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Quesito 1
Un solido ha per base la regione \( S \) del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione \( f(x) = x^2 + 2 \) e l’asse delle \( x \) nell’intervallo \([0; 2]\).
Per ogni punto \( P \) di \( S \), di ascissa \( x \), l’intersezione del solido col piano passante per \( P \) e ortogonale all’asse delle \( x \) è un rettangolo di altezza \( x + 1 \).
Calcolare il volume del solido.
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: La base del rettangolo (lungo l'asse \( y \)) è data dal valore della funzione \( f(x) = x^2 + 2 \).
L'altezza del rettangolo è fornita dal testo: \( h = x + 1 \).
L'area della sezione generica \( A(x) \) è il prodotto tra base e altezza:
Un solido ha per base la regione \( R \) del piano cartesiano compresa tra il grafico della funzione \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) e l’asse delle \( x \) nell’intervallo \([0, 3]\).
Le sue sezioni ottenute su piani perpendicolari all’asse \( x \) sono tutti triangoli isosceli di altezza \( kx \), con \( k \in \mathbb{R} \).
Determinare \( k \) in modo che il volume del solido sia pari a 2.
Svolgimento Dettagliato
L’area della sezione triangolare è data da \( A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altezza} \). In questo caso la base è l'ordinata della funzione \( f(x) \):
\[ \frac{k \ln(10)}{4} = 2 \implies k = \frac{8}{\ln(10)} \]
Risposta Corretta: b)
Quesito 3
La base di un solido, nel piano Oxy, è il cerchio avente come centro l'origine e raggio 3.
Le sezioni del solido perpendicolari all'asse delle x sono quadrati. Calcolare il volume del solido.
Svolgimento Dettagliato
L'equazione della circonferenza di base è \( x^2 + y^2 = 9 \). Per ogni \( x \), la corda perpendicolare all'asse \( x \) ha lunghezza \( L = 2y = 2\sqrt{9 - x^2} \).
Poiché le sezioni sono quadrati di lato \( L \), l'area della sezione è:
Un solido \( S \) ha per base la regione \( R \) delimitata dal grafico di \( f(x) = e^{(1/x)} \) e dall’asse \( x \) sull’intervallo \([-2, -1]\).
In ogni punto di \( R \) di ascissa \( x \), l’altezza del solido è data da \( h(x) = \frac{1}{x^2} \). Si calcoli il volume del solido.
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: Il solido è composto da rettangoli la cui base è l'ordinata della funzione \( f(x) \) e l'altezza è \( h(x) \).
L'area della sezione generica è quindi \( A(x) = f(x) \cdot h(x) \).
Sostituendo le funzioni fornite:
\[ A(x) = e^{(1/x)} \cdot \frac{1}{x^2} \]
Il volume si ottiene integrando l'area nell'intervallo \([-2, -1]\):
\[ V = \int_{-2}^{-1} e^{(1/x)} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx \]
Notiamo che la derivata di \( \frac{1}{x} \) è \( -\frac{1}{x^2} \). Possiamo quindi riscrivere l'integrale per ricondurlo alla forma immediata \( \int e^{g(x)}g'(x) dx \):
La regione \( R \) del I quadrante delimitata dall’iperbole di equazione \( 9x^2 - 4y^2 = 36 \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 2 \leq x \leq 4 \) è la base di un solido \( S \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte esagoni regolari. Quanto vale il volume di \( S \)?
Svolgimento Dettagliato
Passaggio 1: Equazione dell'iperbole.
Dividendo per 36 otteniamo: \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \).
L'ordinata al quadrato (che rappresenta il lato dell'esagono o parte di esso) è: \( y^2 = \frac{9}{4}x^2 - 9 \).
L'area di un esagono regolare di lato \( L \) è data dalla formula \( A = \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \).
In questo caso, il lato dell'esagono è l'ordinata \( y \) del punto sull'iperbole.
Si consideri la regione \( \Sigma \) delimitata dal grafico della funzione \( f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \) e dagli assi cartesiani sull’intervallo chiuso \([0, 1]\).
Tale regione è la base di un solido \( \Omega \) le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte quadrati. Quanto vale il volume di \( \Omega \)?
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: Il lato del quadrato è pari all'ordinata della funzione: \( L(x) = f(x) = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \).
L'area della sezione trasversale è dunque: \( A(x) = [f(x)]^2 = \frac{1-x}{1+x} \).
Il volume si ottiene integrando l'area tra 0 e 1:
\[ V = \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} \, dx \]
Per risolvere l'integrale, eseguiamo la divisione tra polinomi o utilizziamo il metodo del "aggiungi e togli":
7. La superficie piana \( S \), delimitata dalla curva \( \gamma \) di equazione \( y = \ln x \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 1 \leq x \leq e \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte rettangoli aventi l’altezza quadrupla della base. Qual è il volume di \( \Sigma \)?
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: La base del rettangolo è l'ordinata della funzione \( b = \ln x \).
L'altezza è il quadruplo della base: \( h = 4 \ln x \).
L'area della sezione trasversale è dunque: \( A(x) = b \cdot h = 4 \ln^2 x \).
Il volume si calcola integrando l'area tra 1 ed \( e \):
\[ V = \int_{1}^{e} 4 \ln^2 x \, dx = 4 \int_{1}^{e} \ln^2 x \, dx \]
Calcoliamo la primitiva di \( \ln^2 x \) integrando due volte per parti:
\[ \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot \frac{2 \ln x}{x} \, dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx \]
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x \]
\[ \Rightarrow \int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x \]
Applichiamo gli estremi di integrazione:
\[ V = 4 \left[ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x \right]_{1}^{e} \]
\[ V = 4 \left[ (e \cdot 1^2 - 2e \cdot 1 + 2e) - (1 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1) \right] \]
\[ V = 4 [ (e - 2e + 2e) - 2 ] = 4(e - 2) \]
Risposta Corretta: d)
Quesito 8
La superficie \( S \), delimitata dalla curva di equazione \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), dall’asse \( x \) e dalla retta \( x = 1 \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( y \), sono tutte triangoli equilateri. Qual è il volume di \( \Sigma \)?
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: Le sezioni sono perpendicolari all'asse \( y \). Dobbiamo esprimere il lato del triangolo equilatero in funzione di \( y \).
Invertendo \( y = \ln(x^2 + 1) \), otteniamo \( e^y = x^2 + 1 \), da cui \( x = \sqrt{e^y - 1} \).
Il lato del triangolo \( L(y) \) è la distanza orizzontale tra la retta \( x = 1 \) e la curva: \( L(y) = 1 - \sqrt{e^y - 1} \).
L'area di un triangolo equilatero di lato \( L \) è \( A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2 \). Sviluppando il quadrato del binomio \( (1 - \sqrt{e^y - 1})^2 \):
Il volume è l'integrale di \( A(y) \) nell'intervallo \( [0, \ln 2] \):
\[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\ln 2} (e^y - 2\sqrt{e^y - 1}) \, dy \]
Risoluzione dell'integrale: Il primo termine è immediato: \( \int e^y dy = e^y \). Per il secondo, usiamo la sostituzione \( t = \sqrt{e^y - 1} \), quindi \( t^2 = e^y - 1 \), \( e^y = t^2 + 1 \) e \( dy = \frac{2t}{t^2 + 1} dt \):
La superficie piana \( S \), delimitata dalla curva \( \gamma \) di equazione \( y = 1 + \tan(x) \) e dall’asse \( x \) nell’intervallo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \), è la base di un solido \( \Sigma \), le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse \( x \), sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di \( \Sigma \).
Svolgimento Dettagliato
Analisi della sezione: La sezione è un triangolo equilatero il cui lato \( L(x) \) è dato dall'ordinata della funzione \( f(x) = 1 + \tan x \).
L'area di un triangolo equilatero è \( A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2 \).
Si consideri la regione \( R \) compresa fra i grafici delle funzioni \( f(x) = e^x \) e \( g(x) = e^{-x} \) e la retta \( y = e \).
Sia \( S \) il solido di base \( R \) ottenuto con piani perpendicolari all’asse \( x \) in modo che le sezioni in ogni punto di \( R \) siano rettangoli la cui altezza è il triplo della base. Quanto vale il volume di \( S \)?
Svolgimento Dettagliato
Analisi della regione e della sezione: La regione \( R \) è simmetrica rispetto all'asse \( y \). Per \( x > 0 \), la base del rettangolo è la distanza verticale tra la retta \( y=e \) e la funzione \( y=e^x \), ovvero \( b = e - e^x \).
L'altezza è il triplo della base: \( h = 3(e - e^x) \).
L'area della sezione è quindi: \( A(x) = b \cdot h = 3(e - e^x)^2 \).
Sfruttando la simmetria, calcoliamo il volume come il doppio dell'integrale tra 0 e 1 (dove \( e^x \) incontra \( y=e \)):
