x^3 = 8x(25 - 2x^2) \)

4. Studio del segno:
z'(x) = 0 per x = 0 o x = 5√2/2 ≈ 3.5355

-----------------------------------------------
| Intervallo       | Segno z'(x) | Andamento  |
-----------------------------------------------
| x < 0            |      -      |    ↘       |
| 0 < x < 5√2/2    |      +      |    ↗       |
| x = 5√2/2        |      0      |   MASSIMO  |
| x > 5√2/2        |      -      |    ↘       |
-----------------------------------------------

⇒ La funzione z(x) ha un massimo in x = 5√2/2

5. Calcolo dell'area massima:
Poiché A(x) è massima quando z(x) è massima, cioè per \( x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \):
\[ A_{\text{max}} = 2 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = 25 \text{ cm}^2 \]

6. Soluzione alternativa con proprietà algebrica:
Consideriamo il punto \( B=(x,y) \) sulla semicirconferenza (\( x^2+y^2=25 \)):

Per la proprietà: se la somma di due quantità positive è costante, il loro prodotto è massimo quando sono uguali
Quindi \( x^2y^2 \) è massimo quando \( x^2 = y^2 \)
Se \( x^2y^2 \) è massimo, lo è anche \( xy \) (essendo \( x,y > 0 \))
E quindi anche \( 2xy \) (area del rettangolo) è massima

Imponendo \( x^2 = y^2 \) nell'equazione \( x^2 + y^2 = 25 \):
\[ 2x^2 = 25 \Rightarrow x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Confermando così il risultato precedente.

7. Verifica:
- In \( x=0 \) e \( x=5 \): \( A(x)=0 \)
- In \( x=\frac{5\sqrt{2}}{2} \): area massima di 25 cm²

Domanda 7

Quanto vale il seguente limite?

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(3x)) \ln(1 + 4x)}{x \sin^2(2x)} \]

A) \(\frac{9}{2}\) B) \(\frac{3}{2}\) C) 2 D) \(\frac{4}{9}\)

Soluzione:
1. Richiami dei limiti notevoli come equivalenze asintotiche:
\[ 1 - \cos(ax) \sim \frac{a^2x^2}{2} \quad \text{per} \quad x \to 0 \] \[ \ln(1 + ax) \sim ax \quad \text{per} \quad x \to 0 \] \[ \sin(ax) \sim ax \quad \text{per} \quad x \to 0 \]

2. Sostituzione degli equivalenti asintotici:
\[ \frac{(1 - \cos(3x)) \ln(1 + 4x)}{x \sin^2(2x)} \sim \frac{\left(\frac{(3x)^2}{2}\right) \cdot 4x}{x \cdot (2x)^2} \]

3. Semplificazione:
\[ = \frac{\frac{9x^2}{2} \cdot 4x}{x \cdot 4x^2} = \frac{18x^3}{4x^3} = \frac{9}{2} \]

4. Risultato finale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(3x)) \ln(1 + 4x)}{x \sin^2(2x)} = \frac{9}{2} \]

Domanda 8

Data la funzione \( f(x) = e^{2x} - 3x \), dopo aver verificato che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo \([0, 1]\), determinare il punto \( c \) la cui esistenza è garantita dal teorema.

A) \( c = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) \) B) \( c = \ln\left(\frac{e^2 + 1}{2}\right) \) C) \( c = \frac{e^2 - 4}{2} \) D) \( c = \frac{1}{2} \ln(e^2 - 3) \)

Soluzione:
1. Verifica ipotesi teorema di Lagrange:
Continuità: \( f(x) \) è combinazione di funzioni continue in \([0,1]\)
Derivabilità: \( f'(x) = 2e^{2x} - 3 \) esiste in \((0,1)\)

2. Calcolo valori agli estremi:
\[ f(0) = e^0 - 0 = 1 \] \[ f(1) = e^2 - 3 \]

3. Rapporto incrementale:
\[ \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = e^2 - 4 \]

4. Equazione da risolvere:
\[ 2e^{2c} - 3 = e^2 - 4 \]

5. Passaggi risolutivi:
\[ 2e^{2c} = e^2 - 1 \] \[ e^{2c} = \frac{e^2 - 1}{2} \] \[ 2c = \ln\left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) \] \[ c = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) \]

6. Soluzione finale:
Il punto \( c \) garantito dal teorema è: \[ \boxed{c = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^2 - 1}{2}\right)} \]

Test con quesiti simili a quelli del Questionario della prova d'esame