Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

Osserviamo la figura seguente, in cui sono indicati la circonferenza di diametro \( AB=2R \), la corda \( CD \) perpendicolare ad \( AB \), il segmento \( AP=l \) e la piramide \( PACD \):

Il volume della piramide, che ha per base il triangolo \( ACD \) e per altezza \( AP \), è dato da:

\[ V_{PACD} = \frac{1}{3} \cdot Area(ACD) \cdot AP = \frac{1}{3} \cdot Area(ACD) \cdot l \]

Essendo \( l \) una costante, il volume è massimo quando è massima l'area di base \( Area(ACD) \). Poniamo \( z = Area(ACD) \).

Consideriamo la circonferenza con inscritto il triangolo \( ACD \), con diametro \( AB \) perpendicolare a \( CD \) e \( H \) piede dell'altezza del triangolo uscente da \( A \):

Poniamo:

• \( AH = x \), con \( 0 \leq x \leq 2R \)

• \( BH = y \), con \( 0 \leq y \leq 2R \)

Risulta:

\[ z = Area(ACD) = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH = CH \cdot AH \]

Il triangolo \( ACB \) è rettangolo in \( C \) poiché inscritto in una semicirconferenza di diametro \( AB \). Per il Secondo Teorema di Euclide applicato al triangolo \( ACB \), abbiamo: \[ CH = \sqrt{AH \cdot BH} = \sqrt{x \cdot y} \]

1) Metodo delle derivate

Essendo \( y = 2R - x \), l'area \( z \) in funzione di \( x \) è:

\[ z(x) = Area(ACD) = x \cdot CH = x \sqrt{x \cdot y} = x \sqrt{x(2R-x)} \]

Poiché \( z \geq 0 \), l'area è massima quando lo è il suo quadrato \( z^2 = u \). \[ u(x) = z^2 = x^2 (x(2R-x)) = 2Rx^3 - x^4 \] Cerchiamo il massimo assoluto di \( u(x) \) nell'intervallo \( [0, 2R] \).

Calcoliamo la derivata prima \( u'(x) \):

\[ u'(x) = \frac{d}{dx} (2Rx^3 - x^4) = 6Rx^2 - 4x^3 \]

Studiamo il segno di \( u'(x) \):

\[ u'(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 (3R - 2x) \geq 0 \]

Poiché \( x^2 \geq 0 \), il segno dipende solo da \( 3R - 2x \):

\[ 3R - 2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \leq 3R \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{3R}{2} \]

Quindi:

• \( u(x) \) è **crescente** se \( 0 \leq x < \frac{3R}{2} \)

• \( u(x) \) è **decrescente** se \( \frac{3R}{2} < x \leq 2R \)

Pertanto \( u \) (e di conseguenza l'area \( z \) e il volume \( V \)) è massima per \( \mathbf{x = \frac{3R}{2}} \).

Calcolo del Volume Massimo \( V_{max} \):

Per \( x = \frac{3R}{2} \), si ha:

• \( AH = x = \frac{3R}{2} \)

• \( BH = y = 2R - x = 2R - \frac{3R}{2} = \frac{R}{2} \)

• \( CH = \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{\frac{3R}{2} \cdot \frac{R}{2}} = \frac{R\sqrt{3}}{2} \)

L'area massima di base è:

\[ Area_{max}(ACD) = CH \cdot AH = \left( \frac{R\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{3R}{2} \right) = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \]

Il volume massimo è dato da:

\[ V_{max} = \frac{1}{3} \cdot Area_{max}(ACD) \cdot l = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \right) \cdot l = \frac{R^2 l \sqrt{3}}{4} \]

2) Metodo elementare

Abbiamo detto che l'area \( z = Area(ACD) = x \sqrt{x \cdot y} \). Riscriviamo l'espressione con esponenti razionali:

\[ z(x,y) = x \cdot x^{1/2} \cdot y^{1/2} = x^{3/2} y^{1/2} \]

Osserviamo che \( x + y = 2R = \text{costante} \).

Ricordiamo la proprietà: Il prodotto di due potenze con la somma delle basi costante è massimo quando le basi sono proporzionali ai rispettivi esponenti.

Nel nostro caso, il massimo si ha quando:

\[ x : \frac{3}{2} = y : \frac{1}{2} \]

Da cui si ottiene:

\[ \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]

Sostituendo nella relazione \( x + y = 2R \):

\[ 3y + y = 2R \quad \Rightarrow \quad 4y = 2R \quad \Rightarrow \quad y = \frac{R}{2} \]

E quindi:

\[ x = 3y = 3 \cdot \frac{R}{2} = \frac{3R}{2} \]

Risposta finale: L'area (e quindi il volume) della piramide è massima quando \( AH = \frac{3R}{2} \). Osserviamo che il volume massimo si ha quando il triangolo ACD è equilatero.