Test sul calcolo delle derivate

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Domanda 1

Calcola la derivata di: \( f(x)=\frac{1}{4}(x^2+x)^4 \)

A) \( (x^2+x)^3 \) B) \( (x^2+x)^3(2x+1) \) C) \( \frac{1}{16}(x^2+x)^3(8x+4) \) D) \( 4(x^2+x)^3(2x+1) \)

Risposta corretta: B
1. Regola della catena: \( \frac{1}{4} \cdot 4(x^2+x)^3 \cdot (2x+1) \)
2. Semplificazione: \( (x^2+x)^3(2x+1) \)

Domanda 2

Calcola la derivata di: \( f(x)=3x^4+\sqrt{x}-e^{x^2} \)

A) \( 12x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}} - e^{x^2} \) B) \( 12x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}} - 2x e^{x^2} \) C) \( 12x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x e^{x^2} \) D) \( 12x^3 + \sqrt{x} - 2x e^{x^2} \)

Risposta corretta: C
1. \( \frac{d}{dx}3x^4 = 12x^3 \)
2. \( \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
3. \( \frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2} \cdot 2x \)
4. Combinazione: \( 12x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2x e^{x^2} \)

Domanda 3

Calcola la derivata di: \( f(x)=\frac{1}{x} \cdot \sin(2x) \)

A) \( -\frac{\sin(2x)}{x^2} + \frac{2\cos(2x)}{x} \) B) \( \frac{\cos(2x)}{x} \) C) \( -\frac{\sin(2x)}{x} \) D) \( \frac{2\cos(2x)}{x^2} \)

Risposta corretta: A
1. Regola del prodotto: \( u'v + uv' \)
2. \( u = \frac{1}{x} \Rightarrow u' = -\frac{1}{x^2} \)
3. \( v = \sin(2x) \Rightarrow v' = 2\cos(2x) \)
4. Combinazione: \( -\frac{\sin(2x)}{x^2} + \frac{2\cos(2x)}{x} \)

Domanda 4

Calcola la derivata di: \( f(x)=x \cdot \cos(x) - \tan(x) \)

A) \( \cos(x) - \sec^2(x) \) B) \( -\sin(x) - \sec^2(x) \) C) \( \cos(x) + x\sin(x) - \sec^2(x) \) D) \( \cos(x) - x\sin(x) - \sec^2(x) \)

Risposta corretta: D
1. Derivata di \( x\cos(x) \):
- Regola del prodotto: \( 1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x) \)
2. Derivata di \( \tan(x) \): \( \sec^2(x) \)
3. Risultato finale: \( \cos(x) - x\sin(x) - \sec^2(x) \)

Domanda 5

Calcola la derivata di: \( f(x)=\arcsin(x)+2\arccos(x) \)

A) \( \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \) B) \( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) C) \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) D) \( 0 \)

Risposta corretta: B
1. \( \frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
2. \( \frac{d}{dx}2\arccos(x) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \)
3. Somma: \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

Domanda 6

Calcola la derivata di: \( f(x)=x^{x^2} \)

A) \( x^{x^2}(2x) \) B) \( x^{x^2+1}(2\ln x) \) C) \( x^{x^2}(2x\ln x + x) \) D) \( 2x^{x^2}\ln x \)

Risposta corretta: C
1. Sia \( y = x^{x^2} \), prendi il logaritmo: \( \ln y = x^2 \ln x \)
2. Deriva: \( \frac{y'}{y} = 2x\ln x + x \)
3. Risolvi per \( y' \): \( y' = x^{x^2}(2x\ln x + x) \)

Domanda 7

Calcola la derivata di: \( f(x)=\frac{2^x}{x} + \log_2(2x) \)

A) \( \frac{2^x\left(x\ ln(2) -1\right)}{x^2}+\frac{1}{x\ln(2)} \) B) \( \frac{2^x \ln 2}{x} + \frac{1}{x} \) C) \( \frac{2^x}{x^2} + \frac{1}{x} \) D) \( \frac{2^x \ln 2}{x^2} + \frac{1}{\ln 2} \)

Risposta corretta: A
1. Primo termine (regola del quoziente):
\( \frac{\left(2^xln\left(2\right)\right)x-2^x}{x^2}\ = \frac{2^x\left(x\ ln\left(2\right)-1\right)}{x^2} \)
2. Secondo termine: \( \frac{1}{2x \ln(2)} 2 =\frac{1}{x \ln(2)} \)
3. Combinazione finale: \(\frac{2^x\left(x\ ln(2)-1\right)}{x^2}+ \frac{1}{x \ln 2} \)

Domanda 8

Calcola la derivata di: \( f(x)=\sqrt[3]{x^2} + \arctan(2x) \)

A) \( \frac{2}{3x} + \frac{1}{1+4x^2} \) B) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{1+2x^2} \) C) \( \frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{1}{1+4x^2} \) D) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} + \frac{2}{1+4x^2} \)

Risposta corretta: D
1. \( \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x^2} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \)
2. \( \frac{d}{dx}\arctan(2x) = \frac{2}{1+(2x)^2} = \frac{2}{1+4x^2} \)

Domanda 9

Calcola la derivata di: \( f(x)=\frac{2x^3+5x}{2x+1} \)

A) \( \frac{12x^2+5}{2} \) B) \( \frac{8x^3+6x^2+5}{(2x+1)^2} \) C) \( \frac{6x^2+5}{2x+1} \) D) \( \frac{4x^3+2x^2+5}{(2x+1)^2} \)

Risposta corretta: B
1. Regola del quoziente: \( \frac{(6x^2+5)(2x+1) - (2x^3+5x)(2)}{(2x+1)^2} \)
2. Sviluppo numeratore:
\( 12x^3+6x^2+10x+5 -4x^3-10x = 8x^3+6x^2+5 \)

Domanda 10

Calcola la derivata di: \( f(x)=\sin^2(6x) + \cos(3x) \)

A) \( 12\sin(6x) - 3\sin(3x) \) B) \( 6\sin(12x) + 3\sin(3x) \) C) \( 12\sin(6x)\cos(6x) - 3\sin(3x) \) D) \( 2\sin(6x)\cos(6x) - 3\sin(3x) \)

Risposta corretta: C
1. \( \frac{d}{dx}\sin^2(6x) \):
- Regola della catena: \( 2\sin(6x) \cdot 6\cos(6x) = 12\sin(6x)\cos(6x) \)
2. \( \frac{d}{dx}\cos(3x) = -3\sin(3x) \)
3. Combinazione: \( 12\sin(6x)\cos(6x) - 3\sin(3x) \)