Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

Punto 1) Dimostrare, servendosi della definizione, che la funzione è monotòna.

La funzione è \(y=f(x)=\sqrt{1-x}\). Per il dominio, deve essere \(1-x \ge 0\), quindi \(x \le 1\). Il dominio è \((-\infty, 1]\).

Dimostrariamo che la funzione è monotòna decrescente, verificando che che per ogni \(x_1, x_2\) nel dominio, se \(x_1 < x_2\), allora \(f(x_1)> f(x_2)\).

Consideriamo \(x_1 < x_2 \le 1\). Abbiamo:

1. Moltiplichiamo per -1, invertendo il segno: \(-x_1 > -x_2\)
2. Aggiungiamo 1 a entrambi i lati: \(1-x_1 > 1-x_2\)
3. Poiché entrambi i termini sono positivi, possiamo applicare la radice quadrata senza cambiare il segno della disuguaglianza: \(\sqrt{1-x_1} > \sqrt{1-x_2}\)

Quindi, \(f(x_1) > f(x_2)\). Questo dimostra che la funzione è **monotòna strettamente decrescente** nel suo dominio.

Punto 2) Tracciare il grafico della funzione.

Il grafico della funzione \(y=f(x)\) si ottiene dal grafico di \(a(x)=\sqrt{x}\) mediante le seguenti trasformazioni geometriche:

1. Traslazione verso sinistra di vettore \(v=(-1;0)\), ottenendo così la funzione \(b(x)=\sqrt{x+1}\).
2. Simmetria rispetto all'asse y, cioè scambio \(x\) in \(-x\), e ottengo \(f(x)=\sqrt{(-x)+1}=\sqrt{1-x}\).

Il grafico della funzione \(y=f(x)\) è mostrato nella seguente figura:

Punto 3) Scrivere l'equazione della simmetrica della funzione f rispetto alla retta y=2.

Per trovare la simmetrica di una funzione \(y=f(x)\) rispetto a una retta orizzontale \(y=k\), usiamo la formula: \(y' = 2k - y\). Nel nostro caso, \(k=2\) e \(y=f(x)=\sqrt{1-x}\). Sostituendo, otteniamo la funzione simmetrica \(g(x)\):

\(y' = 2(2) - \sqrt{1-x} = 4 - \sqrt{1-x}\)

L'equazione della funzione simmetrica è \(g(x) = 4 - \sqrt{1-x}\).

Il grafico della simmetrica di f rispetto alla retta y=2 è quindi il seguente:

Punto 4) Dire perché la funzione f è invertibile e scrivere l'equazione della funzione inversa g(x).

La funzione \(f(x)=\sqrt{1-x}\) è invertibile perché è **strettamente monotòna** (abbiamo dimostrato al punto 1 che è strettamente decrescente).

Per trovare la funzione inversa, seguiamo questi passaggi:

1. Scambiamo le variabili \(x\) e \(y\): \(x=\sqrt{1-y}\)
2. Eleviamo al quadrato entrambi i lati per eliminare la radice, imponendo che sia \( x \ge 0\): \(x^2 = 1-y\)
3. Risolviamo per \(y\): \(y = 1-x^2\)

La funzione inversa è \(g(x) = 1-x^2\). Per quanto riguarda il dominio della funzione inversa, esso corrisponde al codominio della funzione di partenza. La funzione \(f(x)\) ha come codominio \([0, +\infty)\). Di conseguenza, la funzione inversa \(g(x)\) è definita per \(x \ge 0\).

Punto 5) Tracciare il grafico della funzione y=g(x) deducendolo da quello di y=f(x).

Il grafico della funzione inversa \(y=g(x)\) si ottiene facendo una **simmetria assiale** del grafico di \(y=f(x)\) rispetto alla retta \(y=x\).

Il grafico di \(y=g(x)\) è quindi il seguente:

Soluzione Esercizio 2

Date le funzioni \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) e \(g(x)=\ln(x)\).

Prima di iniziare, è utile determinare i domini delle due funzioni di partenza:

• Dominio di \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\): l'argomento della radice deve essere maggiore o uguale a 0 e il denominatore diverso da 0, quindi \(1-x > 0\), da cui \(x < 1\). Il dominio è \((-\infty, 1)\).
• Dominio di \(g(x)=\ln(x)\): l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, quindi \(x > 0\). Il dominio è \((0, +\infty)\).

Punto 1) Trovare l'equazione della funzione composta \(f \circ g\) e indicare il suo dominio.

La funzione composta \(f \circ g\) si ottiene sostituendo \(x\) con \(g(x)\) nella funzione \(f(x)\):

\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-\ln(x)}}\)

Per il dominio della funzione composta, dobbiamo considerare due condizioni:

1. Il dominio della funzione interna \(g(x)\) deve essere rispettato, quindi \(x > 0\).
2. L'argomento della funzione esterna \(f(g(x))\) deve rispettare il suo dominio. In questo caso, \(1-\ln(x)\) deve essere maggiore di 0, quindi \(1-\ln(x) > 0\).

Risolviamo la seconda condizione:

\(1 > \ln(x) \implies \ln(x) < 1\)

Poiché il logaritmo naturale ha base \(e\), possiamo scrivere:

\(e^{\ln(x)} < e^1 \implies x < e\)

Combinando le due condizioni (\(x > 0\) e \(x < e\)), il dominio della funzione composta \(f \circ g\) è \((0, e)\).

Punto 2) Trovare l'equazione della funzione composta \(g \circ f\) e indicare il suo dominio.

La funzione composta \(g \circ f\) si ottiene sostituendo \(x\) con \(f(x)\) nella funzione \(g(x)\):

\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = \ln(f(x)) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\right)\)

Per il dominio della funzione composta, dobbiamo considerare due condizioni:

1. Il dominio della funzione interna \(f(x)\) deve essere rispettato, quindi \(x < 1\).
2. L'argomento della funzione esterna \(g(f(x))\) deve rispettare il suo dominio. In questo caso, \(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) deve essere maggiore di 0.

La condizione \(\frac{1}{\sqrt{1-x}} > 0\) è sempre verificata all'interno del dominio di \(f(x)\), poiché la radice quadrata di un numero positivo è sempre positiva e il numeratore è 1.

Pertanto, il dominio della funzione composta \(g \circ f\) è semplicemente il dominio della funzione interna, ovvero \((-\infty, 1)\).

Punto 3) Qual è il dominio della funzione \(f(x) \cdot g(x)\)?

La funzione prodotto è definita come \(y = f(x) \cdot g(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \ln(x)\). Il dominio di un prodotto di funzioni è l'**intersezione** dei domini delle singole funzioni.

Dominio di \(f(x)\): \((-\infty, 1)\)

Dominio di \(g(x)\): \((0, +\infty)\)

L'intersezione dei due domini è l'insieme di tutti i numeri che appartengono a entrambi i domini. Graficamente, possiamo immaginarli su una linea numerica:

Dominio di f(x):   <--------------------------------)
                   -∞                               1

Dominio di g(x):          (-------------------------->
                           0                          +∞

Intersezione:              (--------------------)
                           0                          1
        

L'intersezione è l'intervallo \((0, 1)\).

Il dominio della funzione prodotto \(f(x) \cdot g(x)\) è \((0, 1)\).

Soluzione Esercizio 3

Per dimostrare l'equazione della funzione \(f(x)\) data, analizziamo le tre condizioni.

1. Dominio: \(x \neq 1\): L'asintoto verticale di una funzione omografica \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) si trova quando il denominatore è uguale a zero. Poiché il dominio è \(x \neq 1\), deve essere \(cx+d=0\) per \(x=1\), quindi \(c(1)+d=0 \implies d=-c\). La funzione diventa \(f(x)=\frac{ax+b}{cx-c}\).
2. Passa per l'origine \((0; 0)\): Sostituendo \(x=0\) e \(y=0\) nell'equazione, otteniamo \(0 = \frac{a(0)+b}{c(0)-c} \implies 0=\frac{b}{-c}\), il che implica che \(b=0\). La funzione si riduce a \(f(x)=\frac{ax}{cx-c}\).
3. Simmetrica rispetto al punto \(P=(1; 2)\): Il centro di simmetria di una funzione omografica è il punto di intersezione dei suoi asintoti. L'asintoto verticale è \(x=1\) (dal punto 1), mentre l'asintoto orizzontale è \(y=\frac{a}{c}\). Poiché il centro di simmetria è \(P=(1; 2)\), deve essere \(y=\frac{a}{c}=2\). Da qui si ricava \(a=2c\).

Sostituendo \(a=2c\) e \(b=0\) nell'equazione della funzione iniziale, otteniamo \(f(x) = \frac{2cx}{cx-c} = \frac{2x}{x-1}\).

Il grafico della funzione \(f(x)=\frac{2x}{x-1}\) è il seguente:

 

Grafici delle funzioni trasformate:

1. \(y=-f(x)\): Si ottiene per **simmetria assiale rispetto all'asse delle ascisse** (asse x). Il grafico è il seguente:

    

   

    

2. \(y=f(-x)\): Si ottiene per **simmetria assiale rispetto all'asse delle ordinate** (asse y). Il grafico è il seguente:

    

   

    

3. \(y=|f(x)|\): Le parti del grafico di \(y=f(x)\) che si trovano sotto l'asse x vengono ribaltate simmetricamente sopra l'asse x. Le parti sopra l'asse x rimangono invariate. Il grafico è il seguente:

    

   

    

4. \(y=f(|x|)\): Si ottiene eliminando la parte del grafico di \(y=f(x)\) a sinistra dell'asse y e riflettendo la parte destra (per \(x\ge 0\)) rispetto all'asse y. Il grafico è il seguente:

    

   

    

5. \(y=f(|x|+1)\): Questa funzione si ottiene applicando le trasformazioni nell'ordine corretto: prima una **traslazione a sinistra di 1 unità** sul grafico di \(f(x)\), ottenendo \(f(x+1)\), e poi una **simmetria della parte destra** del grafico di \(f(x+1)\) rispetto all'asse y.

    

   

    

6. \(y=f(|x+1|)\): Questa funzione si ottiene applicando le trasformazioni in due fasi. Per prima cosa, si applica una **simmetria della parte destra** del grafico di \(f(x)\) rispetto all'asse y, ottenendo la funzione \(y=f(|x|)\). Il grafico di questo passaggio è:

    

   

    

   Successivamente, si applica una **traslazione a sinistra di 1 unità** del grafico di \(f(|x|)\) per ottenere il grafico finale di \(y=f(|x+1|)\). Il grafico finale è:

    

   

    

Soluzione Esercizio 4

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}\)

   Il limite si presenta nella forma indeterminata \( \frac{0}{0} \). Per risolverlo, usiamo i **limiti notevoli** moltiplicando e dividendo per gli argomenti delle funzioni esponenziali e trigonometriche:

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot \frac{2x}{1} \cdot \frac{1}{\sin(3x)} \]

   Ora manipoliamo l'espressione per far comparire i limiti notevoli:

   \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x}-1}{2x} \right) \cdot \left( \frac{3x}{\sin(3x)} \right)^{-1} \cdot \frac{2x}{3x} = 1 \cdot 1^{-1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \]

   Il risultato è \( \frac{2}{3} \).

2. \(\lim_{x \to +\infty} \sin(x) \cdot \ln(1+\frac{1}{x})\)

   In questo limite, consideriamo i due fattori separatamente:

   • La funzione \( \sin(x) \) è una funzione **limitata**, ovvero il suo valore oscilla sempre tra -1 e 1. Non ha un limite per \(x \to +\infty\), ma sappiamo che \( -1 \le \sin(x) \le 1 \).
   • La funzione \( \ln(1+\frac{1}{x}) \) tende a 0 per \(x \to +\infty\), poiché l'argomento del logaritmo tende a \(1+\frac{1}{+\infty} \to 1+0=1\), e \( \ln(1) = 0 \).

   Per il **teorema del confronto**, il prodotto di una funzione **limitata** e una funzione che tende a **zero** è sempre uguale a zero.

   \[ \lim_{x \to +\infty} \sin(x) \cdot \ln(1+\frac{1}{x}) = 0 \]

3. \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos(x))}{\sin^2(x)}\)

   Il limite è della forma \( \frac{0}{0} \). Per risolverlo, applichiamo un trucco al numeratore e usiamo i limiti notevoli. Aggiungiamo e sottraiamo 1 all'argomento del logaritmo:

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+(\cos(x)-1))}{\sin^2(x)} \]

   Ora usiamo il limite notevole del logaritmo, moltiplicando e dividendo per l'argomento \( \cos(x)-1 \):

   Ricordiamo che il limite notevole è: \( \lim_{f(x) \to 0} \frac{\ln(1+f(x))}{f(x)} = 1 \)

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+(\cos(x)-1))}{\cos(x)-1} \cdot \frac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)} \]

   Il primo termine tende a 1. Semplifichiamo il secondo termine. Ricordando che \( \cos(x)-1 = - (1-\cos(x)) \) e che \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = (1-\cos(x))(1+\cos(x)) \):

   \[ \lim_{x \to 0} 1 \cdot \frac{-(1-\cos(x))}{(1-\cos(x))(1+\cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{1+\cos(x)} = \frac{-1}{1+\cos(0)} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2} \]

   Il risultato è \( -\frac{1}{2} \).

4. \(\lim_{x \to +\infty} (3x) \cdot (2^{\frac{1}{x}}-1)\)

   Il limite è della forma \( \infty \cdot 0 \). Effettuiamo una sostituzione: poniamo \(y = \frac{1}{x}\). Quando \(x \to +\infty\), allora \(y \to 0\). Il limite diventa:

   \[ \lim_{y \to 0} 3\frac{1}{y} \cdot (2^y-1) = \lim_{y \to 0} 3 \cdot \frac{2^y-1}{y} \]

   Questa è la forma del limite notevole \( \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a) \). Quindi:

   \[ 3 \cdot \lim_{y \to 0} \frac{2^y-1}{y} = 3 \cdot \ln(2) \]

   Il risultato è \( 3 \ln(2) \).

5. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x}-1}{\tan(\frac{x}{2})}\)

   Il limite è della forma \( \frac{0}{0} \). Per risolverlo, useremo due limiti notevoli: quello del binomio e quello della tangente.

   Per il numeratore, applichiamo il limite notevole \( \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^k - 1}{x} = k \). L'espressione si può scrivere come \( (1-x)^{\frac{1}{2}}-1 \). Sostituendo \(-x\) con \(x\) e \(k = \frac{1}{2}\):

   \[ \frac{\sqrt{1-x}-1}{-x} \to \frac{1}{2} \]

   Per il denominatore, applichiamo il limite notevole \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \), ponendo \(x\) come \( \frac{x}{2} \):

   \[ \frac{\tan(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} \to 1 \]

   Tornando al limite iniziale, manipoliamo l'espressione per far comparire i limiti notevoli:

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x}-1}{\tan(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x}-1}{-x} \cdot (-x) \cdot \frac{1}{\tan(\frac{x}{2})} \]

   \[ = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1-x}-1}{-x} \right) \cdot \left( \frac{\frac{x}{2}}{\tan(\frac{x}{2})} \right)^{-1} \cdot \frac{-x}{\frac{x}{2}} \]

   \[ = \frac{1}{2} \cdot 1^{-1} \cdot \frac{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1 \]

   Il risultato è \( -1 \).