Studia la funzione e controlla la soluzione guidata dei vari punti cliccando sul bottone corrispondente. Muovendo il mouse nella zona del grafico puoi vedere le coordinate dei punti della curva. Sposta il grafico tenendo premuto il tasto sinistro del mouse e muovendolo. Con il puntatore del mouse nella zona del grafico puoi ingrandire o rimpicciolire agendo sulla rotellina del mouse. Premi il bottone RIPRISTINA per cancellare gli output.
\( \mathbb{R} \) (tutti i numeri reali)
\( f(-x) = -2x^3 - 18x^2 - 12x \) : nè pari nè dispari
Asse y (x = 0):
Sostituiamo \( x = 0 \) nella funzione:
\[ y = 2(0)^3 - 18(0)^2 + 12(0) = 0 \]
Punto di intersezione: \((0, 0)\)
Asse x (y = 0):
Risolviamo l'equazione:
\[ 2x^3 - 18x^2 + 12x = 0 \]
1. Raccoglimento a fattor comune:
\[ 2x(x^2 - 9x + 6) = 0 \]
2. Prima soluzione:
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
3. Equazione quadratica residua:
\[ x^2 - 9x + 6 = 0 \]
4. Applicazione formula risolutiva:
\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2} \]
5. Soluzioni esatte:
\[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{2} \quad (\approx 8.27) \]
\[ x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{2} \quad (\approx 0.73) \]
Punti di intersezione totali:
Per determinare dove la funzione è positiva o negativa:
1. Trovare le radici:
Già calcolate nelle intersezioni con l'asse x:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{2} \approx 0.73, \quad x_3 = \frac{9 + \sqrt{57}}{2} \approx 8.27 \]
2. Suddividere la retta reale in intervalli:
3. Analisi per intervalli:
| Intervallo | Valore di Test | Segno di f(x) |
|---|---|---|
| \(x < 0\) | \(x = -1\) | \(f(-1) = -32 < 0\) |
| \(0 < x < 0.73\) | \(x = 0.5\) | \(f(0.5) = 1.75 > 0\) |
| \(0.73 < x < 8.27\) | \(x = 2\) | \(f(2) = -32 < 0\) |
| \(x > 8.27\) | \(x = 9\) | \(f(9) = 108 > 0\) |
4. Diagramma dei segni:
-∞ 0 0.73 8.27 +∞
|-----------|-----------|-----------|-----------|
negativo positivo negativo positivo
Conclusione finale:
\[ f(x) > 0 \quad \text{per} \quad 0 < x < \frac{9 - \sqrt{57}}{2} \ \vee \ x > \frac{9 + \sqrt{57}}{2} \]
\[ f(x) < 0 \quad \text{negli altri intervalli} \]
Per le funzioni polinomiali il comportamento all'infinito è determinato dal termine di grado massimo:
\[ f(x) = \underbrace{2x^3}_{\text{termine dominante}} - 18x^2 + 12x \]
Risultati:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \\ \lim_{x \to -\infty} f(x)= -\infty \end{aligned} } \]
Nessun asintoto
\( f'(x) = 6x^2 - 36x + 12 \)
Positiva per: \[ x < 3 - \sqrt{7} \ \vee \ x > 3 + \sqrt{7} \]
Funzione crescente
Negativa per: \[ 3 - \sqrt{7} < x < 3 + \sqrt{7} \]
Funzione decrescente
Massimo: \( x = 3 - \sqrt{7} \approx 0.35 \)
Minimo: \( x = 3 + \sqrt{7} \approx 5.65 \)
\( f''(x) = 12x - 36 \)
Positiva per: \(x > 3 \). Concavità verso l'alto
Negativa per: \(x < 3 \). Concavità verso il basso
Flesso a \( x = 3 \) (y = -72)
\( \mathbb{R} \) (tutti i numeri reali)
\( f(-x) = -x^3 - 3x^2 - 3x \)
Né pari né dispari
Asse y (x=0): \( (0, 0) \)
Asse x (y=0):
\( x^3 - 3x^2 + 3x = 0 \)
\( x(x^2 - 3x + 3) = 0 \)
Unica intersezione: \( (0, 0) \) (l'equazione \( x^2 - 3x + 3 = 0 \) non ha soluzioni reali)
\( f(x) = x(x^2 - 3x + 3) \)
Il termine \( x^2 - 3x + 3 \) è sempre positivo (Δ = -3 < 0)
Quindi il segno dipende solo da \( x \):
Comportamento all'infinito:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \]
Nessun asintoto (funzione polinomiale)
\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2 \)
La derivata è sempre ≥ 0 (si annulla solo in x=1)
La funzione è sempre crescente
Punto stazionario in \( x=1 \) (flesso a tangente orizzontale)
\( f''(x) = 6x - 6 \)
Concavità:
Punto di flesso in \( x=1 \) (\( y=1 \))
\( \mathbb{R} \) (tutti i numeri reali)
\( f(-x) = 3(-x)^4 - 3(-x)^2 = 3x^4 - 3x^2 = f(x) \)
Funzione PARI (simmetrica rispetto all'asse y)
Asse y (x=0): \( (0, 0) \)
Asse x (y=0):
\( 3x^4 - 3x^2 = 0 \)
\( 3x^2(x^2 - 1) = 0 \) → \( x^2 = 0 \) o \( x^2 = 1 \)
Intersezioni: \( (0, 0) \), \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \)
\( f(x) = 3x^2(x^2 - 1) \)
Analisi dei segni:
| Intervallo | Segno |
|---|---|
| \( x < -1 \) | + |
| \( -1 < x < 0 \) | - |
| \( 0 < x < 1 \) | - |
| \( x > 1 \) | + |
La funzione è positiva per \( x < -1 \) o \( x > 1 \), negativa altrove (esclusi i punti di intersezione)
Comportamento all'infinito:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \]
(Il termine dominante \( 3x^4 \) tende a +∞ per \( x \to \pm\infty \))
Nessun asintoto (funzione polinomiale)
\( f'(x) = 12x^3 - 6x = 6x(2x^2 - 1) \)
Punti critici:
Analisi della crescenza:
Minimo relativo in \( x = -\sqrt{\frac{1}{2}} \)
Minimo relativo in \( x = \sqrt{\frac{1}{2}} \)
Massimo relativo in \( x = 0 \)
\( f''(x) = 36x^2 - 6 \)
Punti di flesso:
\( 36x^2 - 6 = 0 \) → \( x = \pm\sqrt{\frac{1}{6}} \approx \pm0.408 \)
Concavità:
ℝ (tutti i numeri reali)
f(-x) = (-x)4 - 4(-x)3 + 3(-x)2 = x4 + 4x3 + 3x2
f(-x) ≠ f(x) e f(-x) ≠ -f(x)
Né pari né dispari
Asse y (x=0): (0, 0)
Asse x (y=0):
x4 - 4x3 + 3x2 = 0
x2(x2 - 4x + 3) = 0 → x2 = 0 (doppia) o x2 - 4x + 3 = 0
Soluzioni: x = 0 (doppia), x = 1, x = 3
Intersezioni: (0, 0), (1, 0), (3, 0)
f(x) = x2(x-1)(x-3)
| Intervallo | x² | (x-1) | (x-3) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| x < 0 | + | - | - | + |
| 0 < x < 1 | + | - | - | + |
| 1 < x < 3 | + | + | - | - |
| x > 3 | + | + | + | + |
La funzione è positiva per x ∈ (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (3, +∞) e negativa per x ∈ (1, 3)
Comportamento all'infinito:
limx→+∞ f(x) = +∞
limx→-∞ f(x) = +∞
(Il termine dominante x4 tende a +∞ per x → ±∞)
Nessun asintoto (funzione polinomiale)
f'(x) = 4x3 - 12x2 + 6x = 2x(2x2 - 6x + 3)
Punti critici:
Analisi della crescenza:
Massimo relativo in x ≈ 0.634
Minimo relativo in x ≈ 2.366
Punto stazionario in x = 0 (flesso a tangente orizzontale)
f''(x) = 12x2 - 24x + 6
Punti di flesso:
12x2 - 24x + 6 = 0 → x = (2 ± √2)/2 ≈ 0.293 e 1.707
Concavità: