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Quesito 1
Un solido ha per base la regione \( S \) del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione \( f(x) = x^2 + 2 \) e l’asse delle \( x \) nell’intervallo \([0; 2]\).
Per ogni punto \( P \) di \( S \), di ascissa \( x \), l’intersezione del solido col piano passante per \( P \) e ortogonale all’asse delle \( x \) è un rettangolo di altezza \( x + 1 \).
Calcolare il volume del solido.
Quesito uno. ... Un solido ha per base la regione Esse del piano cartesiano...
compresa tra il grafico della funzione effe di iics... uguale a... iics alla seconda, più due...
e l'asse delle iics... nell'intervallo da zero a due.
Per ogni punto Pi di Esse, di ascissa iics... l'intersezione del solido col piano passante per Pi e ortogonale all'asse delle iics... è un rettangolo di altezza iics più uno.
Calcolare il volume del solido.
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della sezione:
La base del rettangolo è l'ordinata della funzione: \( f(x) = x^2 + 2 \).
L'altezza è data dal testo: \( h = x + 1 \).
2. Calcolo dell'area della sezione generica \( A(x) \):
Un solido ha per base la regione \( R \) del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) e l’asse delle \( x \) nell’intervallo \([0, 3]\).
Le sue sezioni ottenute su piani perpendicolari all’asse \( x \) sono tutti triangoli isosceli di altezza \( kx \), con \( k \in \mathbb{R} \).
Determinare \( k \) in modo che il volume del solido sia pari a 2.
Quesito 2. Un solido ha per base la regione Erre del piano cartesiano, compresa tra il grafico della funzione effe di ics, uguale a: uno, fratto, uno più ics alla seconda; e l'asse delle ics, nell'intervallo da zero a tre.
Le sue sezioni, ottenute su piani perpendicolari all'asse ics, sono tutti triangoli isosceli di altezza kappa ics, con kappa appartenente all'insieme dei numeri reali.
Determinare kappa, in modo che il volume del solido sia pari a due.
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Definizione dell'Area della Sezione:
La sezione è un triangolo con base \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) e altezza \( h = kx \).
L'area è: \( A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza} \)
Imponiamo \( V = 2 \):
\[ \frac{k \ln(10)}{4} = 2 \implies k = \frac{8}{\ln(10)} \]
Risposta Corretta: b)
Quesito 3
La base di un solido, nel piano \( Oxy \), è il cerchio avente come centro l'origine e raggio 3.
Le sezioni del solido perpendicolari all'asse delle \( x \) sono quadrati. Calcolare il volume del solido.
Quesito 3. La base di un solido, nel piano iics ipsilon, è il cerchio avente come centro l'origine e raggio 3.
Le sezioni del solido, perpendicolari all'asse delle ics, sono quadrati. Calcolare il volume del solido.
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della Base:
L'equazione della circonferenza con centro \( (0,0) \) e raggio 3 è: \( x^2 + y^2 = 9 \).
Per ogni valore di \( x \), l'ordinata è \( y = \sqrt{9 - x^2} \).
2. Definizione della Sezione (Quadrato):
Il lato del quadrato \( L \) è la corda verticale, quindi: \( L = 2y = 2\sqrt{9 - x^2} \).
L'area della sezione è:
\[ A(x) = L^2 = (2\sqrt{9 - x^2})^2 = 4(9 - x^2) \]
3. Calcolo del Volume:
Integriamo l'area tra gli estremi del raggio \( [-3, 3] \):
\[ V = \int_{-3}^{3} 4(9 - x^2) \, dx \]
Calcoliamo la primitiva:
\[ V = 4 \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \]
Un solido \( S \) ha per base la regione \( R \) delimitata dal grafico di \( f(x) = e^{(1/x)} \) e dall’asse \( x \) sull’intervallo \([-2, -1]\).
In ogni punto di \( R \) di ascissa \( x \), l’altezza del solido è data da \( h(x) = \frac{1}{x^2} \). Si calcoli il volume del solido.
Quesito 4. Un solido Esse ha per base la regione Erre, delimitata dal grafico di effe di ics, uguale ad: e, elevato alla, uno fratto ics; e dall'asse ics, sull'intervallo da meno due a meno uno.
In ogni punto di Erre di ascissa ics, l'altezza del solido è data da: acca di ics, uguale a: uno, fratto, ics alla seconda.
Si calcoli il volume del solido.
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della sezione:
Il solido è composto da rettangoli.
La base è data dall'ordinata della funzione: \( f(x) = e^{1/x} \).
L'altezza è fornita dal testo: \( h(x) = \frac{1}{x^2} \).
L'area della sezione generica \( A(x) \) è il prodotto base × altezza:
\[ A(x) = e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \]
2. Impostazione dell'integrale:
\[ V = \int_{-2}^{-1} e^{1/x} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx \]
Suggerimento per l'integrazione:
Ricorda che la derivata di \( \frac{1}{x} \) è \( -\frac{1}{x^2} \).
Aggiungiamo un segno meno fuori e dentro l'integrale per avere la forma \( \int e^u du \).
La regione \( R \) del I quadrante delimitata dall’iperbole di equazione \( 9x^2 - 4y^2 = 36 \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 2 \leq x \leq 4 \) è la base di un solido \( S \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte esagoni regolari. Quanto vale il volume di \( S \)?
Quesito 5. La regione Erre, del primo quadrante, delimitata dall'iperbole di equazione: nove, ics alla seconda, meno quattro, ipsilon alla seconda, uguale a trentasei; e dall'asse ics, nell'intervallo con ics compresa tra due e quattro; è la base di un solido Esse. Le sue sezioni, ottenute con piani perpendicolari all'asse ics, sono tutte esagoni regolari. Quanto vale il volume di Esse?
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Studio della funzione di base:
L'iperbole è \( 9x^2 - 4y^2 = 36 \). Dividendo per 36: \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \).
Ricaviamo il valore dell'ordinata al quadrato: \( y^2 = \frac{9}{4}x^2 - 9 \).
2. Geometria dell'esagono regolare:
L'area di un esagono regolare di lato \( L \) è: \( A = \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \).
Nel nostro solido, il lato dell'esagono è proprio l'ordinata \( y \).
3. Definizione dell'area della sezione \( A(x) \):
Si consideri la regione \( \Sigma \) delimitata dal grafico della funzione \( f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \) e dagli assi cartesiani sull’intervallo chiuso \([0, 1]\).
Tale regione è la base di un solido \( \Omega \) le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte quadrati. Quanto vale il volume di \( \Omega \)?
Quesito 6. Si consideri la regione Sigma, delimitata dal grafico della funzione effe di ics, uguale alla: radice quadrata di; uno meno ics, fratto, uno più ics; e dagli assi cartesiani sull'intervallo chiuso da zero a uno.
Tale regione è la base di un solido Omega, le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all'asse ics, sono tutte quadrati. Quanto vale il volume di Omega?
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Determinazione dell'Area della Sezione:
Le sezioni sono quadrati. Il lato del quadrato è l'ordinata della funzione: \( L(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \).
L'area è il lato al quadrato:
\[ A(x) = \left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)^2 = \frac{1-x}{1+x} \]
2. Impostazione dell'integrale del volume:
\[ V = \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \, dx \]
Strategia di calcolo:
Per integrare una funzione razionale con gradi uguali, semplifichiamo la frazione:
\[ \frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x+1)+2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x} \]
La superficie piana \( S \), delimitata dalla curva \( \gamma \) di equazione \( y = \ln x \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 1 \leq x \leq e \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte rettangoli aventi l’altezza quadrupla della base. Qual è il volume di \( \Sigma \)?
Quesito 7. La superficie piana Esse, delimitata dalla curva gamma di equazione ipsilon uguale a logaritmo naturale di ics, e dall'asse ics, nell'intervallo con ics compresa tra uno ed e; è la base di un solido Sigma. Le sue sezioni, ottenute con piani perpendicolari all'asse ics, sono tutte rettangoli aventi l'altezza quadrupla della base. Qual è il volume di Sigma?
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della sezione rettangolare:
La base del rettangolo è l'ordinata della funzione: \( b = \ln x \).
L'altezza è il quadruplo della base: \( h = 4 \ln x \).
L'area della sezione è: \( A(x) = b \cdot h = 4 \ln^2 x \).
2. Impostazione dell'integrale:
\[ V = \int_{1}^{e} 4 \ln^2 x \, dx = 4 \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx \]
Ricorda: Per integrare \( \ln^2 x \) si usa il metodo per parti due volte.
La primitiva è:
\[ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x \]
3. Applicazione del teorema fondamentale del calcolo:
\[ V = 4 \left[ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x \right]_{1}^{e} \]
La superficie \( S \), delimitata dalla curva di equazione \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), dall’asse \( x \) e dalla retta \( x = 1 \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( y \), sono tutte triangoli equilateri. Qual è il volume di \( \Sigma \)?
Quesito otto. ... La superficie Esse, delimitata dalla curva di equazione effe di iics, uguale a: logaritmo naturale di... iics alla seconda più uno; dall'asse iics e dalla retta iics uguale a uno... è la base di un solido Sigma.
Attenzione: le sezioni del solido, ottenute con piani perpendicolari all'asse ipsilon... sono tutte triangoli equilateri. Qual è il volume di Sigma?
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Inversione della funzione:
Poiché le sezioni sono perpendicolari all'asse \( y \), dobbiamo esprimere \( x \) in funzione di \( y \) per trovare l'estensione orizzontale della base:
\( y = \ln(x^2 + 1) \implies e^y = x^2 + 1 \implies x = \sqrt{e^y - 1} \).
2. Determinazione del lato del triangolo:
Il lato \( L(y) \) rappresenta la larghezza della base alla quota \( y \), ovvero la distanza tra la retta \( x = 1 \) (limite destro) e la curva \( x = \sqrt{e^y - 1} \) (limite sinistro):
\[ L(y) = 1 - \sqrt{e^y - 1} \]
Quesito 9. La superficie piana Esse, delimitata dalla curva di equazione ipsilon uguale a: uno più tangente di ics; e dall'asse ics, nell'intervallo compreso tra zero e pi greco quarti; è la base di un solido Esse.
Le sezioni ottenute con piani perpendicolari all'asse ics, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume del solido.
La superficie piana \( S \), delimitata dalla curva \( \gamma \) di equazione \( y = 1 + \tan(x) \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di \( \Sigma \).
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della sezione:
Il solido ha sezioni a forma di triangolo equilatero.
Il lato del triangolo è l'ordinata della funzione: \( L(x) = 1 + \tan x \).
L'area di un triangolo equilatero è: \( A = \frac{\sqrt{3}}{4} L^2 \).
Suggerimento Strategico:
Riorganizziamo i termini per facilitare l'integrazione:
\( (1 + \tan^2 x) \) è la derivata di \( \tan x \).
\( \tan x \) si integra come \( -\ln|\cos x| \).
3. Calcolo dell'integrale del volume:
\[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\pi/4} [ (1 + \tan^2 x) + 2\tan x ] \, dx \]
Calcoliamo la primitiva:
\[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \tan x - 2\ln(\cos x) \right]_{0}^{\pi/4} \]
Quesito 10. Si consideri la regione Erre, compresa fra i grafici delle funzioni: effe di ics, uguale ad: e, elevato alla ics; e gi di ics, uguale ad: e, elevato alla meno ics; e la retta ipsilon uguale ad e.
Sia Esse il solido di base Erre, ottenuto con piani perpendicolari all'asse ics, in modo che le sezioni siano rettangoli la cui altezza è il triplo della base. Quanto vale il volume di Esse?
Si consideri la regione \( R \) compresa fra i grafici delle funzioni \( f(x) = e^x \) e \( g(x) = e^{-x} \) e la retta \( y = e \).
Sia \( S \) il solido di base \( R \) ottenuto con piani perpendicolari all’asse \( x \) in modo che le sezioni siano rettangoli la cui altezza è il triplo della base. Quanto vale il volume di \( S \)?
Svolgimento Passo dopo Passo
1. Analisi della Regione (Sfruttiamo la Simmetria):
La regione \( R \) è simmetrica rispetto all'asse \( y \). Studiamo la parte destra (\( x > 0 \)).
La base del rettangolo è la distanza tra la retta \( y=e \) e la curva \( y=e^x \): \( b = e - e^x \).
L'altezza è il triplo: \( h = 3(e - e^x) \).
