Studio di Funzioni Irrazionali

Dominio:

$x\in \mathbb{R}$ → $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Intersezioni con gli assi:

Se $x=0$, $y=(4(0)-2)e^{2(0)}=-2\cdot 1=-2$. Punto di intersezione con l'asse y: $(0,-2)$.

Se $y=0$, $(4x-2)e^{2x}=0$. Poiché $e^{2x}$ non è mai nullo, dobbiamo risolvere $4x-2=0$, da cui $x=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Punto di intersezione con l'asse x: $(\frac{1}{2},0)$.

Segno della funzione:

La funzione è positiva se $4x-2>0$, ovvero $x>\frac{1}{2}$, poiché $e^{2x}$ è sempre positivo.

Limiti:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(4x-2)e^{2x}=[(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })]=+\mathrm{\infty }$.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(4x-2)e^{2x}$. Si ricordi il limite notevole $\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}t{e}^{at}=0^{-}$ per $a>0$. Quindi, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(4x-2)e^{2x}=0^{-}$.

Asintoti:

Asintoto orizzontale per $x\to -\mathrm{\infty }$: $y=0$ poiché $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(4x-2)e^{2x}=0$.

Non c’è asintoto obliquo perché la funzione, per x che tende a più infinito, si comporta come $4x{e}^{2x}$, che non è un infinito del primo ordine (cresce più rapidamente di $mx+q$).

Derivata prima:

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[(4x-2)e^{2x}]=4\cdot e^{2x}+(4x-2)\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(4+8x-4)=e^{2x}(8x)=8x{e}^{2x}$.

$f^{\prime }(x)=8x{e}^{2x}$: quindi la funzione è crescente se $x>0$ e decrescente se $x<0$; $x=0$ è quindi punto di minimo relativo (e assoluto), con ordinata $f(0)=-2$.

La funzione ammette quindi un unico punto di minimo m, con coordinate $(0,-2)$.

Derivata seconda:

$f^{″}(x)=\frac{d}{dx}[8x{e}^{2x}]=8\cdot e^{2x}+8x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(8+16x)=8e^{2x}(1+2x)$.

$f^{″}(x)=8e^{2x}(1+2x)$: quindi il grafico di f volge la concavità verso l’alto se $1+2x>0$, cioè $x>-\frac{1}{2}$, e verso il basso se $x<-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{1}{2}$ è quindi l’unico punto di flesso, con ordinata $f(-\frac{1}{2})=(4(-\frac{1}{2})-2)e^{2(-\frac{1}{2})}=(-2-2)e^{-1}=-4e^{-1}=-\frac{4}{e}$.

La funzione ammette un unico flesso F, di coordinate $(-\frac{1}{2},-\frac{4}{e})$.

Grafico della Funzione

Dominio

$x\in \mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2}\}$ → $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$

Parità

$f(-x)=\frac{e^{-x}}{-2x-1}$. Non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Asse y (x=0): $y=\frac{e^0}{-1}=-1$ → Punto (0, -1)

Asse x (y=0): $e^x=0$ (mai verificato), quindi non ci sono intersezioni con l'asse x.

Segno

Il segno di $f(x)$ dipende dal segno di $2x-1$ poiché $e^x$ è sempre positivo.

• Positiva per $x>\frac{1}{2}$
• Negativa per $x<\frac{1}{2}$

Limiti

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2x-1}=+\mathrm{\infty }$ (l'esponenziale cresce più velocemente del polinomio)
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2x-1}=[\frac{0^{+}}{-\mathrm{\infty }}]=0^{-}$ (l'esponenziale tende a zero da valori positivi, il denominatore a $-\mathrm{\infty }$)
• $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{lim}\frac{e^x}{2x-1}=+\mathrm{\infty }$ (numeratore tende a $\sqrt{e}$, denominatore a $0^{+}$)
• $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{lim}\frac{e^x}{2x-1}=-\mathrm{\infty }$ (numeratore tende a $\sqrt{e}$, denominatore a $0^{-}$)

Asintoti

• Asintoto Verticale: $x=\frac{1}{2}$
• Asintoto Orizzontale: $y=0$ per $x\to -\mathrm{\infty }$
• Asintoto Obliquo: Non c'è asintoto obliquo perché $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x(2x-1)}=+\mathrm{\infty }$

Derivata Prima

Utilizzando la regola del quoziente: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(2x-1)-e^x(2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{e^x(2x-1-2)}{(2x-1{)}^2}=\frac{e^x(2x-3)}{(2x-1{)}^2}$

• $f^{\prime }(x)>0$ per $x>\frac{3}{2}$ (funzione crescente)
• $f^{\prime }(x)<0$ per $x<\frac{3}{2}$ e $x\ne \frac{1}{2}$ (funzione decrescente)
• Punto di minimo relativo in $x=\frac{3}{2}$ con $y=\frac{e^{3/2}}{2(\frac{3}{2})-1}=\frac{e\sqrt{e}}{3-1}=\frac{e\sqrt{e}}{2}$ → $(\frac{3}{2},\frac{e\sqrt{e}}{2})$

Derivata Seconda

$$f^{″}(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x(2x-3)}{(2x-1{)}^2}\right)=\frac{[e^x(2x-3)+e^x(2)](2x-1{)}^2-e^x(2x-3)\cdot 2(2x-1)(2)}{(2x-1{)}^4}$$

$$=\frac{e^x(2x-1)(2x-1)-4e^x(2x-3)}{(2x-1{)}^3}=\frac{e^x(4x^2-4x+1-8x+12)}{(2x-1{)}^3}=\frac{e^x(4x^2-12x+13)}{(2x-1{)}^3}$$

• Il segno di $f^{″}(x)$ dipende dal segno del numeratore (sempre positivo) e del denominatore.
• Concavità verso l'alto ($f^{″}(x)>0$): $x>\frac{1}{2}$
• Concavità verso il basso ($f^{″}(x)<0$): $x<\frac{1}{2}$
• Non ci sono punti di flesso perché il numeratore $4x^2-12x+13$ non ha radici reali (discriminante negativo).

Grafico della Funzione

Dominio

La funzione è definita per tutti i $x\in \mathbb{R}$ tali che $x\ne 0$ e $e^{1/x}-1\ne 0$. $e^{1/x}-1=0$ quando $e^{1/x}=1$, ovvero $1/x=0$, che non ha soluzione. Quindi il dominio è $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ → $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$

Parità

$f(-x)=\frac{1}{(e^{-1/x}-1{)}^2}=\frac{1}{(\frac{1}{e^{1/x}}-1{)}^2}=\frac{1}{(\frac{1-e^{1/x}}{e^{1/x}}{)}^2}=\frac{(e^{1/x}{)}^2}{(1-e^{1/x}{)}^2}=\frac{e^{2/x}}{(e^{1/x}-1{)}^2}$. Non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Asse y (x=0): $x=0$ non è nel dominio, quindi non ci sono intersezioni con l'asse y.

Asse x (y=0): $\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}=0$ non ha soluzioni, quindi non ci sono intersezioni con l'asse x.

Segno

Poiché il numeratore è $1$ (positivo) e il denominatore $(e^{1/x}-1{)}^2$ è sempre non negativo (ed è definito per $x\ne 0$), la funzione è sempre positiva sul suo dominio.

Limiti

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}=\frac{1}{(e^0-1{)}^2}=\frac{1}{(1-1{)}^2}=\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}=\frac{1}{(e^0-1{)}^2}=\frac{1}{(1-1{)}^2}=\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}$: per $x\to 0^{+}$, $1/x\to +\mathrm{\infty }$, $e^{1/x}\to +\mathrm{\infty }$, quindi $(e^{1/x}-1{)}^2\to +\mathrm{\infty }$, e il limite è $0^{+}$
• $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}$: per $x\to 0^{-}$, $1/x\to -\mathrm{\infty }$, $e^{1/x}\to 0$, quindi $(e^{1/x}-1{)}^2\to (-1{)}^2=1$, e il limite è $\frac{1}{1}=1$
• N.B.: x=0 è un punto di discontinuaità di prima specie, con salto 1.

Asintoti

• Asintoto Verticale: :

  non ci sono asintoti verticali.

• Asintoto Orizzontale: $y=+\mathrm{\infty }$ sia per $x\to +\mathrm{\infty }$ che per $x\to -\mathrm{\infty }$, quindi non ci sono asintoti orizzontali.
• Asintoto Obliquo: Non ci sono asintoti obliqui poiché non ci sono asintoti orizzontali finiti.

Derivata Prima - Calcolo con Teorema della Funzione Composta

Funzione Originale:

$$f(x)=\frac{1}{(e^{1/x}-1{)}^2}=(e^{1/x}-1{)}^{-2}$$

Applicazione del Teorema della Funzione Composta:

Utilizziamo il teorema: $\frac{d}{dx}([g(x){]}^{\alpha })=\alpha \cdot [g(x){]}^{\alpha -1}\cdot g^{\prime }(x)$, dove nel nostro caso $g(x)=e^{1/x}-1$ e $\alpha =-2$.

Passo 1: Identificazione di $\alpha$ e $g(x)$

$\alpha =-2$

$g(x)=e^{1/x}-1$

Passo 2: Calcolo di $g^{\prime }(x)$

Dobbiamo trovare la derivata di $g(x)=e^{1/x}-1$. La derivata di $-1$ è $0$. Per la derivata di $e^{1/x}$, applichiamo nuovamente la regola della catena con $h(x)=1/x$.

$\frac{d}{dx}[e^{h(x)}]=e^{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)$

$h(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, quindi $h^{\prime }(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.

Pertanto, $\frac{d}{dx}[e^{1/x}]=e^{1/x}\cdot (-\frac{1}{x^2})=-\frac{e^{1/x}}{x^2}$.

La derivata di $g(x)$ è quindi: $g^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[e^{1/x}-1]=-\frac{e^{1/x}}{x^2}-0=-\frac{e^{1/x}}{x^2}$.

Passo 3: Applicazione del Teorema

Ora sostituiamo i valori nella formula: $f^{\prime }(x)=\alpha \cdot [g(x){]}^{\alpha -1}\cdot g^{\prime }(x)$

$$f^{\prime }(x)=-2\cdot (e^{1/x}-1{)}^{-2-1}\cdot (-\frac{e^{1/x}}{x^2})$$

$$f^{\prime }(x)=-2\cdot (e^{1/x}-1{)}^{-3}\cdot (-\frac{e^{1/x}}{x^2})$$

Passo 4: Semplificazione

$$f^{\prime }(x)=\frac{2e^{1/x}}{x^2(e^{1/x}-1{)}^3}$$

Studio del Segno della Derivata Prima:

• Fattore $2$: Sempre positivo.
• Fattore $e^{1/x}$: Sempre positivo per $x\ne 0$.
• Fattore $x^2$: Positivo per $x\ne 0$.
• Fattore $(e^{1/x}-1{)}^3$:
  • Positivo se $x>0$
  • Negativo se $x<0$

Conclusione sul Segno:

• Per $x>0$: $f^{\prime }(x)=\frac{(+)}{(+)(+)}=+$. La funzione $f(x)$ è crescente per $x>0$.
• Per $x<0$: $f^{\prime }(x)=\frac{(+)}{(+)(-)}=-$. La funzione $f(x)$ è decrescente per $x<0$.

Non ci sono punti critici nel dominio della derivata prima.

Derivata Seconda

Il calcolo della derivata seconda è piuttosto complesso e non verrà riportato qui per brevità.

Grafico della Funzione

Dominio

La funzione $f(x)=2^x-x^2$ è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$ poiché sia la funzione esponenziale $2^x$ che la funzione polinomiale $x^2$ sono definite su tutto l'insieme dei numeri reali.

$$\boxed{{\displaystyle D=\mathbb{R}}}$$

Parità

Calcoliamo $f(-x)$:

$$f(-x)=2^{-x}-(-x{)}^2=\frac{1}{2^x}-x^2$$

Poiché $f(-x)\ne f(x)$ e $f(-x)\ne -f(x)$, la funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Asse x (y=0):

$$2^x-x^2=0⟹2^x=x^2$$

Questa equazione non ha soluzioni algebriche semplici. Per analizzare le soluzioni, rappresentiamo nello stesso sistema di riferimento le funzioni $a(x)=2^x$ (in rosso) e $b(x)=x^2$ (in blu).

Osservando il grafico, possiamo notare che ci sono tre punti di intersezione, che corrispondono alle soluzioni dell'equazione $2^x=x^2$:

• Due soluzioni intere: $x=2$ e $x=4$.
• Una terza soluzione compresa tra $-1$ e $0$, che vale circa $-0.7667$.

Punti di intersezione approssimativi con l'asse x: $(-0.7667,0)$, $(2,0)$, $(4,0)$.

Asse y (x=0):

$$f(0)=2^0-0^2=1-0=1⟹(0,1)$$

Studio del Segno

Il segno della funzione $f(x)=2^x-x^2$ può essere dedotto dal seguente grafico, che mostra le funzioni $a(x)=2^x$ (in rosso) e $b(x)=x^2$ (in blu).

La funzione $f(x)=2^x-x^2$ è positiva dove il grafico di $2^x$ è sopra il grafico di $x^2$, negativa dove è sotto, e nulla nei punti di intersezione.

Intervallo	$2^x>x^2$	Segno di $f(x)=2^x-x^2$
$x<-0.7667$	No	Negativo
$-0.7667<x<2$	Sì	Positivo
$2<x<4$	No	Negativo
$x>4$	Sì	Positivo

In sintesi:

• $f(x)<0$ per $x\in (-\mathrm{\infty },-0.7667)\cup (2,4)$
• $f(x)>0$ per $x\in (-0.7667,2)\cup (4,+\mathrm{\infty })$
• $f(x)=0$ per $x\approx -0.7667$, $x=2$, $x=4$

Studio dei Limiti

Per $x\to +\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2^x-x^2)=+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$

Per risolvere questa forma indeterminata, notiamo che la funzione esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi funzione polinomiale:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2^x-x^2)=+\mathrm{\infty }$$

Per $x\to -\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(2^x-x^2)=0-(-\mathrm{\infty }{)}^2=0-(+\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$$

Ricerca degli Asintoti

• Asintoti Orizzontali: Non ci sono asintoti orizzontali poiché i limiti a $\pm \mathrm{\infty }$ non sono finiti.
• Asintoti Verticali: Non ci sono asintoti verticali poiché la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$.
• Asintoti Obliqui: Consideriamo i limiti di $m=\frac{f(x)}{x}$ e $q=f(x)-mx$.

  $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^x-x^2}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{2^x}{x}\right)=+\mathrm{\infty }$$

  $$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^x-x^2}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2^x}{x}-x)=0-(-\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$$

  Poiché il limite di $m$ non è finito, non ci sono asintoti obliqui.

Derivata Prima

$$f^{\prime }(x)=2^x\ln (2)-2x$$

Per studiare il segno della derivata prima facciamo uno studio grafico, rappresentando nello stesso sistema di riferimento le funzioni $c(x)=2^x\ln (2)$ (in blu) e $d(x)=2x$ (in verde).

Dal grafico possiamo dedurre che la derivata prima si annulla in due punti: uno tra $0$ e $1$ (che vale circa $0.5$) ed uno tra $3$ e $4$ (che vale circa $3.2$).

Quindi abbiamo la seguente tabella dei segni della derivata prima:

Intervallo	$2^x\ln (2)>2x$	Segno di $f^{\prime }(x)$	Monotonia di $f(x)$
$x<0.5$	Sì	Positivo	Crescente
$0.5<x<3.2$	No	Negativo	Decrescente
$x>3.2$	Sì	Positivo	Crescente

Punto di massimo locale approssimativo in $x\approx 0.5$.

Punto di minimo locale approssimativo in $x\approx 3.2$.

Derivata Seconda

$$f^{″}(x)=\frac{d}{dx}(2^x\ln (2)-2x)=2^x(\ln (2){)}^2-2$$

Per trovare i punti di flesso, risolviamo $f^{″}(x)=0$:

$$2^x(\ln (2){)}^2-2=0⟹2^x=\frac{2}{(\ln (2){)}^2}$$

$$x\ln (2)=\ln \left(\frac{2}{(\ln (2){)}^2}\right)=\ln (2)-2\ln (\ln (2))$$

$$x=1-\frac{2\ln (\ln (2))}{\ln (2)}\approx 1-\frac{2(-0.3665)}{0.6931}\approx 1+1.057\approx 2.057$$

Punto di flesso approssimativo in $x\approx 2.057$.

• Se $x<2.057$, $f^{″}(x)<0$ (concavità verso il basso).
• Se $x>2.057$, $f^{″}(x)>0$ (concavità verso l'alto).

Grafico della Funzione