Risposta corretta: A) f'(x) = 0

Un punto stazionario è definito come un punto in cui la derivata prima della funzione si annulla (\(f'(x) = 0\)). Questo indica un punto in cui la pendenza della tangente alla curva è zero, suggerendo un potenziale massimo, minimo o flesso.

Risposta corretta: C) f(x) = x³

Calcoliamo la derivata prima per ogni funzione e verifichiamo se si annulla in \(x=0\):

• \(f(x) = x \implies f'(x) = 1\). Non si annulla.
• \(f(x) = |x|\). Non è derivabile in \(x=0\).
• \(f(x) = x³ \implies f'(x) = 3x²\). Per \(x=0\), \(f'(0) = 0\). Quindi, \(x=0\) è un punto stazionario.
• \(f(x) = 1/x \implies f'(x) = -1/x²\). Non è definita in \(x=0\).

Risposta corretta: C) Punto di flesso

Per \(f(x) = x³\), la derivata prima è \(f'(x) = 3x²\).

Ponendo \(f'(x) = 0\), otteniamo \(3x² = 0\), il che implica \(x=0\). Quindi, \(x=0\) è un **punto stazionario**.

Per determinare la natura del punto stazionario, analizziamo il **segno della derivata prima** \(f'(x) = 3x²\):

• Per \(x < 0\), \(f'(x) = 3x² > 0\). La funzione è **crescente**.
• Per \(x > 0\), \(f'(x) = 3x² > 0\). La funzione è anch'essa **crescente**.

Dato che la derivata prima non cambia segno attorno a \(x=0\) (rimane positiva sia prima che dopo \(x=0\)), ma si annulla nel punto, \(x=0\) è un **punto di flesso a tangente orizzontale**. La funzione cresce fino a \(x=0\), ha pendenza nulla in \(x=0\), e continua a crescere dopo \(x=0\).

Risposta corretta: B) Massimo locale

Questa è una condizione sufficiente per l'esistenza di un massimo locale, basata sul criterio della derivata seconda. Se la derivata prima è zero e la derivata seconda è negativa, la funzione ha una concavità verso il basso in quel punto, indicando un massimo.

Risposta corretta: A) L'annullamento della funzione

Un punto stazionario è definito dall'annullamento della derivata prima (\(f'(x)=0\)). Per poter calcolare la derivata prima e porla uguale a zero, la funzione deve essere **derivabile** in quel punto. Dato che la derivabilità in un punto implica la **continuità** in quel punto, sia la derivabilità prima che la continuità sono condizioni necessarie implicite.

Tuttavia, il valore della funzione in un punto stazionario (\(f(x)\)) non deve necessariamente essere zero. Un punto stazionario indica solo che la pendenza della curva è orizzontale in quel punto, non che la curva attraversa l'asse x.

Risposta corretta: C) Punto di flesso a tangente orizzontale

Se la derivata prima si annulla in \(x_0\) ma non cambia segno in un intorno di \(x_0\), significa che la funzione continua a crescere (se \(f'(x) \ge 0\)) o a decrescere (se \(f'(x) \le 0\)) attraversando quel punto stazionario. Questo è il comportamento tipico di un punto di flesso a tangente orizzontale (es. \(f(x)=x^3\) in \(x=0\), dove \(f'(x)=3x^2\), che è sempre \(\ge 0\)).

Risposta corretta: C) Non possiamo dire nulla, serve derivata prima (o successive)

Se \(f'(x_0) = 0\) e \(f''(x_0) = 0\), il criterio della derivata seconda non è conclusivo. Il punto potrebbe essere un massimo, un minimo o un flesso. È necessario analizzare il segno della derivata prima attorno al punto, oppure calcolare le derivate successive fino a trovare la prima derivata non nulla e determinarne l'ordine e il segno.

Risposta corretta: A) 1

Calcoliamo la derivata prima di \(f(x) = e^{-x²}\):

\(f'(x) = e^{-x²} \cdot (-2x) = -2xe^{-x²}\)

Per trovare i punti stazionari, poniamo \(f'(x) = 0\):

\(-2xe^{-x²} = 0\)

Poiché \(e^{-x²}\) è sempre maggiore di zero, l'unica soluzione è \(x=0\). Quindi c'è solo un punto stazionario.

Risposta corretta: B) f(x) = tan(x)

Analizziamo le derivate prime:

• \(f(x) = x² \implies f'(x) = 2x\). \(f'(x) = 0\) per \(x=0\). Ha un punto stazionario.
• \(f(x) = \tan(x) \implies f'(x) = 1/\cos²(x)\). Questa derivata è sempre positiva (o non definita dove \(\cos(x)=0\)), quindi non si annulla mai. Non ha punti stazionari.
• \(f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x)\). \(f'(x) = 0\) per \(x = \pi/2 + k\pi\). Ha infiniti punti stazionari.
• \(f(x) = \cos(x) \implies f'(x) = -\sin(x)\). \(f'(x) = 0\) per \(x = k\pi\). Ha infiniti punti stazionari.

Risposta corretta: A) Tutti i punti sono stazionari

Se una funzione è costante, ad esempio \(f(x) = c\), la sua derivata prima è \(f'(x) = 0\) per ogni valore di \(x\) nel suo dominio. Questo significa che ogni punto del dominio è un punto stazionario.