Volumi solidi per sezioni

Spiegazione Teorica

Volume di un solido con sezioni perpendicolari all'asse x o y

Quando si desidera calcolare il volume di un solido che ha per base una regione \( R \) del piano cartesiano e sezioni trasversali perpendicolari all'asse \( x \) o \( y \), si può utilizzare il metodo delle sezioni trasversali.

Metodo delle Sezioni Trasversali

Questo metodo è utile quando le sezioni trasversali del solido sono tutte simili e la loro area può essere espressa come una funzione della variabile di integrazione, che può essere \( x \) o \( y \), a seconda dell'orientamento delle sezioni.

Sezioni Perpendicolari all'Asse \( x \)

Supponiamo che la regione \( R \) sia delimitata dalle curve \( y = f(x) \) e \( y = g(x) \) sull'intervallo \( [a, b] \):

Ogni sezione trasversale perpendicolare all'asse \( x \) ha un'area \( A(x) \) che varia in funzione di \( x \).
Il volume \( V \) del solido è dato dall'integrale dell'area delle sezioni trasversali lungo l'intervallo \( [a, b] \):

\[ V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx \]

Sezioni Perpendicolari all'Asse \( y \)

Supponiamo che la regione \( R \) sia delimitata dalle curve \( x = h(y) \) e \( x = k(y) \) sull'intervallo \( [c, d] \):

Ogni sezione trasversale perpendicolare all'asse \( y \) ha un'area \( A(y) \) che varia in funzione di \( y \).
Il volume \( V \) del solido è dato dall'integrale dell'area delle sezioni trasversali lungo l'intervallo \( [c, d] \):

\[ V = \int_{c}^{d} A(y) \, dy \]

Esempio 1: Sezioni perpendicolari all'asse x

Consideriamo un solido con base \( R \) delimitata da \( y = \sqrt{x} \), l'asse x e la retta \( x = 4 \). Ogni sezione trasversale è un quadrato con lato \( \sqrt{x} \).

L'area della sezione trasversale è:

\[ A(x) = (\sqrt{x})^2 = x \]

Il volume del solido è:

\[ V = \int_{0}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{2} = 8 \]

Esempio 2: Sezioni perpendicolari all'asse y

Consideriamo un solido con base \( R \) delimitata da \( y = x^2 \) e la retta \( y = 4 \). Ogni sezione trasversale è un semicerchio con diametro \( AB \), dove \( A \) e \( B \) sono le intersezioni con la parabola.

Per un dato valore di \( y \), il piano perpendicolare all'asse \( y \) interseca la parabola \( y = x^2 \) nei punti \( A = (-\sqrt{y}, y) \) e \( B = (\sqrt{y}, y) \). La distanza tra questi due punti, che rappresenta il diametro del semicerchio, è:

\[ AB = 2\sqrt{y} \]

Pertanto, il raggio del semicerchio è la metà del diametro:

\[ \text{Raggio} = \frac{AB}{2} = \sqrt{y} \]

L'area della sezione trasversale è:

\[ A(y) = \frac{1}{2} \pi (\sqrt{y})^2 = \frac{1}{2} \pi y \]

Il volume del solido è:

\[ V = \int_{0}^{4} \frac{1}{2} \pi y \, dy = \frac{1}{2} \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \pi \cdot 8 = 4\pi \]

Esempio 3: Sezioni Perpendicolari all'Asse \( x \)

Consideriamo la regione compresa tra \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \), \( g(x) = x^2 - x \) e l'asse delle \( y \). Ogni sezione trasversale è un triangolo equilatero.

La regione \( R \) è delimitata da:

\( f(x) = x^2 - 3x + 2 \) e \( g(x) = x^2 - x \) tra \( x = 0 \) e \( x = 1 \).
L'asse delle \( y \) rappresenta il confine sinistro della regione.

Ogni sezione trasversale perpendicolare all'asse \( x \) è un triangolo equilatero. Indichiamo con \( A \) l'intersezione della sezione con \( f(x) \) e con \( B \) l'intersezione della sezione con \( g(x) \).

Il lato \( AB \) del triangolo equilatero è dato dalla differenza tra \( f(x) \) e \( g(x) \):

\[ AB = f(x) - g(x) = 2 - 2x \]

L'area di un triangolo equilatero di lato \( l \) è data dalla formula:

\[ A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \]

Quindi, l'area \( A(x) \) del triangolo equilatero è:

\[ A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (2 - 2x)^2 = \sqrt{3} (1 - x)^2 \]

Il volume \( V \) del solido è dato dall'integrale dell'area delle sezioni trasversali lungo l'intervallo \([0, 1]\):

\[ V = \int_{0}^{1} A(x) \, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{3} (1 - x)^2 \, dx \]

Sviluppiamo i calcoli dell'integrale:

\[ V = \sqrt{3} \int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2) \, dx \]

Determiniamo la primitiva di \( 1 - 2x + x^2 \):

\[ \int (1 - 2x + x^2) \, dx = x - x^2 + \frac{x^3}{3} \]

Valutiamo la primitiva agli estremi \( x = 1 \) e \( x = 0 \):

\[ \left( x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right) \Bigg|_{0}^{1} = \left( 1 - 1 + \frac{1}{3} \right) - (0) = \frac{1}{3} \]

Quindi, il valore dell'integrale è:

\[ \int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2) \, dx = \frac{1}{3} \]

E il volume del solido è: