Studio guidato di funzioni razionali fratte

Dominio:

La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore:

\(x^2-1 = 0\)

\((x-1)(x+1) = 0\)

\(x = -1\) o \(x = 1\)

Quindi il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), cioè tutti i numeri reali tranne \(-1\) e \(1\).

Parità:

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

\( f(-x) =\frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = f(x) \)

Poiché \(f(-x) = f(x) \), la funzione è **pari**. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Intersezioni con gli assi:

Intersezione con l'asse y:

Poniamo \(x = 0\):

\( (f(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \)

Il punto di intersezione con l'asse y è \((0, -1)\).

Intersezione con l'asse x:

Poniamo \(y = f(x) = 0\):

\(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\)

L'equazione \(x^2 + 1 = 0\) non ha soluzioni reali, quindi il grafico della funzione **non interseca l'asse x**.

Segno della funzione:

Analizziamo il segno del numeratore \(N(x) = x^2 + 1\) e del denominatore \(D(x) = x^2 - 1\).

• \(N(x) = x^2 + 1 > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\) (sempre positivo).
• \(D(x) = x^2 - 1 > 0\) se \(x < -1\) o \(x > 1\).
• \(D(x) = x^2 - 1 < 0\) se \(-1 < x < 1\).

Quindi:

• \(f(x) > 0\) per \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).
• \(f(x) < 0\) per \(x \in (-1, 1)\).

Limiti:

• \(\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{1^+}{0^+} = +\infty\)
• \(\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{1^+}{0^-} = -\infty\)
• \(\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty\)
• \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty\)
• \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 1/x^2}{1 - 1/x^2} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1\)

Asintoti:

• **Asintoti verticali:** \(x = -1\) e \(x = 1\) (dai limiti).
• **Asintoto orizzontale:** \(y = 1\) (dal limite a \(\pm\infty\)).
• **Non ci sono asintoti obliqui** perché esiste un asintoto orizzontale.

Derivata prima:

\(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\)

Studio del segno di \(f'(x)\):

• \(f'(x) > 0\) se \(-4x > 0 \implies x < 0\) (e \(x \neq -1, 1\)).
• \(f'(x) < 0\) se \(-4x < 0 \implies x > 0\) (e \(x \neq -1, 1\)).
• \(f'(x) = 0\) se \(x = 0\).

Monotonia:

• Funzione **crescente** per \(x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)\).
• Funzione **decrescente** per \(x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)\).
• In \(x = 0\) c'è un **massimo relativo**: \(f(0) = -1\), punto \((0, -1)\).

Derivata seconda:

\(f''(x) = \frac{-4(x^2 - 1)^2 - (-4x) \cdot 2(x^2 - 1)(2x)}{(x^2 - 1)^4}\)

\(f''(x) = \frac{-4(x^2 - 1) + 16x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{-4x^2 + 4 + 16x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{12x^2 + 4}{(x^2 - 1)^3}\)

Studio del segno di \(f''(x)\):

Il numeratore \(12x^2 + 4\) è sempre positivo.

Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno del denominatore \((x^2 - 1)^3\), che ha lo stesso segno di \(x^2 - 1\).

• \(f''(x) > 0\) se \(x^2 - 1 > 0 \implies x < -1\) o \(x > 1\) (**concavità verso l'alto**).
• \(f''(x) < 0\) se \(x^2 - 1 < 0 \implies -1 < x < 1\) (**concavità verso il basso**).

**Non ci sono punti di flesso** perché la concavità cambia in corrispondenza dei punti di discontinuità \(x = -1\) e \(x = 1\), che non appartengono al dominio.

Dominio:

La funzione è un rapporto tra due polinomi. Il dominio è costituito da tutti i numeri reali ad eccezione dei valori di \( x \) che annullano il denominatore. In questo caso, il denominatore è \( x^2 \).

\( x^2 = 0 \implies x = 0 \)

Pertanto, il dominio della funzione è \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), ovvero tutti i numeri reali eccetto lo zero.

Parità:

Per determinare se la funzione è pari o dispari, calcoliamo \( f(-x) \) e lo confrontiamo con \( f(x) \) e \( -f(x) \).

\( f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)^2 + 1}{(-x)^2} = \frac{-x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)

Chiaramente, \( f(-x) \neq f(x) \), quindi la funzione **non è pari**.

Ora confrontiamo \( f(-x) \) con \( -f(x) = -\frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = \frac{-x^3 - x^2 - 1}{x^2} \). Chiaramente, \( f(-x) \neq -f(x) \), quindi la funzione **non è dispari**.

Concludiamo che la funzione \( f(x) \) **non è né pari né dispari**.

Intersezioni assi:

Per trovare le intersezioni del grafico della funzione \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \) con gli assi cartesiani, dobbiamo considerare separatamente l'asse y e l'asse x.

Intersezione con l'asse y:

L'intersezione con l'asse y si verifica quando \( x = 0 \). Tuttavia, come abbiamo stabilito nell'analisi del dominio, \( x = 0 \) non appartiene al dominio della funzione, poiché annulla il denominatore. Pertanto, il grafico della funzione **non interseca l'asse y**.

Intersezione con l'asse x:

L'intersezione con l'asse x si verifica quando \( y = f(x) = 0 \). Questo implica che il numeratore della frazione deve essere uguale a zero:

\( x^3 + x^2 + 1 = 0 \)

Per trovare un valore approssimato delle radici di questa equazione (che ne ha almeno una reale, essendo un'equazione polinomiale di grado dispari) facciamo uno studio grafico. Risolvere l'equazione \( x^3 + x^2 + 1 = 0 \) equivale a risolvere l'equazione: \( x^3 = -x^2 - 1 \).

Ponendo \( a(x) = x^3 \) e \( b(x) = -x^2 - 1 \), rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due funzioni:

Dal grafico deduciamo che l'equazione ha una sola radice reale \( c \approx -1.5 \).

Pertanto, l'intersezione del grafico di \( f(x) \) con l'asse x è approssimativamente in \( x \approx -1.5 \), ovvero nel punto \( (-1.5, 0) \).

Segno:

Per determinare il segno della funzione \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), analizziamo il segno del numeratore \( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \) e del denominatore \( D(x) = x^2 \).

Il denominatore \( D(x) = x^2 \) è sempre **positivo** per ogni \( x \) appartenente al dominio della funzione, ovvero per \( x \neq 0 \).

Per quanto riguarda il numeratore \( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \), abbiamo visto nello studio delle intersezioni con l'asse x che la radice reale dell'equazione \( x^3 + x^2 + 1 = 0 \) è approssimativamente \( c \approx -1.5 \). Risolvere \( x^3 + x^2 + 1 > 0 \) equivale a risolvere \( x^3 > -x^2 - 1 \). Dal grafico delle funzioni \( a(x) = x^3 \) e \( b(x) = -x^2 - 1 \), si deduce che \( x^3 > -x^2 - 1 \) per \( x > c \).

Possiamo quindi analizzare il segno di \( f(x) \) considerando gli intervalli determinati dalla radice del numeratore \( c \approx -1.5 \) e dal punto in cui il denominatore si annulla (e la funzione non è definita) \( x = 0 \): \( (-\infty, -1.5) \), \( (-1.5, 0) \), \( (0, +\infty) \).

Intervallo	\( x < -1.5 \)	\( x = -1.5 \)	\( -1.5 < x < 0 \)	\( x = 0 \)	\( x > 0 \)
\( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)	\( 1 \)	\( + \)
\( D(x) = x^2 \)	\( + \)	\( + \)	\( + \)	Non definita	\( + \)
\( f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)	Non definita	\( + \)

In sintesi:

• \( f(x) < 0 \) per \( x \in (-\infty, -1.5) \)
• \( f(x) = 0 \) per \( x \approx -1.5 \)
• \( f(x) > 0 \) per \( x \in (-1.5, 0) \cup (0, +\infty) \)

Limiti:

Analizziamo i limiti nei punti di discontinuità e all'infinito.

Limite per \( x \to 0 \):

Dobbiamo considerare il limite destro e il limite sinistro di \( x = 0 \), dove la funzione non è definita.

• Limite destro: \( \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)

  Quando \( x \) si avvicina a 0 da destra, \( x^3 \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \), e il numeratore si avvicina a \( 1 \). Il denominatore è un piccolo numero positivo. Quindi:

  \( \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = +\infty \)

• Limite sinistro: \( \lim_{x \to 0^-} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)

  Quando \( x \) si avvicina a 0 da sinistra, \( x^3 \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \) (perché un numero negativo al quadrato è positivo), e il numeratore si avvicina a \( 1 \). Il denominatore è un piccolo numero positivo. Quindi:

  \( \lim_{x \to 0^-} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = +\infty \)

Poiché sia il limite destro che il limite sinistro tendono a \( +\infty \), abbiamo un asintoto verticale in \( x = 0 \).

Limite per \( x \to \pm\infty \):

Consideriamo il limite della funzione quando \( x \) tende a \( +\infty \) e \( -\infty \).

\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)

Possiamo dividere ogni termine del numeratore per il termine di grado più alto del denominatore, \( x^2 \):

\( \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) \)

Quando \( x \to \pm\infty \), \( x \to \pm\infty \) e \( \frac{1}{x^2} \to 0 \). Quindi:

\( \lim_{x \to +\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty \)

\( \lim_{x \to -\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) = -\infty \)

Poiché il limite per \( x \to \pm\infty \) è infinito, **non esiste un asintoto orizzontale**.

Asintoti:

• **Asintoto verticale:** Dallo studio dei limiti, abbiamo trovato un asintoto verticale in \( x = 0 \) poiché \( \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty \).
• **Asintoto orizzontale:** Non esiste un asintoto orizzontale poiché \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty \).
• **Asintoto obliquo:** Cerchiamo un asintoto obliquo della forma \( y = mx + q \), dove \( m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \) e \( q = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) \).

  \( m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right) = 1 \)

  \( q = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 + x^2 + 1 - x^3}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) = 1 \)

  Quindi, esiste un asintoto obliquo di equazione \( \mathbf{y = x + 1} \).

Derivata prima:

Applichiamo la regola del quoziente per trovare la derivata prima di \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \).

Siano \( u(x) = x^3 + x^2 + 1 \) e \( v(x) = x^2 \). Allora \( u'(x) = 3x^2 + 2x \) e \( v'(x) = 2x \).

\( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(3x^2 + 2x)(x^2) - (x^3 + x^2 + 1)(2x)}{(x^2)^2} \)

\( f'(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 - (2x^4 + 2x^3 + 2x)}{x^4} = \frac{3x^4 + 2x^3 - 2x^4 - 2x^3 - 2x}{x^4} \)

\( f'(x) = \frac{x^4 - 2x}{x^4} = \frac{x(x^3 - 2)}{x^4} = \frac{x^3 - 2}{x^3} = 1 - \frac{2}{x^3} \)

Studio del segno di \( f'(x) \):

Analizziamo il segno di \( f'(x) = \frac{x^3 - 2}{x^3} \).

• Il numeratore è \( x^3 - 2 \), che è positivo per \( x > \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \) e negativo per \( x < \sqrt[3]{2} \). Si annulla per \( x = \sqrt[3]{2} \).
• Il denominatore è \( x^3 \), che è positivo per \( x > 0 \) e negativo per \( x < 0 \). Si annulla per \( x = 0 \) (punto di non derivabilità).

Costruiamo una tabella dei segni:

Intervallo	\( x < 0 \)	\( x = 0 \)	\( 0 < x < \sqrt[3]{2} \)	\( x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \)	\( x > \sqrt[3]{2} \)
\( x^3 - 2 \)	\( - \)	\( -2 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
\( x^3 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)	\( (\sqrt[3]{2})^3 = 2 \)	\( + \)
\( f'(x) = \frac{x^3 - 2}{x^3} \)	\( + \)	Non definita	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
Monotonia di \( f(x) \)	**Crescente**	Asintoto Verticale	**Decrescente**	Minimo Relativo	**Crescente**

In \( x = \sqrt[3]{2} \), la derivata prima si annulla. Poiché la funzione passa da decrescente a crescente, in \( x = \sqrt[3]{2} \) si ha un **minimo relativo**.

Il valore del minimo relativo è \( f(\sqrt[3]{2}) = \frac{(\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{2})^2 + 1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{2 + 2^{2/3} + 1}{2^{2/3}} = \frac{3 + 2^{2/3}}{2^{2/3}} = 3 \cdot 2^{-2/3} + 1 \approx 1 + 3 \cdot 0.63 = 1 + 1.89 = 2.89 \).

Derivata seconda:

Deriviamo \( f'(x) = 1 - 2x^{-3} \).

\( f''(x) = -2 \cdot (-3) x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)

Studio del segno di \( f''(x) \):

Per \( x \neq 0 \), \( x^4 > 0 \), quindi \( f''(x) = \frac{6}{x^4} > 0 \).

La derivata seconda è sempre **positiva** nel dominio della funzione. Questo significa che la **concavità** del grafico di \( f(x) \) è sempre rivolta **verso l'alto** per \( x \neq 0 \).

**Non ci sono punti di flesso** poiché la concavità non cambia nel dominio della funzione (l'unico punto in cui potrebbe cambiare è \( x = 0 \), che non appartiene al dominio).

Dominio:

La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore:

\((x + 2)^3 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2\)

Quindi il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).

Parità:

Verifichiamo se \(f(-x) = f(x)\) o \(f(-x) = -f(x)\).

\(f(-x) = \frac{9(-x) + 9}{(-x + 2)^3} = \frac{-9x + 9}{(2 - x)^3}\)

Chiaramente, \(\frac{-9x + 9}{(2 - x)^3} \neq \frac{9x + 9}{(x + 2)^3}\) e \(\frac{-9x + 9}{(2 - x)^3} \neq -\frac{9x + 9}{(x + 2)^3}\).

La funzione **non è né pari né dispari**.

Intersezioni con gli assi:

Intersezione con l'asse y (\(x = 0\)):

\(f(0) = \frac{9(0) + 9}{(0 + 2)^3} = \frac{9}{8}\)

Punto: \((0, \frac{9}{8})\)

Intersezione con l'asse x (\(y = 0\)):

\(\frac{9x + 9}{(x + 2)^3} = 0 \implies 9x + 9 = 0 \implies x = -1\)

Punto: \((-1, 0)\)

Segno della funzione:

Studiamo il segno del numeratore \(N(x) = 9x + 9 = 9(x + 1)\) e del denominatore \(D(x) = (x + 2)^3\).

• \(N(x) > 0\) se \(x > -1\), \(N(x) < 0\) se \(x < -1\), \(N(x) = 0\) se \(x = -1\).
• \(D(x) > 0\) se \(x > -2\), \(D(x) < 0\) se \(x < -2\), \(D(x) = 0\) se \(x = -2\).

Tabella dei segni:

Intervallo	\(9(x + 1)\)	\((x + 2)^3\)	\(f(x)\)
\(x < -2\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(-2 < x < -1\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\(x > -1\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Limiti:

• \(\lim_{x \to -2^-} \frac{9x + 9}{(x + 2)^3} = \frac{-18 + 9}{(0^-)^3} = \frac{-9}{0^-} = +\infty\)
• \(\lim_{x \to -2^+} \frac{9x + 9}{(x + 2)^3} = \frac{-18 + 9}{(0^+)^3} = \frac{-9}{0^+} = -\infty\)
• \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{9x + 9}{(x + 2)^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{9x}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{9}{x^2} = 0\)

Asintoti:

• **Asintoto verticale:** \(x = -2\) (dai limiti).
• **Asintoto orizzontale:** \(y = 0\) (dal limite a \(\pm\infty\)).
• **Non ci sono asintoti obliqui** perché esiste un asintoto orizzontale.

Derivata prima:

Applichiamo la regola del quoziente: \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), con \(u = 9x + 9\) e \(v = (x + 2)^3\).

\(u' = 9\)

\(v' = 3(x + 2)^2 \cdot 1 = 3(x + 2)^2\)

\(f'(x) = \frac{9(x + 2)^3 - (9x + 9) \cdot 3(x + 2)^2}{((x + 2)^3)^2}\)

\(f'(x) = \frac{9(x + 2)^2 [(x + 2) - 3(x + 1)]}{(x + 2)^6}\)

\(f'(x) = \frac{9 (x + 2 - 3x - 3)}{(x + 2)^4} = \frac{9 (-2x - 1)}{(x + 2)^4} = \frac{-18x - 9}{(x + 2)^4}\)

Studio del segno di \(f'(x)\):

Il denominatore \((x + 2)^4\) è sempre positivo per \(x \neq -2\).

Il segno di \(f'(x)\) dipende dal segno del numeratore \(-18x - 9\).

• \(-18x - 9 > 0 \implies -18x > 9 \implies x < -\frac{9}{18} \implies x < -\frac{1}{2}\)
• \(-18x - 9 < 0 \implies x > -\frac{1}{2}\)
• \(-18x - 9 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\)

Monotonia:

• Funzione **crescente** per \(x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -\frac{1}{2})\).
• Funzione **decrescente** per \(x \in (-\frac{1}{2}, +\infty)\).
• In \(x = -\frac{1}{2}\) c'è un **massimo relativo**: \(f(-\frac{1}{2}) = \frac{9(-\frac{1}{2}) + 9}{(-\frac{1}{2} + 2)^3} = \frac{-\frac{9}{2} + 9}{(\frac{3}{2})^3} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{27}{8}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{3}\), punto \((-\frac{1}{2}, \frac{4}{3})\).

Derivata seconda:

Deriviamo \(f'(x) = \frac{-18x - 9}{(x + 2)^4}\) con la regola del quoziente.

\(u = -18x - 9 \implies u' = -18\)

\(v = (x + 2)^4 \implies v' = 4(x + 2)^3 \cdot 1 = 4(x + 2)^3\)

\(f''(x) = \frac{(-18)(x + 2)^4 - (-18x - 9)(4(x + 2)^3)}{((x + 2)^4)^2}\)

\(f''(x) = \frac{54x}{(x + 2)^5}\)

Studio del segno di \(f''(x)\):

Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno di \(54x\) e di \((x + 2)^5\).

• \(54x > 0 \implies x > 0\)
• \((x + 2)^5 > 0 \implies x > -2\)

Schema dei segni di \(f''(x)\):

Intervallo	\(x < -2\)	\(-2 < x < 0\)	\(x > 0\)
\(54x\)	\( - \)	\( - \)	\( + \)
\((x + 2)^5\)	\( - \)	\( + \)	\( + \)
\(f''(x)\)	\( + \)	\( - \)	\( + \)
Concavità	Verso l'alto	Verso il basso	Verso l'alto

**Punto di flesso** in \(x = 0\), dove la concavità cambia. Il punto di flesso è \((0, \frac{9}{8})\).

Dominio:

La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore \(x^2 - 1\).

\(x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1\) o \(x = -1\).

Il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).

Parità:

Verifichiamo \(f(-x)\):

\(f(-x) = (-x) - 2 + \frac{1}{(-x)^2 - 1} = -x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}\)

Chiaramente, \(f(-x) \neq f(x)\) e \(f(-x) \neq -f(x)\).

La funzione **non è né pari né dispari**.

Intersezioni con gli assi:

Intersezione con l'asse y (\(x = 0\)):

\(f(0) = 0 - 2 + \frac{1}{0^2 - 1} = -2 + \frac{1}{-1} = -2 - 1 = -3\)

Punto: \((0, -3)\)

Intersezione con l'asse x (\(y = 0\)):

\(x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1} = 0\)

\(\frac{(x - 2)(x^2 - 1) + 1}{x^2 - 1} = 0\)

\((x - 2)(x^2 - 1) + 1 = 0\)

\(x^3 - x - 2x^2 + 2 + 1 = 0\)

\(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\)

Questa equazione non ammette radici razionali, quindi, facciamo una stima delle soluzioni (una c'è sicuramente, perché un'equazione polinomiale di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione reale). Risolvere l'equazione \(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\) equivale a risolvere l'equazione: \(x^3 - 2x^2 = x - 3\). Rappresentiamo qualitativamente le due funzioni \(a(x) = x^3 - 2x^2\) e \(b(x) = x - 3\). Uno studio sommario delle due funzioni porta al seguente grafico, che abbiamo tracciato tenendo presente che il minimo \(m\) di ascissa \(x = \frac{4}{3}\) di \(a(x)\) ha ordinata maggiore di quello che si ottiene per lo stesso valore di \(x\) nella funzione \(b(x)\). Possiamo quindi concludere che le due curve si intersecano in un solo punto, la cui ascissa è circa \(c = -1\).

Possiamo quindi dire che l'equazione \(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\) ammette una sola radice pari circa a \(c = -1\).

Pertanto, il grafico della funzione \(f(x)\) che stiamo studiando ha con l'asse delle ascisse una sola intersezione in \(x \approx -1\), ovvero nel punto \((-1, 0)\).

Segno della funzione:

Il segno dipende dal segno di \(\frac{(x - 2)(x^2 - 1) + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^3 - 2x^2 - x + 3}{x^2 - 1}\). Abbiamo appurato che il numeratore \(N(x) = x^3 - 2x^2 - x + 3\) ha una sola radice reale approssimativamente in \(c \approx -1\). Per studiare il segno del numeratore, possiamo considerare che un polinomio di grado dispari cambia segno in corrispondenza della sua radice reale. Possiamo valutare il segno in un punto a destra e uno a sinistra della radice \(c\).

• Per \(x > c\) (ad esempio, \(x = 0\)), \(N(0) = 3 > 0\).
• Per \(x < c\) (ad esempio, \(x = -2\)), \(N(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - (-2) + 3 = -8 - 8 + 2 + 3 = -11 < 0\).

Quindi, il numeratore è **positivo** per \(x > c\) e **negativo** per \(x < c\).

Il denominatore è \(D(x) = x^2 - 1\), che cambia segno in \(x = -1\) e \(x = 1\):

• \(x^2 - 1 > 0\) per \(x < -1\) o \(x > 1\).
• \(x^2 - 1 < 0\) per \(-1 < x < 1\).

Ora possiamo costruire una tabella dei segni, ricordando che \(c \approx -1\):

Intervallo	\(x - c\)	\(x - 1\)	\(x + 1\)	\(N(x) = x^3 - 2x^2 - x + 3\)	\(D(x) = x^2 - 1\)	\(f(x)\)
\(x < c \approx -1\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\(c < x < -1\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(-1 < x < 1\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(x > 1\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

Pertanto, la funzione \(f(x)\) è **positiva** per \(c < x < -1\) e per \(x > 1\), mentre è **negativa** per \(x < c\) e per \(-1 < x < 1\).

Limiti:

• \(\lim_{x \to -1^-} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = -1 - 2 + \frac{1}{0^+} = -3 + \infty = +\infty\)
• \(\lim_{x \to -1^+} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = -1 - 2 + \frac{1}{0^-} = -3 - \infty = -\infty\)
• \(\lim_{x \to 1^-} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = 1 - 2 + \frac{1}{0^-} = -1 - \infty = -\infty\)
• \(\lim_{x \to 1^+} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = 1 - 2 + \frac{1}{0^+} = -1 + \infty = +\infty\)
• \(\lim_{x \to \pm\infty} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = \lim_{x \to \pm\infty} (x - 2 + 0) = \pm\infty\)

Asintoti:

• **Asintoti verticali:** \(x = -1\) e \(x = 1\).
• **Asintoto obliquo:** Cerchiamo \(y = mx + q\).

  \(m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x(x^2 - 1)}) = 1 - 0 + 0 = 1\)

  \(q = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} (-2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = -2 + 0 = -2\)

  L'asintoto obliquo è \(y = x - 2\).

• **Non ci sono asintoti orizzontali.**

Derivata prima:

\(f'(x) = 1 + (-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}) = 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(x^2 - 1)^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 2x^2 + 1 - 2x}{(x^2 - 1)^2}\)

Studio del segno di \(f'(x)\):

Studio il segno del numeratore: \(N(x) = x^4 - 2x^2 - 2x + 1 > 0\), che è come dire: \(x^4 - 2x^2 > 2x - 1\).

Pongo \(h(x) = x^4 - 2x^2\) e faccio uno studio qualitativo:

La funzione \(h(x)\) è razionale intera ed è pari. Per \(x = 0\) si ha \(y = 0\) e per \(y = 0\) si ha: \(x^2(x^2 - 2) = 0\); questo indica che in \(x = 0\) abbiamo una radice doppia (tangenza all'asse x) e le due radici \(x = \pm \sqrt{2}\). La funzione è positiva quando \(x^2 - 2 > 0\), quindi per \(x < -\sqrt{2}\) oppure \(x > \sqrt{2}\) ed è negativa per \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\). I limiti a \(\pm\infty\) sono entrambi \(+\infty\). Quindi il grafico qualitativo di \(h(x) = x^4 - 2x^2\) è il seguente:

Indico con \(g(x) = 2x - 1\) il secondo membro della disequazione. Il suo grafico è una retta.

Devo rappresentare \(h(x)\) e \(g(x)\) nello stesso sistema di riferimento. Punti essenziali per valutare la posizione reciproca dei due grafici:

• Se \(x = -1\) risulta \(h(-1) = -1\) e \(g(-1) = -3\): quindi in \(x = -1\) il grafico di \(g\) è sotto quello di \(h\).
• Se \(x = 0\) risulta: \(h(0) = 0\) e \(g(0) = -1\): grafico di \(g\) sotto al grafico di \(h\).
• Se \(x = 1\) risulta: \(h(1) = -1\) e \(g(1) = 1\): grafico di \(g\) sopra al grafico di \(h\), quindi le due curve si incontrano in un punto \(a\) compreso fra \(0\) e \(1\).
• Se \(x = 2\) risulta: \(h(2) = 8\) ed \(g(2) = 3\): il grafico di \(g\) torna sotto il grafico di \(h\), quindi abbiamo un'altra intersezione fra \(b\) compresa fra \(1\) e \(2\).
• Se \(x > 1\) il grafico di \(g\) resta sempre sotto quello di \(h\).

Dal grafico deduciamo quindi che la disequazione è verificata per \(x < a\) e per \(x > b\). Pertanto \(N(x) > 0\) per \(x < a\) e per \(x > b\) (un calcolo più approfondito mostra che \(a\) è circa \(0.4\) e \(b\) circa \(1.7\)).

Il denominatore \(D(x) = (x^2 - 1)^2\) della derivata prima è sempre positivo nel dominio (\(x \neq \pm 1\)). Quindi:

• \(f'(x) > 0\) per \(x < a\) e \(x > b\)
• \(f'(x) < 0\) per \(a < x < b\)

\(x = a\) è punto di **massimo relativo** e \(x = b\) è punto di **minimo relativo**, come si vede dal seguente schema dei segni:

Intervallo	\(x < -1\)	\(x = -1\)	\(-1 < x < a \approx 0.4\)	\(x = a \approx 0.4\)	\(a < x < 1\)	\(x = 1\)	\(1 < x < b \approx 1.7\)	\(x = b \approx 1.7\)	\(x > b \approx 1.7\)
\(f'(x)\)	\(+\)	Non definita	\(+\)	\(0\)	\(-\)	Non definita	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	Crescente	Asintoto V.	Crescente	Max Rel.	Decrescente	Asintoto V.	Decrescente	Min Rel.	Crescente

Derivata seconda:

Partiamo dalla derivata prima:

\(f'(x) = 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\)

Deriviamo nuovamente per trovare la derivata seconda:

\(f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} \right) = 0 - \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} \right)\)

Applichiamo la regola del quoziente \(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\) con \(u(x) = 2x\) (\(u'(x) = 2\)) e \(v(x) = (x^2 - 1)^2\) (\(v'(x) = 4x(x^2 - 1)\)):

\(f''(x) = - \frac{2 \cdot (x^2 - 1)^2 - 2x \cdot 4x(x^2 - 1)}{[(x^2 - 1)^2]^2}\)

\(f''(x) = - \frac{2(x^2 - 1)[(x^2 - 1) - 4x^2]}{(x^2 - 1)^4}\)

Semplificando il numeratore:

\(f''(x) = - \frac{2(x^2 - 1 - 4x^2)}{(x^2 - 1)^3} = - \frac{2(-3x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2(3x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}\)

Studio del segno di \(f''(x)\):

Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno del numeratore \(N(x) = 6x^2 + 2\) e del denominatore \(D(x) = (x^2 - 1)^3\).

• Il numeratore \(6x^2 + 2\) è sempre positivo per ogni \(x \in \mathbb{R}\) perché \(x^2 \ge 0 \implies 6x^2 \ge 0 \implies 6x^2 + 2 \ge 2 > 0\).
• Il segno del denominatore \((x^2 - 1)^3\) è lo stesso del segno di \(x^2 - 1\):
  • \(x^2 - 1 > 0 \implies x < -1\) o \(x > 1\)
  • \(x^2 - 1 < 0 \implies -1 < x < 1\)
  • \(x^2 - 1 = 0 \implies x = -1\) o \(x = 1\) (dove la funzione non è definita)

Tabella dei segni di \(f''(x)\) e concavità di \(f(x)\):

Intervallo	\(x < -1\)	\(x = -1\)	\(-1 < x < 1\)	\(x = 1\)	\(x > 1\)
\(6x^2 + 2\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)
\((x^2 - 1)^3\)	\(+\)	Non definita	\(-\)	Non definita	\(+\)
\(f''(x)\)	\(+\)	Non definita	\(-\)	Non definita	\(+\)
Concavità di \(f(x)\)	Verso l'alto		Verso il basso		Verso l'alto

**Non ci sono punti di flesso** poiché i cambiamenti di concavità avvengono in \(x = -1\) e \(x = 1\), che non appartengono al dominio della funzione.