Risposta corretta: A) Un punto in cui la derivata è zero

Un punto stazionario per una funzione derivabile è un punto in cui la sua derivata prima si annulla. Questo indica che in quel punto la tangente al grafico della funzione è orizzontale, e il punto può essere un massimo locale, un minimo locale o un punto di flesso a tangente orizzontale.

Risposta corretta: B) Calcolando la derivata della funzione e ponendola uguale a zero

Per trovare i punti stazionari di una funzione derivabile, è necessario calcolare la sua **derivata prima** e risolvere l'equazione \(f'(x) = 0\). Le soluzioni di questa equazione sono i valori di \(x\) in cui la funzione ha un punto stazionario (un massimo, un minimo o un flesso a tangente orizzontale).

Risposta corretta: B) I punti stazionari possono essere massimi o minimi

Un **punto stazionario** è un punto in cui la derivata prima di una funzione è uguale a zero. Questi punti sono critici nell'analisi della funzione poiché indicano dove la pendenza della curva è orizzontale. La loro natura può essere di:

• **Massimo locale**: La funzione raggiunge un picco in quel punto rispetto ai suoi dintorni.
• **Minimo locale**: La funzione raggiunge una valle in quel punto rispetto ai suoi dintorni.
• **Punto di flesso a tangente orizzontale**: La funzione cambia la sua concavità (da concava a convessa o viceversa) in quel punto, pur avendo pendenza zero. Un esempio classico è \(f(x) = x^3\) in \(x=0\).

Analizziamo le opzioni:

• **A) Tutti i punti stazionari sono massimi o minimi**: Questa affermazione è **falsa**. I punti di flesso a tangente orizzontale sono punti stazionari ma non sono né massimi né minimi.
• **B) I punti stazionari possono essere massimi o minimi**: Questa affermazione è **vera**. Massimi e minimi locali rientrano nella categoria dei punti stazionari.
• **C) I punti stazionari sono sempre punti di non derivabilità**: Questa affermazione è **falsa**. Per definizione, un punto stazionario esiste solo se la funzione è derivabile in quel punto e la sua derivata è zero. I punti di non derivabilità (come i punti angolosi o cuspidi) non sono punti stazionari.
• **D) I punti stazionari non esistono per funzioni continue**: Questa affermazione è **falsa**. I punti stazionari sono un concetto chiave nello studio delle funzioni continue e derivabili.

Risposta corretta: D) La derivata seconda da sola non fornisce informazioni sui punti stazionari

Analizziamo le affermazioni:

• **A) La derivata seconda positiva indica un massimo locale**: Questa affermazione è **falsa**. Se la derivata prima è zero e la derivata seconda è positiva (\(f''(x_0) > 0\)), allora \(x_0\) è un **minimo locale**.
• **B) La derivata seconda negativa indica un minimo locale**: Questa affermazione è **falsa**. Se la derivata prima è zero e la derivata seconda è negativa (\(f''(x_0) < 0\)), allora \(x_0\) è un **massimo locale**.
• **C) La derivata seconda nulla indica un punto stazionario**: Questa affermazione è **falsa**. Un punto è stazionario se la **derivata prima** è nulla (\(f'(x_0) = 0\)). La derivata seconda nulla in un punto stazionario (\(f''(x_0) = 0\)) significa che il criterio della derivata seconda **non è conclusivo** per determinarne la natura (può essere un massimo, un minimo o un flesso).
• **D) La derivata seconda da sola non fornisce informazioni sui punti stazionari**: Questa affermazione è **vera**. Per usare il criterio della derivata seconda, è prima necessario sapere che il punto è un punto stazionario, ovvero che la **derivata prima in quel punto sia zero** (\(f'(x_0) = 0\)). La derivata seconda serve a classificare i punti stazionari già trovati, non a identificarli come tali.

Risposta corretta: D) Se la derivata seconda è zero, non si può classificare

Il criterio della derivata seconda è un metodo per classificare i punti stazionari (\(x_0\) dove \(f'(x_0) = 0\)):

• Se \(f''(x_0) > 0\), il punto è un **minimo locale** (concavità verso l'alto).
• Se \(f''(x_0) < 0\), il punto è un **massimo locale** (concavità verso il basso).
• Se \(f''(x_0) = 0\), il criterio della derivata seconda **non è conclusivo**. In questo caso, il punto potrebbe essere un massimo, un minimo o un punto di flesso. È necessario utilizzare altri metodi, come l'analisi del segno della derivata prima o delle derivate di ordine superiore.

Pertanto, se la derivata seconda è zero, non si ha sufficiente informazione per classificare il punto stazionario solo con questo criterio.

Risposta corretta: C) Un massimo o minimo locale può non essere un massimo o minimo globale

Distinguiamo tra massimi/minimi locali e globali:

• Un **massimo locale** è il valore più grande della funzione in un certo intervallo (intorno) del punto. Analogamente per un **minimo locale**.
• Un **massimo globale** (o assoluto) è il valore più grande che la funzione assume su tutto il suo dominio. Analogamente per un **minimo globale**.

È comune che una funzione abbia diversi massimi e minimi locali, ma solo uno (o nessuno) massimo globale e uno (o nessuno) minimo globale. Ad esempio, la funzione \(f(x) = x^3 - 3x\) ha un massimo locale e un minimo locale, ma non ha massimi o minimi globali sull'intero dominio dei numeri reali. Al contrario, una funzione periodica come \(\sin(x)\) ha infiniti massimi locali che sono anche massimi globali.

Quindi, un massimo o minimo locale non è necessariamente un massimo o minimo globale, ma un massimo o minimo globale è sempre anche un massimo o minimo locale.

Risposta corretta: A) Un cambiamento nella concavità della funzione

Un **punto di flesso** è un punto in cui il grafico di una funzione cambia la sua concavità, ovvero passa da essere concava verso l'alto a concava verso il basso, o viceversa. In un punto di flesso, la derivata seconda della funzione è tipicamente zero o non definita, ma la condizione più importante è proprio il cambio di concavità.

• **B) Un massimo o minimo locale**: Massimi e minimi locali sono punti in cui la derivata prima si annulla e c'è un cambio di segno della derivata prima, non un cambio di concavità.
• **C) Un punto in cui la funzione è costante**: Questo descrive un intervallo o un punto specifico di una funzione costante, dove la derivata è zero ovunque, ma non è la definizione di flesso.
• **D) Un punto in cui la derivata è zero**: Questo definisce un punto stazionario. Un punto di flesso può essere un punto stazionario (flesso a tangente orizzontale), ma non tutti i punti di flesso hanno derivata prima nulla (flesso a tangente obliqua).

Risposta corretta: D) La derivata prima non fornisce informazioni sulla funzione

Analizziamo le affermazioni relative alla derivata prima (\(f'(x)\)):

• **A) La derivata prima positiva indica una funzione crescente**: Questa affermazione è **vera**. Se \(f'(x) > 0\) in un intervallo, la funzione \(f(x)\) è crescente in quell'intervallo.
• **B) La derivata prima negativa indica una funzione decrescente**: Questa affermazione è **vera**. Se \(f'(x) < 0\) in un intervallo, la funzione \(f(x)\) è decrescente in quell'intervallo.
• **C) La derivata prima nulla indica un punto stazionario**: Questa affermazione è **vera**. Per definizione, un punto \(x_0\) è un punto stazionario se \(f'(x_0) = 0\).
• **D) La derivata prima non fornisce informazioni sulla funzione**: Questa affermazione è **falsa**. La derivata prima è fondamentale per studiare l'andamento della funzione, determinando gli intervalli di crescita e decrescita e individuando i punti stazionari (massimi, minimi, flessi a tangente orizzontale).

Dato che la domanda chiede quale affermazione è *falsa*, l'opzione D è la risposta corretta.

Risposta corretta: B) Confrontando i valori della funzione nei punti stazionari, i valori agli estremi dell'intervallo ed i valori negli eventuali punti di non derivabilità

Per una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato, il **Teorema di Weierstrass** garantisce l'esistenza di un massimo e un minimo assoluti. Per trovare il **massimo globale** (o assoluto) di tale funzione, è necessario considerare tutti i "candidati" per i massimi:

1. I **punti stazionari**: dove la derivata prima della funzione è uguale a zero (\(f'(x) = 0\)).
2. Gli **estremi dell'intervallo**: i valori di \(x\) che definiscono l'inizio e la fine dell'intervallo su cui si sta studiando la funzione.
3. Gli **eventuali punti di non derivabilità**: punti in cui la funzione è definita ma non è derivabile (ad esempio, cuspidi, angoli, o punti in cui la tangente è verticale). Anche se la derivata non si annulla in questi punti, possono comunque rappresentare massimi o minimi.

Dopo aver identificato tutti questi punti, si valutano i valori della funzione \(f(x)\) in ciascuno di essi. Il valore più grande tra tutti quelli calcolati sarà il massimo globale della funzione sull'intervallo dato. Similmente, il valore più piccolo sarà il minimo globale.

Le altre opzioni descrivono operazioni che non sono sufficienti o pertinenti per trovare il massimo globale:

• **A) Calcolando la derivata della funzione**: Questo è solo il primo passo per trovare i punti stazionari, ma non sufficiente da solo.
• **C) Calcolando l'integrale della funzione**: L'integrale calcola l'area sotto la curva, non i massimi o minimi.
• **D) Calcolando il limite della funzione**: I limiti sono usati per analizzare il comportamento della funzione all'infinito o in prossimità di punti di discontinuità, non per determinare massimi o minimi globali.

Risposta corretta: C) \(f(x) = x^3 - 3x\)

Per trovare i punti stazionari di una funzione, dobbiamo calcolare la sua derivata prima e porla uguale a zero (\(f'(x) = 0\)).

• **A) \(f(x) = x^3\)**:

  \(f'(x) = 3x^2\)

  Ponendo \(3x^2 = 0\), otteniamo \(x = 0\). Questa funzione ha **un solo punto stazionario**.

• **B) \(f(x) = x^2\)**:

  \(f'(x) = 2x\)

  Ponendo \(2x = 0\), otteniamo \(x = 0\). Questa funzione ha **un solo punto stazionario**.

• **C) \(f(x) = x^3 - 3x\)**:

  \(f'(x) = 3x^2 - 3\)

  Ponendo \(3x^2 - 3 = 0\), dividiamo per 3:

  \(x^2 - 1 = 0\)

  \(x^2 = 1\)

  Questo ci dà due soluzioni: \(x = -1\) e \(x = 1\). Quindi, questa funzione ha **esattamente due punti stazionari**.

• **D) \(f(x) = e^x\)**:

  \(f'(x) = e^x\)

  Poiché \(e^x\) è sempre maggiore di zero per ogni \(x\), \(f'(x)\) non si annulla mai. Questa funzione **non ha punti stazionari**.

Pertanto, la funzione \(f(x) = x^3 - 3x\) è l'unica tra quelle proposte che ha esattamente due punti stazionari.