Studia la funzione e controlla la soluzione guidata dei vari punti cliccando sul bottone corrispondente. Muovendo il mouse nella zona del grafico puoi vedere le coordinate dei punti della curva. Sposta il grafico tenendo premuto il tasto sinistro del mouse e muovendolo. Con il puntatore del mouse nella zona del grafico puoi ingrandire o rimpicciolire agendo sulla rotellina del mouse. Premi il bottone RIPRISTINA per cancellare gli output.
La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore:
\(x^2-1 = 0\)
\((x-1)(x+1) = 0\)
\(x = -1\) o \(x = 1\)
Quindi il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), cioè tutti i numeri reali tranne \(-1\) e \(1\).
Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:
\( f(-x) =\frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = f(x) \)
Poiché \(f(-x) = f(x) \), la funzione è pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
Poniamo \(x = 0\):
\( (f(0) = \frac{0^2 + 1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \)
Il punto di intersezione con l'asse y è \((0, -1)\).
Poniamo \(y = f(x) = 0\):
\(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 + 1 = 0\)
L'equazione \(x^2 + 1 = 0\) non ha soluzioni reali, quindi il grafico della funzione non interseca l'asse x.
Analizziamo il segno del numeratore \(N(x) = x^2 + 1\) e del denominatore \(D(x) = x^2 - 1\).
Quindi:
\(f'(x) = \frac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2}\)
\(f''(x) = \frac{-4(x^2 - 1)^2 - (-4x) \cdot 2(x^2 - 1)(2x)}{(x^2 - 1)^4}\)
\(f''(x) = \frac{-4(x^2 - 1) + 16x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{-4x^2 + 4 + 16x^2}{(x^2 - 1)^3} = \frac{12x^2 + 4}{(x^2 - 1)^3}\)
Il numeratore \(12x^2 + 4\) è sempre positivo.
Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno del denominatore \((x^2 - 1)^3\), che ha lo stesso segno di \(x^2 - 1\).
Non ci sono punti di flesso perché la concavità cambia in corrispondenza dei punti di discontinuità \(x = -1\) e \(x = 1\), che non appartengono al dominio.
La funzione è un rapporto tra due polinomi. Il dominio è costituito da tutti i numeri reali ad eccezione dei valori di \( x \) che annullano il denominatore. In questo caso, il denominatore è \( x^2 \).
\( x^2 = 0 \implies x = 0 \)
Pertanto, il dominio della funzione è \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), ovvero tutti i numeri reali eccetto lo zero.
Per determinare se la funzione è pari o dispari, calcoliamo \( f(-x) \) e lo confrontiamo con \( f(x) \) e \( -f(x) \).
\( f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)^2 + 1}{(-x)^2} = \frac{-x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)
Confrontiamo \( f(-x) \) con \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \). Chiaramente, \( f(-x) \neq f(x) \), quindi la funzione non è pari.
Ora confrontiamo \( f(-x) \) con \( -f(x) = -\frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = \frac{-x^3 - x^2 - 1}{x^2} \). Chiaramente, \( f(-x) \neq -f(x) \), quindi la funzione non è dispari.
Concludiamo che la funzione \( f(x) \) non è né pari né dispari.
Per trovare le intersezioni del grafico della funzione \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \) con gli assi cartesiani, dobbiamo considerare separatamente l'asse y e l'asse x.
L'intersezione con l'asse y si verifica quando \( x = 0 \). Tuttavia, come abbiamo stabilito nell'analisi del dominio, \( x = 0 \) non appartiene al dominio della funzione, poiché annulla il denominatore. Pertanto, il grafico della funzione non interseca l'asse y.
L'intersezione con l'asse x si verifica quando \( y = f(x) = 0 \). Questo implica che il numeratore della frazione deve essere uguale a zero:
\( x^3 + x^2 + 1 = 0 \)
Per trovare un valore approssimato delle radici di questa equazione (che ne ha almeno una reale, essendo un'equazione polinomiale di grado dispari) facciamo uno studio grafico. Risolvere l'equazione \( x^3 + x^2 + 1 = 0 \) equivale a risolvere l'equazione \( x^3 = -x^2 - 1 \).
Ponendo \( a(x) = x^3 \) e \( b(x) = -x^2 - 1 \), rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due funzioni:
Grafico delle funzioni \( a(x) = x^3 \) (curva verde) e \( b(x) = -x^2 - 1 \) (curva rossa).
Dal grafico deduciamo che l'equazione ha una sola radice reale \( c \approx -1.5 \).
Pertanto, l'intersezione del grafico di \( f(x) \) con l'asse x è approssimativamente in \( x \approx -1.5 \), ovvero nel punto \( (-1.5, 0) \).
Per determinare il segno della funzione \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), analizziamo il segno del numeratore \( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \) e del denominatore \( D(x) = x^2 \).
Il denominatore \( D(x) = x^2 \) è sempre positivo per ogni \( x \) appartenente al dominio della funzione, ovvero per \( x \neq 0 \).
Per quanto riguarda il numeratore \( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \), abbiamo visto nello studio delle intersezioni con l'asse x che la radice reale dell'equazione \( x^3 + x^2 + 1 = 0 \) è approssimativamente \( c \approx -1.5 \). Risolvere \( x^3 + x^2 + 1 > 0 \) equivale a risolvere \( x^3 > -x^2 - 1 \). Dal grafico delle funzioni \( a(x) = x^3 \) e \( b(x) = -x^2 - 1 \), si deduce che \( x^3 > -x^2 - 1 \) per \( x > c \).
Possiamo quindi analizzare il segno di \( f(x) \) considerando gli intervalli determinati dalla radice del numeratore \( c \approx -1.5 \) e dal punto in cui il denominatore si annulla (e la funzione non è definita) \( x = 0 \): \( (-\infty, -1.5) \), \( (-1.5, 0) \), \( (0, +\infty) \).
| Intervallo | \( x < -1.5 \) | \( x = -1.5 \) | \( -1.5 < x < 0 \) | \( x = 0 \) | \( x > 0 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( N(x) = x^3 + x^2 + 1 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 1 \) | \( + \) |
| \( D(x) = x^2 \) | \( + \) | \( + \) | \( + \) | Non definita | \( + \) |
| \( f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | Non definita | \( + \) |
In sintesi:
Analizziamo i limiti nei punti di discontinuità e all'infinito.
Dobbiamo considerare il limite destro e il limite sinistro di \( x = 0 \), dove la funzione non è definita.
Quando \( x \) si avvicina a 0 da destra, \( x^3 \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \), e il numeratore si avvicina a \( 1 \). Il denominatore è un piccolo numero positivo. Quindi:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = +\infty \)
Quando \( x \) si avvicina a 0 da sinistra, \( x^3 \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \) (perché un numero negativo al quadrato è positivo), e il numeratore si avvicina a \( 1 \). Il denominatore è un piccolo numero positivo. Quindi:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = +\infty \)
Poiché sia il limite destro che il limite sinistro tendono a \( +\infty \), abbiamo un asintoto verticale in \( x = 0 \).
Consideriamo il limite della funzione quando \( x \) tende a \( +\infty \) e \( -\infty \).
\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \)
Possiamo dividere ogni termine del numeratore per il termine di grado più alto del denominatore, \( x^2 \):
\( \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) \)
Quando \( x \to \pm\infty \), \( x \to \pm\infty \) e \( \frac{1}{x^2} \to 0 \). Quindi:
\( \lim_{x \to +\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty \)
\( \lim_{x \to -\infty} \left( x + 1 + \frac{1}{x^2} \right) = -\infty \)
Poiché il limite per \( x \to \pm\infty \) è infinito, non esiste un asintoto orizzontale.
\( m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} \right) = 1 \)
\( q = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3 + x^2 + 1 - x^3}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2} \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) = 1 \)
Quindi, esiste un asintoto obliquo di equazione \( y = x + 1 \).
Applichiamo la regola del quoziente per trovare la derivata prima di \( f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2} \).
Siano \( u(x) = x^3 + x^2 + 1 \) e \( v(x) = x^2 \). Allora \( u'(x) = 3x^2 + 2x \) e \( v'(x) = 2x \).
\( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(3x^2 + 2x)(x^2) - (x^3 + x^2 + 1)(2x)}{(x^2)^2} \)
\( f'(x) = \frac{3x^4 + 2x^3 - (2x^4 + 2x^3 + 2x)}{x^4} = \frac{3x^4 + 2x^3 - 2x^4 - 2x^3 - 2x}{x^4} \)
\( f'(x) = \frac{x^4 - 2x}{x^4} = \frac{x(x^3 - 2)}{x^4} = \frac{x^3 - 2}{x^3} = 1 - \frac{2}{x^3} \)
Analizziamo il segno di \( f'(x) = \frac{x^3 - 2}{x^3} \).
Costruiamo una tabella dei segni:
| Intervallo | \( x < 0 \) | \( x = 0 \) | \( 0 < x < \sqrt[3]{2} \) | \( x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \) | \( x > \sqrt[3]{2} \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( x^3 - 2 \) | \( - \) | \( -2 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( x^3 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( (\sqrt[3]{2})^3 = 2 \) | \( + \) |
| \( f'(x) = \frac{x^3 - 2}{x^3} \) | \( + \) | Non definita | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| Monotonia di \( f(x) \) | Crescente | Asintoto Verticale | Decrescente | Minimo Relativo | Crescente |
In \( x = \sqrt[3]{2} \), la derivata prima si annulla. Poiché la funzione passa da decrescente a crescente, in \( x = \sqrt[3]{2} \) si ha un minimo relativo.
Il valore del minimo relativo è \( f(\sqrt[3]{2}) = \frac{(\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{2})^2 + 1}{(\sqrt[3]{2})^2} = \frac{2 + 2^{2/3} + 1}{2^{2/3}} = \frac{3 + 2^{2/3}}{2^{2/3}} = 3 \cdot 2^{-2/3} + 1 \approx 1 + 3 \cdot 0.63 = 1 + 1.89 = 2.89 \).
Deriviamo \( f'(x) = 1 - 2x^{-3} \).
\( f''(x) = -2 \cdot (-3) x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)
Per \( x \neq 0 \), \( x^4 > 0 \), quindi \( f''(x) = \frac{6}{x^4} > 0 \).
La derivata seconda è sempre positiva nel dominio della funzione. Questo significa che la concavità del grafico di \( f(x) \) è sempre rivolta verso l'alto per \( x \neq 0 \).
Non ci sono punti di flesso poiché la concavità non cambia nel dominio della funzione (l'unico punto in cui potrebbe cambiare è \( x = 0 \), che non appartiene al dominio).
La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore:
\((x + 2)^3 = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2\)
Quindi il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
Verifichiamo se \(f(-x) = f(x)\) o \(f(-x) = -f(x)\).
\(f(-x) = \frac{9(-x) + 9}{(-x + 2)^3} = \frac{-9x + 9}{(2 - x)^3}\)
Chiaramente, \(\frac{-9x + 9}{(2 - x)^3} \neq \frac{9x + 9}{(x + 2)^3}\) e \(\frac{-9x + 9}{(2 - x)^3} \neq -\frac{9x + 9}{(x + 2)^3}\).
La funzione non è né pari né dispari.
\(f(0) = \frac{9(0) + 9}{(0 + 2)^3} = \frac{9}{8}\)
Punto: \((0, \frac{9}{8})\)
\(\frac{9x + 9}{(x + 2)^3} = 0 \implies 9x + 9 = 0 \implies x = -1\)
Punto: \((-1, 0)\)
Studiamo il segno del numeratore \(N(x) = 9x + 9 = 9(x + 1)\) e del denominatore \(D(x) = (x + 2)^3\).
Tabella dei segni:
| Intervallo | \(9(x + 1)\) | \((x + 2)^3\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|---|
| \(x < -2\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-2 < x < -1\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(x > -1\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Applichiamo la regola del quoziente: \(f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), con \(u = 9x + 9\) e \(v = (x + 2)^3\).
\(u' = 9\)
\(v' = 3(x + 2)^2 \cdot 1 = 3(x + 2)^2\)
\(f'(x) = \frac{9(x + 2)^3 - (9x + 9) \cdot 3(x + 2)^2}{((x + 2)^3)^2}\)
\(f'(x) = \frac{9(x + 2)^2 [(x + 2) - 3(x + 1)]}{(x + 2)^6}\)
\(f'(x) = \frac{9 (x + 2 - 3x - 3)}{(x + 2)^4} = \frac{9 (-2x - 1)}{(x + 2)^4} = \frac{-18x - 9}{(x + 2)^4}\)
Il denominatore \((x + 2)^4\) è sempre positivo per \(x \neq -2\).
Il segno di \(f'(x)\) dipende dal segno del numeratore \(-18x - 9\).
Deriviamo \(f'(x) = \frac{-18x - 9}{(x + 2)^4}\) con la regola del quoziente.
\(u = -18x - 9 \implies u' = -18\)
\(v = (x + 2)^4 \implies v' = 4(x + 2)^3 \cdot 1 = 4(x + 2)^3\)
\(f''(x) = \frac{(-18)(x + 2)^4 - (-18x - 9)(4(x + 2)^3)}{((x + 2)^4)^2} = \frac{54x}{(x + 2)^5}\)
Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno di \(54x\) e di \((x + 2)^5\).
Schema dei segni di \(f''(x)\):
\( \begin{array}{c|ccc} \text{Intervallo} & x < -2 & -2 < x < 0 & x > 0 \\ \hline 54x & - & - & + \\ (x + 2)^5 & - & + & + \\ \hline f''(x) & + & - & + \\ \text{Concavità} & \text{Verso l'alto} & \text{Verso il basso} & \text{Verso l'alto} \\ \end{array} \)
Punto di flesso in \(x = 0\), dove la concavità cambia. Il punto di flesso è \((0, \frac{9}{8})\).
La funzione è definita per tutti i valori di \(x\) eccetto quelli che annullano il denominatore \(x^2 - 1\).
\(x^2 - 1 = 0 \implies (x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1\) o \(x = -1\).
Il dominio è \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).
Verifichiamo \(f(-x)\):
\(f(-x) = (-x) - 2 + \frac{1}{(-x)^2 - 1} = -x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}\)
Chiaramente, \(f(-x) \neq f(x)\) e \(f(-x) \neq -f(x)\).
La funzione non è né pari né dispari.
\(f(0) = 0 - 2 + \frac{1}{0^2 - 1} = -2 + \frac{1}{-1} = -2 - 1 = -3\)
Punto: \((0, -3)\)
\(x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1} = 0\)
\(\frac{(x - 2)(x^2 - 1) + 1}{x^2 - 1} = 0\)
\((x - 2)(x^2 - 1) + 1 = 0\)
\(x^3 - x - 2x^2 + 2 + 1 = 0\)
\(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\)
Questa equazione non ammette radici razionali, quindi, facciamo una stima delle soluzioni (una c'è sicuramente, perché un'equazione polinomiale di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione reale). Risolvere l'equazione \(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\) equivale a risolvere l'equazione: \(x^3 - 2x^2 = x - 3\). Rappresentiamo qualitativamente le due funzioni \(a(x) = x^3 - 2x^2\) e \(b(x) = x - 3\). Uno studio sommario delle due funzioni porta al seguente grafico, che abbiamo tracciato tenendo presente che il minimo \(m\) di ascissa \(x = \frac{4}{3}\) di \(a(x)\) ha ordinata maggiore di quello che si ottiene per lo stesso valore di \(x\) nella funzione \(b(x)\). Possiamo quindi concludere che le due curve si intersecano in un solo punto, la cui ascissa è circa \(c = -1\).
Grafico sommario delle due funzioni: \(a(x) = x^3 - 2x^2\) (curva in rosso) e \(b(x) = x - 3\) (retta in blu).
Possiamo quindi dire che l'equazione \(x^3 - 2x^2 - x + 3 = 0\) ammette una sola radice pari circa a \(c = -1\).
Pertanto, il grafico della funzione \(f(x)\) che stiamo studiando ha con l'asse delle ascisse una sola intersezione in \(x \approx -1\), ovvero nel punto \((-1, 0)\).
Il segno dipende dal segno di \(\frac{(x - 2)(x^2 - 1) + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^3 - 2x^2 - x + 3}{x^2 - 1}\). Abbiamo appurato che il numeratore \(N(x) = x^3 - 2x^2 - x + 3\) ha una sola radice reale approssimativamente in \(c \approx -1\). Per studiare il segno del numeratore, possiamo considerare che un polinomio di grado dispari cambia segno in corrispondenza della sua radice reale. Possiamo valutare il segno in un punto a destra e uno a sinistra della radice \(c\).
Quindi, il numeratore è positivo per \(x > c\) e negativo per \(x < c\).
Il denominatore è \(D(x) = x^2 - 1\), che cambia segno in \(x = -1\) e \(x = 1\):
Ora possiamo costruire una tabella dei segni, ricordando che \(c \approx -1\):
| Intervallo | \(x - c\) | \(x - 1\) | \(x + 1\) | \(N(x) = x^3 - 2x^2 - x + 3\) | \(D(x) = x^2 - 1\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x < c \approx -1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(c < x < -1\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(-1 < x < 1\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x > 1\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Pertanto, la funzione \(f(x)\) è positiva per \(c < x < -1\) e per \(x > 1\), mentre è negativa per \(x < c\) e per \(-1 < x < 1\).
\(m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x(x^2 - 1)}) = 1 - 0 + 0 = 1\)
\(q = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x - 2 + \frac{1}{x^2 - 1} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} (-2 + \frac{1}{x^2 - 1}) = -2 + 0 = -2\)
L'asintoto obliquo è \(y = x - 2\).
\(f'(x) = 1 + (-\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}) = 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(x^2 - 1)^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 2x^2 + 1 - 2x}{(x^2 - 1)^2}\)
Studio il segno del numeratore: \(N(x) = x^4 - 2x^2 - 2x + 1 > 0\), che è come dire: \(x^4 - 2x^2 > 2x - 1\).
Pongo \(h(x) = x^4 - 2x^2\) e faccio uno studio qualitativo:
La funzione \(h(x)\) è razionale intera ed è pari. Per \(x = 0\) si ha \(y = 0\) e per \(y = 0\) si ha: \(x^2(x^2 - 2) = 0\); questo indica che in \(x = 0\) abbiamo una radice doppia (tangenza all'asse x) e le due radici \(x = \pm \sqrt{2}\). La funzione è positiva quando \(x^2 - 2 > 0\), quindi per \(x < -\sqrt{2}\) oppure \(x > \sqrt{2}\) ed è negativa per \(-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}\). I limiti a \(\pm\infty\) sono entrambi \(+\infty\). Quindi il grafico qualitativo di \(h(x) = x^4 - 2x^2\) è il seguente:
Grafico qualitativo di \(h(x) = x^4 - 2x^2\).
Indico con \(g(x) = 2x - 1\) il secondo membro della disequazione. Il suo grafico è una retta.
Devo rappresentare \(h(x)\) e \(g(x)\) nello stesso sistema di riferimento. Punti essenziali per valutare la posizione reciproca dei due grafici:
Grafici qualitativi di \(h(x) = x^4 - 2x^2\) (curva) e \(g(x) = 2x - 1\) (retta).
Dal grafico deduciamo quindi che la disequazione è verificata per \(x < a\) e per \(x > b\). Pertanto \(N(x) > 0\) per \(x < a\) e per \(x > b\) (un calcolo più approfondito mostra che \(a\) è circa \(0.4\) e \(b\) circa \(1.7\)).
Il denominatore \(D(x) = (x^2 - 1)^2\) della derivata prima è sempre positivo nel dominio (\(x \neq \pm 1\)). Quindi:
\(x = a\) è punto di massimo relativo e \(x = b\) è punto di minimo relativo, come si vede dal seguente schema dei segni:
| Intervallo | \(x < -1\) | \(x = -1\) | \(-1 < x < a \approx 0.4\) | \(x = a \approx 0.4\) | \(a < x < 1\) | \(x = 1\) | \(1 < x < b \approx 1.7\) | \(x = b \approx 1.7\) | \(x > b \approx 1.7\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | Non definita | \(+\) | \(0\) | \(-\) | Non definita | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | Crescente | Asintoto V. | Crescente | Max Rel. | Decrescente | Asintoto V. | Decrescente | Min Rel. | Crescente |
Partiamo dalla derivata prima:
\(f'(x) = 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\)
Deriviamo nuovamente per trovare la derivata seconda:
\(f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} \right) = 0 - \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{(x^2 - 1)^2} \right)\)
Applichiamo la regola del quoziente \(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\) con \(u(x) = 2x\) (\(u'(x) = 2\)) e \(v(x) = (x^2 - 1)^2\) (\(v'(x) = 4x(x^2 - 1)\)):
\(f''(x) = - \frac{2 \cdot (x^2 - 1)^2 - 2x \cdot 4x(x^2 - 1)}{[(x^2 - 1)^2]^2}\)
\(f''(x) = - \frac{2(x^2 - 1)[(x^2 - 1) - 4x^2]}{(x^2 - 1)^4}\)
Semplificando il numeratore:
\(f''(x) = - \frac{2(x^2 - 1 - 4x^2)}{(x^2 - 1)^3} = - \frac{2(-3x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{2(3x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^3} = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}\)
Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno del numeratore \(N(x) = 6x^2 + 2\) e del denominatore \(D(x) = (x^2 - 1)^3\).
Tabella dei segni di \(f''(x)\) e concavità di \(f(x)\):
| Intervallo | \(x < -1\) | \(x = -1\) | \(-1 < x < 1\) | \(x = 1\) | \(x > 1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(6x^2 + 2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((x^2 - 1)^3\) | \(+\) | Non definita | \(-\) | Non definita | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | Non definita | \(-\) | Non definita | \(+\) |
| Concavità di \(f(x)\) | Verso l'alto | Verso il basso | Verso l'alto |
Non ci sono punti di flesso poiché i cambiamenti di concavità avvengono in \(x = -1\) e \(x = 1\), che non appartengono al dominio della funzione.