Risposta corretta: C) \([-2, 0) \cup (0, +\infty)\)

Per determinare il dominio della funzione \(f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{e^x-1}\), dobbiamo considerare due condizioni:

1. **Condizione sulla radice quadrata:** L'argomento della radice quadrata deve essere maggiore o uguale a zero. $$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$$ Questo ci dà l'intervallo \([-2, +\infty)\).
2. **Condizione sul denominatore:** Il denominatore non deve essere uguale a zero. $$e^x-1 \ne 0$$ $$e^x \ne 1$$ Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri: $$\ln(e^x) \ne \ln(1)$$ $$x \ne 0$$

Combinando queste due condizioni, dobbiamo trovare i valori di \(x\) per cui \(x \ge -2\) E \(x \ne 0\).

L'intervallo \([-2, +\infty)\) include \(0\). Dobbiamo escludere \(0\) da questo intervallo. Pertanto, il dominio è l'unione di due intervalli: \([-2, 0)\) e \((0, +\infty)\).

In notazione d'insieme, il dominio è \([-2, 0) \cup (0, +\infty)\).

Risposta corretta: A) \([-1, 3]\)

Per trovare il codominio della funzione \(f(x) = 2\sin(3x) + 1\), partiamo dal codominio della funzione seno fondamentale.

Sappiamo che il codominio di \(\sin(\theta)\) (dove \(\theta\) è un qualsiasi angolo reale, come \(3x\)) è l'intervallo \([-1, 1]\). Questo significa che:

$$-1 \le \sin(3x) \le 1$$

Ora, applichiamo le trasformazioni presenti nella nostra funzione \(f(x)\):

1. **Moltiplicazione per 2:** Moltiplichiamo tutti i membri della disuguaglianza per 2: $$-1 \cdot 2 \le 2\sin(3x) \le 1 \cdot 2$$ $$-2 \le 2\sin(3x) \le 2$$
2. **Addizione di 1:** Aggiungiamo 1 a tutti i membri della disuguaglianza: $$-2 + 1 \le 2\sin(3x) + 1 \le 2 + 1$$ $$-1 \le 2\sin(3x) + 1 \le 3$$

Quindi, il codominio della funzione \(f(x) = 2\sin(3x) + 1\) è l'intervallo \([-1, 3]\).

Risposta corretta: B) \(1.3\)

L'equazione \(\ln(x) - e^{-x} = 0\) può essere riscritta come \(\ln(x) = e^{-x}\). Per trovare la soluzione, cerchiamo il punto di intersezione delle due funzioni \(g(x) = \ln(x)\) e \(h(x) = e^{-x}\).

Rappresentando graficamente le due funzioni \(g(x) = \ln(x)\) e \(h(x) = e^{-x}\), ci accorgiamo che c'è una soluzione (un punto di intersezione) nell'intervallo tra \(x=1\) e \(x=1.5\).

Per affinare l'approssimazione a meno di un decimo, possiamo costruire una tabella di valori delle due funzioni in quell'intervallo:

\(x\)	\(g(x) = \ln(x)\)	\(h(x) = e^{-x}\)	\(f(x) = \ln(x) - e^{-x}\)
\(1.1\)	\(\ln(1.1) \approx 0.095\)	\(e^{-1.1} \approx 0.333\)	\(\approx -0.238\)
\(1.2\)	\(\ln(1.2) \approx 0.182\)	\(e^{-1.2} \approx 0.301\)	\(\approx -0.119\)
\(1.3\)	\(\ln(1.3) \approx 0.262\)	\(e^{-1.3} \approx 0.272\)	\(\approx -0.010\)
\(1.4\)	\(\ln(1.4) \approx 0.336\)	\(e^{-1.4} \approx 0.247\)	\(\approx +0.089\)

Come si può osservare dalla tabella, il valore della funzione \(f(x) = \ln(x) - e^{-x}\) cambia segno tra \(x=1.3\) (dove è circa -0.010) e \(x=1.4\) (dove è circa +0.089). Il valore più vicino a zero, e quindi la soluzione approssimata a meno di un decimo, è **\(1.3\)**.

Ecco il grafico dell'equazione \(f(x) = \ln(x) - e^{-x}\). La soluzione è il punto in cui la curva interseca l'asse x (cioè \(f(x) = 0\)).

Risposta corretta: B) \(f(x) > 0\) per \(x > 1\)

Per studiare il segno della funzione \(f(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x-1}}\), dobbiamo prima determinare il suo dominio e poi analizzare il segno del numeratore e del denominatore.

1. Dominio della Funzione

• **Condizione sul logaritmo:** L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: \(x > 0\).
• **Condizione sulla radice quadrata:** L'argomento della radice quadrata deve essere maggiore o uguale a zero: \(x-1 \ge 0 \implies x \ge 1\).
• **Condizione sul denominatore:** Il denominatore non può essere nullo: \(\sqrt{x-1} \ne 0 \implies x-1 \ne 0 \implies x \ne 1\).

Combinando queste condizioni: \(x > 0\) E \(x \ge 1\) E \(x \ne 1\). Il dominio è quindi \(x > 1\), ovvero l'intervallo \((1, +\infty)\).

2. Segno del Numeratore (\(N(x) = \ln(x)\))

• \(\ln(x) > 0\) quando \(x > 1\).
• \(\ln(x) = 0\) quando \(x = 1\) (ma \(x=1\) è escluso dal dominio).
• \(\ln(x) < 0\) quando \(0 < x < 1\) (ma questo intervallo è escluso dal dominio).

Nel dominio della funzione \((x > 1)\), \(\ln(x)\) è sempre positivo.

3. Segno del Denominatore (\(D(x) = \sqrt{x-1}\))

• \(\sqrt{x-1} > 0\) quando \(x-1 > 0 \implies x > 1\).
• \(\sqrt{x-1}\) non è definito per \(x \le 1\) (o è zero per \(x=1\), ma \(x=1\) è escluso dal dominio).

Nel dominio della funzione \((x > 1)\), \(\sqrt{x-1}\) è sempre positivo.

4. Segno della Funzione \(f(x)\)

Dato che per \(x > 1\) sia il numeratore (\(\ln(x)\)) che il denominatore (\(\sqrt{x-1}\)) sono entrambi positivi, la funzione \(f(x)\) sarà positiva:

$$f(x) = \frac{\text{numeratore positivo}}{\text{denominatore positivo}} > 0 \quad \text{per } x > 1$$

In sintesi, la funzione è definita e positiva per tutti i valori di \(x\) strettamente maggiori di \(1\).

Risposta corretta: B) Dispari

Per determinare se una funzione è pari, dispari o nessuna delle due, dobbiamo valutare \(f(-x)\) e confrontarla con \(f(x)\) e \(-f(x)\).

• Una funzione è **pari** se \(f(-x) = f(x)\) per ogni \(x\) nel suo dominio (simmetrica rispetto all'asse y).
• Una funzione è **dispari** se \(f(-x) = -f(x)\) per ogni \(x\) nel suo dominio (simmetrica rispetto all'origine).

Consideriamo la funzione data: \(f(x) = x^3 - x\).

Calcoliamo \(f(-x)\):

$$f(-x) = (-x)^3 - (-x)$$ $$f(-x) = -x^3 + x$$

Ora confrontiamo questo risultato con \(f(x)\) e \(-f(x)\):

• Confronto con \(f(x)\): \(-x^3 + x \ne x^3 - x\), quindi la funzione **non è pari**.
• Confronto con \(-f(x)\): $$-f(x) = -(x^3 - x) = -x^3 + x$$ Poiché \(f(-x) = -x^3 + x\) e \(-f(x) = -x^3 + x\), abbiamo che \(f(-x) = -f(x)\).

Dato che \(f(-x) = -f(x)\), la funzione \(f(x) = x^3 - x\) è una **funzione dispari**.

Nota sulla risposta D: Per \(f(x) = x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)\), i valori che annullano la funzione sono \(x=0, x=1, x=-1\), non solo \(x=0\) e \(x=1\).

Risposta corretta: B) \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)\)

Per determinare il dominio della funzione \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{\sin(x)-\cos(x)}}\), è necessario che l'argomento della radice quadrata sia **strettamente positivo**, poiché si trova al denominatore:

$$ \sin(x) - \cos(x) > 0 $$ $$ \sin(x) > \cos(x) $$

Nell'intervallo dato \([0, 2\pi]\), l'equazione \(\sin(x) = \cos(x)\) ha due soluzioni:

• La prima si trova nel primo quadrante, dove \(x = \frac{\pi}{4}\).
• La seconda si trova nel terzo quadrante, dove \(x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\).

La disequazione \(\sin(x) > \cos(x)\) è facilmente risolvibile rappresentando nello stesso piano cartesiano le funzioni \(g(x) = \sin(x)\) (curva blu) e \(h(x) = \cos(x)\) (curva verde).

Dal grafico (che puoi visualizzare cliccando su "Vuoi vedere un grafico?") si deduce che la curva del seno è al di sopra della curva del coseno nell'intervallo **\(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)\)**. Gli estremi \(\frac{\pi}{4}\) e \(\frac{5\pi}{4}\) sono esclusi perché in questi punti \(\sin(x) = \cos(x)\), il che renderebbe il denominatore nullo.

Pertanto, il dominio della funzione nell'intervallo \([0, 2\pi]\) è \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)\).

Grafico di \(y = \sin(x)\) (blu) e \(y = \cos(x)\) (verde) nell'intervallo \([0, 2\pi]\). Si osserva che \(\sin(x) > \cos(x)\) quando la curva blu è sopra la curva verde.

Risposta corretta: C) \(2\pi\)

Per trovare il periodo di una funzione composta da una somma di funzioni trigonometriche, come \(f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)\), dobbiamo seguire questi passaggi:

1. Trovare il periodo di ciascun termine singolarmente.

• Per una funzione del tipo \(\sin(nx)\) o \(\cos(nx)\), il periodo è dato da \(T = \frac{2\pi}{|n|}\).
• Per \(\sin(3x)\): Qui \(n = 3\). Quindi il periodo \(T_1 = \frac{2\pi}{3}\).
• Per \(\cos(2x)\): Qui \(n = 2\). Quindi il periodo \(T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi\).

2. Calcolare il minimo comune multiplo (mcm) dei periodi trovati.

Il periodo della funzione somma è il **mcm** dei periodi individuali. Dobbiamo trovare il **mcm** di \(\frac{2\pi}{3}\) e \(\pi\).

Per trovare il **mcm** di frazioni della forma \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\), si usa la formula: $$mcm\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right) = \frac{mcm(a, c)}{MCD(b, d)}$$ (dove **MCD** è il massimo comune divisore).

Nel nostro caso, possiamo scrivere \(\pi\) come \(\frac{\pi}{1}\). Quindi, dobbiamo trovare \(mcm\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{1}\right)\).

• **Numeratori:** \(mcm(2\pi, \pi) = 2\pi\).
• **Denominatori:** \(MCD(3, 1) = 1\).

Quindi, il periodo di \(f(x) = \sin(3x) + \cos(2x)\) è \(\frac{2\pi}{1} = 2\pi\).

---

Osservazione

Per trovare il **mcm** di \(\frac{2}{3}\pi\) e \(\pi\) (che possiamo scrivere come \(\frac{1}{1}\pi\)), possiamo procedere così: cerchiamo il più piccolo multiplo di \(\frac{2}{3}\pi\) che sia anche multiplo di \(\pi\).

• I multipli di \(\pi\) sono: \(\pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi, \ldots\)
• I multipli di \(\frac{2}{3}\pi\) sono: \(\frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi, \frac{6}{3}\pi (=2\pi), \frac{8}{3}\pi, \ldots\)

Il primo valore comune a entrambe le liste è \(2\pi\). Quindi, il **mcm** è \(2\pi\).

Risposta corretta: A) \(f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}\)

Per trovare la funzione inversa \(f^{-1}(x)\) di una funzione \(f(x)\), seguiamo i seguenti passaggi:

1. Sostituire \(f(x)\) con \(y\):

$$y = \ln(2x+1)$$

2. Scambiare \(x\) con \(y\):

Questo è il passaggio chiave per "invertire" la relazione: $$x = \ln(2y+1)$$

3. Risolvere l'equazione per \(y\):

Per definizione di logaritmo, se \(x = \ln(A)\), allora \(A = e^x\). Applicando questa definizione alla nostra equazione, abbiamo: $$e^x = 2y+1$$ Ora isoliamo \(y\): $$e^x - 1 = 2y$$ $$y = \frac{e^x - 1}{2}$$

4. Sostituire \(y\) con \(f^{-1}(x)\):

$$f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$$

Dominio e Codominio delle Funzioni Inverse:

Un principio fondamentale delle funzioni inverse è che il **dominio della funzione originale diventa il codominio (o immagine) della funzione inversa**, e il **codominio (o immagine) della funzione originale diventa il dominio della funzione inversa**.

Analizziamo la funzione di partenza \(f(x) = \ln(2x+1)\):

• **Dominio di \(f(x)\):** Per l'esistenza del logaritmo, l'argomento deve essere strettamente positivo: $$2x+1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2}$$ Quindi, il dominio di \(f(x)\) è \(\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\).
• **Codominio (o Immagine) di \(f(x)\):** La funzione logaritmo naturale, \(\ln(z)\), ha come codominio tutto l'insieme dei numeri reali, \((-\infty, +\infty)\). Poiché l'argomento \(2x+1\) può assumere qualsiasi valore positivo, \(\ln(2x+1)\) può assumere qualsiasi valore reale. Quindi, il codominio di \(f(x)\) è \((-\infty, +\infty)\).

Ora analizziamo la funzione inversa \(f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}\):

• **Dominio di \(f^{-1}(x)\):** La funzione esponenziale \(e^x\) è definita per tutti i numeri reali. Non ci sono restrizioni (denominatori che si annullano, radici pari di numeri negativi, logaritmi di valori non positivi, ecc.) nella sua espressione. Pertanto, il dominio di \(f^{-1}(x)\) è \((-\infty, +\infty)\). Questo è coerente con il fatto che il dominio di \(f^{-1}(x)\) è il codominio di \(f(x)\).
• **Codominio (o Immagine) di \(f^{-1}(x)\):** La funzione esponenziale \(e^x\) è sempre positiva, cioè \(e^x > 0\) per ogni \(x\). Quindi: $$e^x - 1 > 0 - 1$$ $$e^x - 1 > -1$$ Dividendo per 2: $$\frac{e^x - 1}{2} > \frac{-1}{2}$$ $$\frac{e^x - 1}{2} > -\frac{1}{2}$$ Pertanto, il codominio (o immagine) di \(f^{-1}(x)\) è \(\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)\). Questo è coerente con il fatto che il codominio di \(f^{-1}(x)\) è il dominio di \(f(x)\).

Risposta corretta: B) \(\sqrt{e^x + 1}\)

La composizione di funzioni \(f(g(x))\) significa che dobbiamo sostituire ogni occorrenza di \(x\) nella funzione \(f(x)\) con l'intera espressione della funzione \(g(x)\).

Abbiamo le seguenti funzioni:

• \(f(x) = \sqrt{x}\)
• \(g(x) = e^x + 1\)

Per calcolare \(f(g(x))\), prendiamo la definizione di \(f(x)\) e, al posto di \(x\), inseriamo \(g(x)\):

$$f(g(x)) = f(\underbrace{e^x + 1}_{g(x)})$$

Ora, applichiamo la regola di \(f\), che è prendere la radice quadrata del suo argomento:

$$f(e^x + 1) = \sqrt{e^x + 1}$$

Quindi, l'equazione di \(f(g(x))\) è \(\sqrt{e^x + 1}\).

---

Osservazione sul Dominio della Funzione Composta

Affinché una funzione composta \(f(g(x))\) sia definita, è necessario che il **codominio della funzione "interna" \(g(x)\) abbia un'intersezione non vuota con il dominio della funzione "esterna" \(f(x)\)**.

In altre parole, i valori che \(g(x)\) produce (il suo codominio) devono essere validi come input per la funzione \(f(x)\) (devono far parte del dominio di \(f(x)\)).

Consideriamo la nostra funzione \(f(g(x)) = \sqrt{e^x + 1}\):

• **Dominio di \(f(x) = \sqrt{x}\):** richiede che l'argomento sia maggiore o uguale a zero, quindi \(x \ge 0\).
• **Codominio di \(g(x) = e^x + 1\):** Sappiamo che \(e^x > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\). Di conseguenza, \(e^x + 1 > 1\). Il codominio di \(g(x)\) è quindi \((1, +\infty)\).

Verifichiamo la condizione: il codominio di \(g(x)\) è \((1, +\infty)\). Il dominio di \(f(x)\) è \([0, +\infty)\). Poiché tutti i valori in \((1, +\infty)\) sono anche maggiori o uguali a \(0\), l'intersezione è non vuota e, in questo caso, il codominio di \(g(x)\) è interamente contenuto nel dominio di \(f(x)\). Questo garantisce che \(f(g(x))\) sia definita per tutti i valori per cui \(g(x)\) è definita (cioè per tutti i numeri reali).

Infatti, per la nostra funzione composta \(f(g(x))\), l'argomento della radice quadrata, \(e^x + 1\), è sempre maggiore di \(1\) (e quindi sempre \(\ge 0\)), il che significa che la radice è sempre definita per qualsiasi valore di \(x\). Quindi, il dominio di \(f(g(x))\) è \((-\infty, +\infty)\).

---

Esempio di Composizione Non Definita Ovunque (o Mai)

Consideriamo un altro esempio per capire quando la composizione potrebbe non essere definita per tutti i valori:

• Sia \(f(x) = \ln(x)\). Il suo **dominio** è \((0, +\infty)\).
• Sia \(g(x) = x - 5\). Il suo **codominio** è \((-\infty, +\infty)\).

La funzione composta sarebbe \(f(g(x)) = \ln(x-5)\).

Affinché \(\ln(x-5)\) sia definita, dobbiamo avere \(x-5 > 0\), il che significa \(x > 5\). In questo caso, il codominio di \(g(x)\) (\((-\infty, +\infty)\)) ha solo un'intersezione parziale con il dominio di \(f(x)\) (\((0, +\infty)\)). Solo i valori di \(g(x)\) che sono maggiori di \(0\) possono essere usati come input per \(f(x)\), e questo si traduce in una restrizione sul dominio di \(x\) per la funzione composta.

---

Esempio di Composizione Impossibile

Ora, consideriamo il tuo esempio per un caso in cui la composizione non è proprio possibile:

• Sia \(f(x) = \ln(x)\). Il suo **dominio** è \((0, +\infty)\).
• Sia \(g(x) = -x^2 - 1\).

Calcoliamo il **codominio di \(g(x)\)**: Sappiamo che \(x^2 \ge 0\). Quindi, \(-x^2 \le 0\). Di conseguenza, \(-x^2 - 1 \le -1\). Il codominio di \(g(x)\) è quindi \((-\infty, -1]\).

Perché la funzione composta \(f(g(x))\) esista, dobbiamo prendere i valori dal codominio di \(g(x)\) e inserirli nel dominio di \(f(x)\).

Il codominio di \(g(x)\) è \((-\infty, -1]\). Il dominio di \(f(x)\) è \((0, +\infty)\).

L'intersezione tra il codominio di \(g(x)\) e il dominio di \(f(x)\) è: $$(-\infty, -1] \cap (0, +\infty) = \emptyset$$ Poiché l'intersezione è vuota, **non esiste nessun valore di \(x\) per cui la funzione \(f(g(x))\) sia definita**. In questo caso, la composizione \(f(g(x))\) non è possibile.

Risposta corretta: A) \((-\infty, 2)\)

La funzione data \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) è l'equazione di una **parabola**. Poiché il coefficiente di \(x^2\) è \(a = -1\) (un valore negativo), la concavità della parabola è rivolta verso il **basso**.

Una parabola con concavità verso il basso è crescente fino a raggiungere il suo **vertice** (che in questo caso è un punto di massimo) e decrescente dopo il vertice.

Per trovare la coordinata \(x\) del vertice (\(x_V\)) di una parabola nella forma \(ax^2 + bx + c\), usiamo la formula:

$$x_V = -\frac{b}{2a}$$

Nella nostra funzione \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\), abbiamo \(a = -1\) e \(b = 4\).

Sostituendo questi valori nella formula:

$$x_V = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$$

Quindi, il vertice della parabola si trova nel punto in cui \(x = 2\).

Dato che la parabola ha la concavità verso il basso, la funzione sarà **crescente per tutti i valori di \(x\) minori della coordinata \(x\) del vertice**. Cioè, per \(x < 2\).

Quindi, la funzione è crescente nell'intervallo \((-\infty, 2)\).

Grafico della parabola: