Studio di Funzioni Irrazionali

a) $x\to -2^{+}$:

$$\underset{x\to -2^{+}}{lim}x\sqrt{x+2}$$

• $x\to -2^{+}$
• $\sqrt{x+2}\to \sqrt{0^{+}}=0^{+}$

Risultato: $$(-2)\cdot 0^{+}=\boxed{{\displaystyle 0^{-}}}$$

b) $x\to +\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x\sqrt{x+2}$$

Osserviamo che: $$x\sqrt{x+2}$$ si comporta come $$x^{3/2}$$

Quindi, per $x\to +\mathrm{\infty }$: $$x^{3/2}\to \boxed{{\displaystyle +\mathrm{\infty }}}$$

Riassunto limiti:

• $\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=0^{-}$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

1. Asintoti Verticali:

La funzione è continua in tutto il suo dominio, quindi non ci sono asintoti verticali

2. Asintoti Orizzontali:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x\sqrt{x+2}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{Nessun asintoto orizzontale}$$

Calcolo di $m$:

$$m=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{Non finito!}$$

Conclusione Finale:

La funzione non ha asintoti di alcun tipo.

Funzione Originale:

$$y=x\cdot \sqrt{x+2}=x\cdot (x+2{)}^{1/2}$$

Passo 1: Identificare le Componenti

Applichiamo la regola del prodotto:

$$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Dove:
$u=x$ → $u^{\prime }=1$
$v=(x+2{)}^{1/2}$

Passo 2: Derivata di $v=(x+2{)}^{1/2}$

Applicazione della regola della catena:

$$v^{\prime }=\frac{1}{2}(x+2{)}^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}(x+2)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$$

Passo 3: Applicazione della Regola del Prodotto

$$\frac{dy}{dx}=\underset{\text{Termine 1}}{\underbrace{1\cdot \sqrt{x+2}}}+\underset{\text{Termine 2}}{\underbrace{x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}}}$$

Passo 4: Semplificazione Avanzata

Riscriviamo con denominatore comune:

$$=\frac{2(x+2)}{2\sqrt{x+2}}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}$$

Sviluppiamo il numeratore:

$$2x+4+x=3x+4$$

Risultato finale:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$$

Analisi del Dominio

• Funzione originale: $x\ge -2$
• Derivata: $x>-2$ (il denominatore $\sqrt{x+2}$ non può essere zero)
• Punto critico: $x=-\frac{4}{3}$ (dove $3x+4=0$)

🔎 Comportamento al Confine del Dominio

Calcoliamo il limite per $x\to -2^{+}$:

Tabella di Sintesi

Intervallo	Segno $f^{\prime }(x)$	Comportamento
$-2<x<-\frac{4}{3}$	−	Decrescente
$x>-\frac{4}{3}$	+	Crescente

🔍 Identificazione del Punto Critico

Risultato Finale

$$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\text{per }x>-2}}$$

Partiamo dalla Derivata Prima:

$$f^{\prime }(x)=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$$

Passo 1: Applicazione Regola del Quoziente

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

Dove:
$f=3x+4(f^{\prime }=3)$
$g=2\sqrt{x+2}(g^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x+2}})$

Passo 2: Sostituzione nella Formula

$$f^{″}(x)=\frac{3\cdot 2\sqrt{x+2}-(3x+4)\cdot \frac{1}{\sqrt{x+2}}}{(2\sqrt{x+2}{)}^2}$$

Passo 3: Semplificazione del Numeratore

$$=\frac{6\sqrt{x+2}-\frac{3x+4}{\sqrt{x+2}}}{4(x+2)}$$

Moltiplichiamo il primo termine per $\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}$:

$$=\frac{\frac{6(x+2)-(3x+4)}{\sqrt{x+2}}}{4(x+2)}$$

Sviluppiamo il numeratore:

$$6x+12-3x-4=3x+8$$

Passo 4: Semplificazione Finale

$$f^{″}(x)=\frac{3x+8}{4(x+2{)}^{3/2}}=\frac{3x+8}{4(x+2)\sqrt{x+2}}$$

📈 Analisi della Concavità

Componente	Segno	Impatto
Denominatore $4(x+2{)}^{3/2}$	Sempre positivo	Non cambia il segno
Numeratore $3x+8$	− per $x<-\frac{8}{3}$ + per $x>-\frac{8}{3}$	Dominio effettivo: $x>-2$ $3x+8>0$ sempre nel dominio

Risultato Finale

$$\boxed{{\displaystyle f^{″}(x)=\frac{3x+8}{4(x+2{)}^{3/2}}}}$$

La funzione ha concavità sempre verso l'alto nel dominio
($f^{″}(x)>0$ ∀x ∈ (-2, +∞))

⚠️ Attenzione ai Punti Critici

Non esistono punti di flesso perché:
1. Non ci sono cambi di concavità
2. $f^{″}(x)$ non si annulla mai nel dominio

1. Asintoti Verticali:

La funzione è continua in tutto il suo dominio, quindi non ci sono asintoti verticali.

2. Asintoti Orizzontali:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x-2}=+\mathrm{\infty }\text{e}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x-2}=-\mathrm{\infty }$$

Non ci sono asintoti orizzontali.

3. Asintoti Obliqui:

Calcoliamo $m$:

$$m=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt[3]{x-2}}{x}=0$$

Non ci sono asintoti obliqui.

Funzione Originale:

$$y=\sqrt[3]{x-2}=(x-2{)}^{1/3}$$

Passo 1: Regola della Potenza

$$\frac{d}{dx}[u^n]=n\cdot u^{n-1}\cdot u^{\prime }$$

Dove:
$u=x-2$
$n=\frac{1}{3}$

Passo 2: Applicazione della Formula

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}(x-2{)}^{-2/3}\cdot \frac{d}{dx}(x-2)$$

Passo 3: Derivata della Funzione Interna

$$\frac{d}{dx}(x-2)=1$$

Passo 4: Semplificazione Finale

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}(x-2{)}^{-2/3}\cdot 1=\frac{1}{3(x-2{)}^{2/3}}$$

Forma alternativa con radicali:
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2{)}^2}}$$

Analisi Critica:

• Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{2\}$
• Punto di flesso a tangente verticale in $x=2$
  • Limite destro: $\underset{x\to 2^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }$
  • Limite sinistro: $\underset{x\to 2^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }$
• Funzione sempre crescente ($f^{\prime }(x)>0\mathrm{\forall }x\ne 2$)

Esempi Numerici:

Per $x=1$:
$$f^{\prime }(1)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-2{)}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{3}$$

Per $x=3$:
$$f^{\prime }(3)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(3-2{)}^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{3}$$

$$\boxed{{\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2{)}^2}}\text{per }x\ne 2}}$$

Partiamo dalla Derivata Prima:

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x-2{)}^{-2/3}$$

Passo 1: Applicazione Regola della Potenza

$$\frac{d}{dx}[x^n]=n\cdot x^{n-1}$$

Dove:
$n=-\frac{2}{3}$

Passo 2: Calcolo della Derivata

$$f^{″}(x)=\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})\cdot (x-2{)}^{-5/3}\cdot 1$$

$$=-\frac{2}{9}(x-2{)}^{-5/3}$$

Passo 3: Forma Radicale Equivalente

$$f^{″}(x)=-\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{(x-2{)}^{5/3}}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{(x-2{)}^5}}$$

Analisi della Concavità:

Intervallo	Segno f''(x)	Concavità
x < 2	+	Verso l'alto
x > 2	-	Verso il basso

Esempi Numerici Dimostrativi:

Per x = 1:
$$f^{″}(1)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{(-1{)}^5}}=+\frac{2}{9}(>0)$$

Per x = 3:
$$f^{″}(3)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{(1{)}^5}}=-\frac{2}{9}(<0)$$

Risultato Finale:

$$\boxed{{\displaystyle f^{″}(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{(x-2{)}^5}}\text{per }x\ne 2}}$$

⚠️ Nota Importante:

In x = 2 la derivata seconda non è definita, ma abbiamo un:
Punto di Flesso Verticale in (2, 0) dove cambia la concavità

1. Dominio

La funzione è definita per:

$$x^2-1\ge 0⟹x\le -1\text{ o }x\ge 1$$

Dobbiamo quindi risolvere la disequazione $x-1+\sqrt{x^2-1}\ge 0$ in questo dominio.

2. Risoluzione della Disequazione

Riscriviamo la disequazione isolando la radice:

$$\sqrt{x^2-1}\ge 1-x$$

3. Conclusione Finale

Mettendo insieme i risultati dei due casi:

• Dal Caso 1, la disequazione è verificata per $x>1$.
• Dal Caso 2, la disequazione è verificata per $x=1$.

Pertanto, $f(x)\ge 0$ per $x\ge 1$.

In sintesi:

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& f(x)>0\text{per}x>1\\ & f(x)=0\text{per}x=1\\ & f(x)<0\text{per}x\le -1\end{array}}}$$

1. Limite per $x\to -\mathrm{\infty }$:

Calcoliamo:

$L=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x-1+\sqrt{x^2-1})$

Passaggio 1:

Portiamo $x^2$ fuori dalla radice:

$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2})}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$

Poiché $x\to -\mathrm{\infty }$, $|x|=-x$, quindi:

$\sqrt{x^2-1}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$

Passaggio 2: Riscrittura del limite

Sostituendo nell'espressione:

$L=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x-1-x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$

Raccogliamo $x$:

$L=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})-1$

Passaggio 3: Applicazione del limite notevole

Consideriamo il termine tra parentesi:

$1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=1-(1-\frac{1}{x^2}{)}^{1/2}$

Per $\frac{1}{x^2}\to 0$, usiamo l'asintotico $(1+a{)}^k-1\sim ka$ con $a=-\frac{1}{x^2}$ e $k=\frac{1}{2}$:

$(1-\frac{1}{x^2}{)}^{1/2}-1\sim -\frac{1}{2x^2}$

Quindi:

$1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\sim \frac{1}{2x^2}$

Passaggio 4: Sostituzione asintotica

Il limite diventa:

$L=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x\left(\frac{1}{2x^2}\right)-1=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2x}-1=0-1=-1$

Risultato finale: $\boxed{{\displaystyle -1}}$

2. Limite per $x\to +\mathrm{\infty }$:

Calcoliamo:

$L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-1+\sqrt{x^2-1})$

Passaggio 1: Semplificazione radicale

Portiamo $x^2$ fuori dalla radice:

$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2})}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$

Poiché $x\to +\mathrm{\infty }$, $|x|=x$, quindi:

$\sqrt{x^2-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}$

Passaggio 2: Sostituzione e raccoglimento

Sostituendo nell'espressione:

$L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-1+x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$

Raccogliamo $x$:

$L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})-1$

Passaggio 3: Calcolo diretto

Osserviamo che:

$\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\to 1$ per $x\to +\mathrm{\infty }$

Quindi:

$L=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x(1+1)-1=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2x-1)=+\mathrm{\infty }$

Perché non è una forma indeterminata:
La somma $x+\sqrt{x^2-1}$ equivale a $x+x=2x$ asintoticamente,
e $2x-1$ tende chiaramente a $+\mathrm{\infty }$.

Risultato finale: $\boxed{{\displaystyle +\mathrm{\infty }}}$

1. Derivata del primo termine:

$$\frac{d}{dx}(x-1)=1$$

2. Derivata del secondo termine:

Sia $u=x^2-1$, allora $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{u}=u^{1/2}$.

Applicando la regola della catena $\frac{d}{dx}[g(h(x))]=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$, con $g(u)=u^{1/2}$ e $h(x)=x^2-1$:

$$g^{\prime }(u)=\frac{1}{2}{u}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$$

$$h^{\prime }(x)=2x$$

Quindi:

$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2-1})=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

Passaggio 1: Dominio della derivata

La derivata esiste dove $x^2-1>0$, quindi:

• Per $x>1$: Derivata definita
• Per $x<-1$: Derivata definita
• In $x=\pm 1$: Punti di non derivabilità (limite destro/sinistro infinito)

Passaggio 2: Studio del segno di $f^{\prime }(x)$

Vogliamo risolvere la disequazione $f^{\prime }(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\ge 0$, che è equivalente a:

$$\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}\ge 0$$

Dato che nel dominio $x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ si ha $\sqrt{x^2-1}>0$, il segno di $f^{\prime }(x)$ dipende dal segno del numeratore: $\sqrt{x^2-1}+x$.

Consideriamo la disequazione: $\sqrt{x^2-1}\ge -x$.

Passaggio 3: Schema della monotonia

Intervallo	Segno $f^{\prime }(x)$	Andamento $f(x)$
$(-\mathrm{\infty },-1)$	Negativo	Decrescente
$(1,+\mathrm{\infty })$	Positivo	Crescente

Passaggio 4: Punti critici e non derivabilità

Punti critici: Nessuno ($f^{\prime }(x)$ non si annulla mai)

Punti di non derivabilità:

• $x=-1$:

  Calcoliamo il limite della derivata prima per $x\to -1^{-}$:

  $$\underset{x\to -1^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to -1^{-}}{lim}(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})$$

  Analizziamo il termine frazionario: $\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$. Il numeratore tende a $-1$. Per $x<-1$ e $x$ vicino a $-1$, $x^2$ è leggermente maggiore di 1, quindi $x^2-1$ è una quantità positiva che tende a 0. Dunque, $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\to \frac{-1}{0^{+}}=-\mathrm{\infty }$.

  Pertanto, $\underset{x\to -1^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=1-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$ (tangente verticale).

• $x=1$:

  Calcoliamo il limite della derivata prima per $x\to 1^{+}$:

  $$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})$$

  Analizziamo il termine frazionario: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$. Il numeratore tende a $1$. Per $x>1$ e $x$ vicino a $1$, $x^2$ è leggermente maggiore di 1, quindi $x^2-1$ è una quantità positiva che tende a 0. Dunque, $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\to \frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$.

  Pertanto, $\underset{x\to 1^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=1+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }$ (tangente verticale).

Passaggio 5: Estremi relativi e assoluti

• Nessun massimo/minimo relativo (funzione monotona negli intervalli)

Passaggio 1: Calcolo della derivata seconda

Deriviamo $f^{\prime }(x)$ utilizzando la regola del quoziente:

$$f^{″}(x)=0+\frac{\sqrt{x^2-1}\cdot 1-x\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$

Semplifichiamo il numeratore:

$$\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{(x^2-1)-x^2}{\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

Quindi:

$$f^{″}(x)=-\frac{1}{(x^2-1{)}^{3/2}}$$

Passaggio 2: Dominio della derivata seconda

La derivata seconda esiste dove $x^2-1>0$, quindi:

• Per $x>1$: Derivata seconda definita
• Per $x<-1$: Derivata seconda definita
• In $x=\pm 1$: Non esistente

Passaggio 3: Analisi del segno

Esaminiamo $f^{″}(x)=-\frac{1}{(x^2-1{)}^{3/2}}$:

• Per $x>1$:

  $(x^2-1{)}^{3/2}>0$ ⇒ $f^{″}(x)=-(\text{positivo})<0$

• Per $x<-1$:

  $(x^2-1{)}^{3/2}>0$ ⇒ $f^{″}(x)=-(\text{positivo})<0$

La derivata seconda è sempre negativa nel dominio.

Passaggio 4: Schema della concavità

Intervallo	Segno $f^{″}(x)$	Concavità
$(-\mathrm{\infty },-1)$	Negativo	Verso il basso (∩)
$(1,+\mathrm{\infty })$	Negativo	Verso il basso (∩)

Passaggio 5: Punti di flesso

Nessun punto di flesso perché:

• $f^{″}(x)$ non si annulla mai
• Non ci sono cambi di concavità
• I punti $x=\pm 1$ sono esclusi dal dominio

Analisi dei fattori:

• $x^2\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ (sempre non negativo)
• $1-x>0\iff x<1$
• $1-x<0\iff x>1$

Riassunto finale:

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& f(x)>0\text{per}x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,1)\\ & f(x)=0\text{per}x=0\text{e}x=1\\ & f(x)<0\text{per}x>1\end{array}}}$$

Per $x\to +\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^2-x^3}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{-x^3(1-\frac{1}{x})}=-\mathrm{\infty }$$

Per $x\to -\mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{x^2-x^3}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[3]{-x^3(1-\frac{1}{x})}=+\mathrm{\infty }$$

Riassunto:

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Per $x\to +\mathrm{\infty }$:

Per $x\to -\mathrm{\infty }$:

1. Calcolo della Derivata

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{(x^2-x^3)}^{1/3}=\frac{2x-3x^2}{3(x^2-x^3{)}^{2/3}}=\frac{x(2-3x)}{3x^{4/3}(1-x{)}^{2/3}}$$

Semplificata: $f^{\prime }(x)=\frac{2-3x}{3x^{1/3}(1-x{)}^{2/3}}$

2. Punti Critici e Non Derivabilità