Risposta corretta: B) Flesso a tangente orizzontale

La funzione è \(f(x) = x^4 - 4x^3\). Derivata prima: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)\).

In \(x=0\), \(f'(0)=0\). Analizzando il segno della derivata prima, \(f'(x)\) è negativa sia a destra che a sinistra di \(x=0\) (poiché \(4x^2 \ge 0\)), tranne in \(x=3\) dove cambia segno. Pertanto, \(x=0\) è un **flesso a tangente orizzontale** (discendente).

Grafico qualitativo della funzione \(f(x) = x^4 - 4x^3\):

Risposta corretta: A) \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{3}\)

La derivata prima è: \[f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot (2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\]

La derivata seconda è: \[f''(x) = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\]

Ponendo \(f''(x) = 0\), si ottiene \(2x(x^2-3) = 0\). Le soluzioni sono \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{3}\), e \(x_3 = \sqrt{3}\). La concavità cambia segno in tutti e tre i punti, quindi l'opzione A , che contiene tutti e tre i flessi, è quella corretta.

Grafico qualitativo della funzione:

Risposta corretta: C) Estremo destro \(x=e^2\)

La funzione è \(f(x) = x - 2 \ln(x)\). **La derivata prima è:** \[f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{x-2}{x}\]

Il punto stazionario si ottiene ponendo \(f'(x)=0\), ovvero \(x=2\). Confrontiamo i valori della funzione nell'estremo sinistro \(x=1\), nell'estremo destro \(x=e^2\) e nel punto stazionario \(x=2\) (Teorema di Weierstrass):

• \(f(1) = 1 - 2 \ln(1) = 1\)
• \(f(2) = 2 - 2 \ln(2) \approx 0.614\)
• \(f(e^2) = e^2 - 2 \ln(e^2) = e^2 - 4 \approx 3.389\)

Il valore massimo è \(3.389\), raggiunto nell'estremo destro \(x=e^2\).

Grafico qualitativo della funzione \(f(x) = x - 2 \ln(x)\):

Risposta corretta: B) Nel punto stazionario \(x=0\)

La derivata prima è \(f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\). Il punto stazionario è \(x=0\), dove \(f(0)=2\). Negli estremi \(f(\pm 2) = 0\). Il valore massimo è \(2\), raggiunto in \(x=0\).

Grafico qualitativo della funzione \(f(x) = \sqrt{4-x^2}\):

Risposta corretta: B) Solo \(x=\pm 1\)

La funzione \(f(x) = |x^2-1|\) raggiunge il valore minimo assoluto \(y=0\) nei punti **\(x=-1\)** e **\(x=1\)**. In questi punti la funzione non è derivabile (sono punti angolosi), ma sono chiaramente **minimi locali**.

Negli estremi dell'intervallo \([-2, 2]\), la funzione vale \(f(\pm 2) = 3\).

Grafico qualitativo della funzione:

Risposta corretta: A) Esistono sia il massimo assoluto che il minimo assoluto

Il Teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza degli estremi assoluti (massimo e minimo) per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.

Risposta corretta: C) \(x = -1/2\)

Il punto di flesso si trova dove la derivata seconda si annulla e cambia segno. Il dominio della funzione è \(x \neq 1\).

1. **Derivata prima:** Posto \(g(x) = \frac{x+2}{x-1}\), abbiamo \(g'(x) = \frac{1(x-1) - (x+2)1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}\). La derivata prima è: \[f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x) = e^{\frac{x+2}{x-1}} \cdot \frac{-3}{(x-1)^2}\]

2. **Derivata seconda:** La derivata seconda, calcolata con la regola del prodotto, risulta: \[f''(x) = e^{\frac{x+2}{x-1}} \frac{3(2x + 1)}{(x-1)^4}\]

3. **Punto di flesso:** L'annullamento di \(f''(x)\) dipende solo dal numeratore, poiché \(e^{...} > 0\) e \((x-1)^4 > 0\). \[f''(x) = 0 \implies 3(2x + 1) = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2\]

4. **Studio del segno:** Il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno di \((2x + 1)\).

• Per \(x < -1/2\), \(f''(x) < 0\) (Concavità verso il basso).
• Per \(x > -1/2\) (e \(x \neq 1\)), \(f''(x) > 0\) (Concavità verso l'alto).

Poiché la concavità cambia segno, \(x = -1/2\) è un punto di flesso.

Grafico qualitativo della funzione:

Risposta corretta: B) È un punto di minimo assoluto, anche se la funzione non è derivabile in questo punto.

1. **Verifica della non derivabilità in \(x=0\):**

Riscriviamo la funzione e calcoliamo la derivata prima per \(x \neq 0\): \[f(x) = x^{2/3} \implies f'(x) = \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3x^{1/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\]

Per verificare la derivabilità in \(x=0\), calcoliamo i limiti laterali della derivata prima:

• Limite destro: \(\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^+} = +\infty\)
• Limite sinistro: \(\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{0^-} = -\infty\)

Poiché i limiti laterali sono **infiniti e diversi** (\(+\infty \neq -\infty\)), la funzione **non è derivabile** in \(x=0\). Questo punto è una **cuspide**.

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2. **Analisi del punto di minimo:**

Analizziamo la funzione \(f(x) = \sqrt[3]{x^2}\):

Poiché un numero elevato al quadrato è sempre non negativo, e la radice cubica mantiene il segno, si ha che \(f(x) \ge 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).

Il valore minimo che la funzione può assumere è: \[f(0) = \sqrt[3]{0^2} = 0\]

Dato che \(f(x) \ge f(0)\) per ogni \(x\), il punto \(x=0\) è un **minimo assoluto** (e quindi anche locale). Il fatto che la funzione non sia derivabile in quel punto (è un punto di cuspide) non impedisce che sia un estremo.

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Perché le altre risposte sono errate:

• **A) È un punto di flesso:** Errato. Un punto di flesso è dove la concavità cambia. In \(x=0\) la funzione ha concavità rivolta verso il basso (concava).
• **C) Non può essere un punto di minimo o di massimo perché la funzione non è derivabile:** Errato. Il Teorema di Fermat afferma che gli estremi locali si trovano dove \(f'(x)=0\) OPPURE dove \(f'(x)\) non esiste (punti di non derivabilità) OPPURE agli estremi del dominio.
• **D) È un punto di minimo relativo ma non assoluto:** Errato. Essendo \(f(0)=0\) il valore più piccolo che la funzione può assumere su tutto \(\mathbb{R}\), è per definizione un minimo assoluto.

Grafico qualitativo della funzione:

Risposta corretta: A) \(x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}\)

1. **Calcolo della derivata prima:** La funzione è definita per \(x > 0\). La derivata è: \[f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x (2 \ln(x) + 1)\]

2. **Punto stazionario:** Ponendo \(f'(x) = 0\), e sapendo che \(x \neq 0\) nel dominio, otteniamo: \[2 \ln(x) + 1 = 0 \implies \ln(x) = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2}\]

3. **Studio del segno della derivata prima (\(f'(x) > 0\)):**

Poiché il fattore \(x\) è sempre positivo per \(x>0\), studiamo solo il segno di \(2 \ln(x) + 1\): \[2 \ln(x) + 1 > 0 \implies \ln(x) > -\frac{1}{2} \implies x > e^{-1/2}\]

Riassumendo l'andamento del segno:

• Per \(0 < x < e^{-1/2}\), \(f'(x) < 0\) (la funzione **decresce**).
• Per \(x > e^{-1/2}\), \(f'(x) > 0\) (la funzione **cresce**).

Dato che la funzione passa da decrescente a crescente in \(x = e^{-1/2}\), questo punto è un **minimo locale**.

Grafico qualitativo della funzione:

Risposta corretta: A) Flesso a tangente orizzontale

Il punto \(x=0\) è un punto stazionario, poiché la derivata prima è \(f'(x) = 1 - \cos(x)\) e \(f'(0) = 1 - 1 = 0\).

### Metodo 1: Test della Derivata Seconda e Ordini Superiori

Derivata seconda: \[f''(x) = \sin(x)\] Per \(x=0\): \(f''(0) = \sin(0) = 0\). (Test non conclusivo)

3. Derivata terza: \[f'''(x) = \cos(x)\] Per \(x=0\): \(f'''(0) = \cos(0) = 1\).

Quindi in \(x=0\) risulta: \[f'(0) = 0, \quad f''(0) = 0, \quad f'''(0) = 1\] Poiché la prima derivata che non si annulla è di ordine dispari (terza derivata), \(x=0\) è un **Flesso a tangente orizzontale**.

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### Metodo 2: Studio del Segno della Derivata Prima (Alternativo)

Studiamo il segno della derivata prima: \[f'(x) = 1 - \cos(x)\] Poiché il coseno assume valori \( \cos(x) \le 1 \), la quantità \( 1 - \cos(x) \) è sempre **maggiore o uguale a zero** per ogni \(x\): \[f'(x) = 1 - \cos(x) \ge 0 \quad \text{per ogni } x\]

Questo significa che la funzione \(f(x)\) è sempre **crescente** ed ha tangente orizzontale nei punti dove \(\cos(x)=1\), come \(x=0, \pm 2\pi, \ldots\)).

Poiché la derivata prima non cambia segno attorno a \(x=0\) (è positiva sia a sinistra che a destra di \(x=0\)), il punto non può essere né un massimo né un minimo, ma è un **Flesso a tangente orizzontale**.

Grafico qualitativo della funzione: