Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

1️⃣ Studio della parabola:

La parabola ha equazione \( y = \frac{1}{4}x^2 - 1 \).

• Il vertice \(V\) si trova nel punto \(V(0; -1)\).
• Per trovare le intersezioni con l’asse \(x\), poniamo \(y = 0\): \[ 0 = \frac{1}{4}x^2 - 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2. \] Quindi i punti di intersezione sono \(A(-2; 0)\) e \(B(2; 0)\).

Il grafico della parabola, insieme ai segmenti richiesti ( \(PV\), \(OH\), \(OV\)), è il seguente:

2️⃣ Coordinate dei punti:

• Punto generico della parabola: \(P(x; \frac{1}{4}x^2 - 1)\)
• Proiezione sull’asse \(x\): \(H(x; 0)\)
• Vertice: \(V(0; -1)\)

3️⃣ Misure dei segmenti:

• \(\overline{PV} = \sqrt{(x - 0)^2 + \left(\frac{1}{4}x^2 - 1 - (-1)\right)^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{1}{4}x^2\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{16}x^4} = |x| \sqrt{1 + \frac{x^2}{16}}\)
• \(\overline{OH} = |x|\)
• \(\overline{OV} = 1\)

4️⃣ Costruzione della funzione:

Sostituendo i valori nella relazione data:

\[ y = f(x) = \frac{16\,\overline{PV}^2}{\overline{OH}^3 - \overline{OV}} = \frac{16\,x^2\left(1 + \frac{x^2}{16}\right)}{|x|^3 - 1}. \]

Semplificando si ottiene:

\[ f(x) = \frac{x^4 + 16x^2}{|x|^3 - 1}. \]

5️⃣ Dominio e punti di non esistenza:

La funzione non è definita per i valori di \(x\) tali che il denominatore \(|x|^3 - 1 = 0\), cioè per:

\[ |x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \]

D(f) = ℝ \ {−1, 1}

Conclusione:

• La funzione richiesta è \(f(x) = \dfrac{x^4 + 16x^2}{|x|^3 - 1}\).
• La funzione non esiste per \(H(-1; 0)\) e \(H(1; 0)\).

Soluzione Esercizio 2

1️⃣ Dominio

La funzione è definita per tutti i reali per i quali il denominatore è diverso da zero:

\[ x^3-1 \neq 0 \Longrightarrow x \neq 1. \]

D(g)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

2️⃣ Intersezioni con gli assi

• Intersezione con l'asse \(y\) (valore in \(x=0\)): \(g(0)=\dfrac{0}{-1}=0\). Quindi passa per l'origine \((0,0)\).
• Intersezioni con l'asse \(x\) (risolvere \(g(x)=0\)): il numeratore si annulla per \(x^2(x^2+16)=0\), dunque l'unica soluzione reale è \(x=0\). Quindi l'unica intersezione con l'asse \(x\) è \((0,0)\).

3️⃣ Parità / disparità

Calcoliamo \(g(-x)\):

\[ g(-x)=\frac{(-x)^4+16(-x)^2}{(-x)^3-1}=\frac{x^4+16x^2}{-x^3-1} \neq g(x),\quad g(-x)\neq -g(x). \]

Quindi la funzione non è né pari né dispari.

4️⃣ Segno della funzione

Il numeratore \(x^4+16x^2\) è sempre non negativo e si annulla solo per \(x=0\). Il segno di \(g(x)\) è quindi determinato dal segno del denominatore \(x^3-1\):

• Per \(x<1\) si ha \(x^3-1<0\) ⇒ \(g(x)\le 0\) (negativa per \(x\neq0\), nulla in \(x=0\)).
• Per \(x>1\) si ha \(x^3-1>0\) ⇒ \(g(x)>0\).

5️⃣ Limiti alle frontiere del dominio

• Comportamento in \(x\to 1\): il numeratore tende a \(1^4+16\cdot1^2=17\) mentre il denominatore tende a \(0\). \[ \lim_{x\to 1^-} g(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+} g(x) = +\infty. \] Quindi \(x=1\) è un asintoto verticale.
• Limiti all'infinito. Si osservi che il grado del numeratore (4) è maggiore di quello del denominatore (3); il comportamento per valori molto grandi di \(x\) è quindi dominato dai termini di grado massimo:

\[ g(x) = \frac{x^4+16x^2}{x^3-1} \approx \frac{x^4}{x^3} = x. \]

Per \(x \to +\infty\), il termine dominante è positivo, quindi

\[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty. \]

Per \(x \to -\infty\), il termine dominante è negativo, quindi

\[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty. \]

Non esistono quindi asintoti orizzontali, mentre possono esistere asintoti obliqui (dato che il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore possiamo dire che ci saranno asintoti obliqui).

6️⃣ Asintoti (calcolo dettagliato dell'asintoto obliquo)

Per trovare un eventuale asintoto obliquo della forma \(y=mx+q\) si usa la regola dei limiti:

• \(m = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{g(x)}{x}\)
• \(q = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(g(x)-mx\big)\)

Calcolo di \(m\)

\[ \frac{g(x)}{x}=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^4+16x^2}{x^3-1}=\frac{x^3+16x}{x^3-1}. \]

Valutando il limite per \(x\to +\infty\) (e analogamente per \(x\to -\infty\), poiché i termini di grado massimo dominano in entrambi i casi):

\[ m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3+16x}{x^3-1}=\frac{1+0}{1-0}=1. \]

Calcolo di \(q\)

Ora calcoliamo

\[ g(x)-mx=\frac{x^4+16x^2}{x^3-1}-x=\frac{x^4+16x^2-x^4+x}{x^3-1}=\frac{16x^2+x}{x^3-1}. \]

\[ q=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{16x^2+x}{x^3-1}=0, \] \end{math}

Conclusione

Poiché i limiti danno lo stesso valore per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\), risulta

\[ m=1,\qquad q=0, \]

quindi la retta \( \displaystyle y = x \) è un asintoto obliquo della funzione \(g(x)\) (oltre all'asintoto verticale in \(x=1\) già identificato).

7️⃣ Intersezioni con l'asintoto obliquo \(y=x\)

Risolviamo \(g(x)=x\):

\[ \frac{x^4+16x^2}{x^3-1}=x \Longrightarrow x^4+16x^2 = x^4 - x \Longrightarrow 16x^2 = -x. \]

Da cui:

\[ x(16x+1)=0 \Longrightarrow x=0 \ \text{o}\ x=-\tfrac{1}{16}. \]

Quindi le intersezioni con l'asintoto \(y=x\) sono i punti \((0,0)\) e \(\left(-\tfrac{1}{16}, -\tfrac{1}{16}\right)\) (entrambi validi poiché diversi da \(x=1\)).

8️⃣ Riepilogo qualitativo

• Dominio: \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
• Intersezioni con gli assi: solo \((0,0)\).
• Segno: \(g(x)\le 0\) per \(x<1\) (con \(g(0)=0\)), \(g(x)>0\) per \(x>1\).
• Asintoto verticale in \(x=1\); asintoto obliquo \(y=x\) per \(x\to\pm\infty\).
• Intersezioni con l'asintoto \(y=x\): \((0,0)\) e \(\left(-\tfrac{1}{16}, -\tfrac{1}{16}\right)\).

Caratteristiche sintetiche del grafico

• Dominio: \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \) (discontinuità in \(x=1\)).
• Asintoto verticale: \(x=1\), con \(\displaystyle \lim_{x\to1^-}g(x)=-\infty\) e \(\displaystyle \lim_{x\to1^+}g(x)=+\infty\).
• Asintoto obliquo: la retta \(y=x\) (calcolata con \(m=\lim g(x)/x=1\) e \(q=\lim(g(x)-mx)=0\)).
• Limiti agli estremi: \(\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x)=-\infty\), \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty\) (la funzione si allontana senza orizzontali e si avvicina alla direzione \(y=x\)).
• Segno: \(g(x)\le 0\) per \(x<1\) (con \(g(0)=0\)), e \(g(x)>0\) per \(x>1\).
• Intersezioni: unico punto con gli assi \((0,0)\).
• Intersezioni con l'asintoto \(y=x\): \((0,0)\) e \(\left(-\tfrac{1}{16},-\tfrac{1}{16}\right)\).

Questi elementi devono essere visibili nel grafico: due rami separati dall'asintoto verticale in \(x=1\), il ramo sinistro sotto l'asse \(x\) passando per l'origine e tendente a \(-\infty\) verso \(x\to1^-\), il ramo destro positivo che parte da \(+\infty\) appena a destra di \(x=1\) e si allinea alla direzione \(y=x\) per \(x\to+\infty\).

Un grafico probabile della funzione è il seguente:

Soluzione Esercizio 3

1️⃣ Verifica che \( f(x) = g(|x|) \)

Partiamo dalla funzione definita nell’Esercizio 2: \[ g(x) = \frac{x^4 + 16x^2}{x^3 - 1}. \] Calcoliamo ora \( g(|x|) \): \[ g(|x|) = \frac{(|x|)^4 + 16(|x|)^2}{(|x|)^3 - 1}. \] Poiché \((|x|)^2 = x^2\) e \((|x|)^4 = x^4\), possiamo semplificare: \[ g(|x|) = \frac{x^4 + 16x^2}{(|x|)^3 - 1}. \] Ma questa è proprio la funzione trovata nell’Esercizio 1: \[ f(x) = \frac{x^4 + 16x^2}{(|x|)^3 - 1}. \] Conclusione: \( f(x) = g(|x|) \).

2️⃣ Effetto del valore assoluto sul grafico

Per costruire il grafico di una funzione del tipo \( y = f(|x|) \) a partire da quello di \( y = f(x) \), si procede in due passaggi:

1. Si considera il grafico di \( f(x) \) solo per \( x \ge 0 \).
2. Si esegue una simmetria rispetto all’asse \( y \) del tratto ottenuto.

In altre parole, ogni punto del grafico con ascissa positiva viene “riflesso” nel semipiano sinistro con la stessa ordinata.

3️⃣ Applicazione al caso della funzione data

Poiché \( f(x) = g(|x|) \), il ramo di \( f(x) \) per \( x > 0 \) coincide esattamente con il ramo destro del grafico di \( g(x) \), mentre il ramo per \( x < 0 \) è la sua immagine simmetrica rispetto all’asse \( y \).

4️⃣ Conseguenze sul grafico

• La funzione \( f(x) \) è pari, perché \( f(-x) = f(x) \).
• Gli asintoti verticali si trovano per i valori di \( x \) che annullano il denominatore: \( (|x|)^3 - 1 = 0 \Rightarrow |x| = 1 \Rightarrow x = -1, x = 1 \). Quindi \( f(x) \) ha due asintoti verticali simmetrici rispetto all’asse \( y \).
• Poiché \( f(x) = g(|x|) \), il comportamento per \( x > 0 \) è identico a quello di \( g(x) \), e per \( x < 0 \) è simmetrico.
• Non esistono asintoti orizzontali: per \( |x| \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).

5️⃣ Rappresentazione grafica

Il grafico di \( f(x) \) si ottiene dunque lasciando inalterato il ramo destro della funzione \( g(x) \) e ribaltandolo rispetto all'asse \(y\). Il risultato è una curva simmetrica con due asintoti verticali in \( x = -1 \) e \( x = 1 \) ed un asintototo obliquo \(y=x\) per \( x \to +\infty \).

Il grafico risultante della funzione è il seguente:

Soluzione Esercizio 4

1️⃣ Equazione della parabola data

La parabola assegnata nell’Esercizio 1 è: \[ p:\; y = \frac{1}{4}x^2 - 1. \]

2️⃣ Simmetria rispetto all’asse delle \(x\)

Per ottenere la curva \( p' \), simmetrica di \( p \) rispetto all’asse delle \(x\), basta cambiare di segno la coordinata \(y\) in ogni punto della curva originale. Ciò equivale a sostituire \( y \) con \(-y\) nell’equazione della parabola:

Moltiplicando per \(-1\), si ottiene: \[ p':\; y = -\frac{1}{4}x^2 + 1. \]

3️⃣ Relazione di simmetria tra \(p\) e \(p'\)

Osserviamo che: \[ p:\; y = \tfrac{1}{4}x^2 - 1, \quad p':\; y = -\tfrac{1}{4}x^2 + 1. \] La seconda equazione si ottiene dalla prima non solo cambiando il segno di \(y\), ma anche invertendo il segno del termine noto. In effetti, se si applica una **simmetria rispetto all’origine** (cioè si sostituisce \(x\) con \(-x\) e \(y\) con \(-y\)), si ha: \[ y = -\tfrac{1}{4}(-x)^2 + 1 = -\tfrac{1}{4}x^2 + 1, \] che è proprio l’equazione di \(p'\).

Conclusione: le due parabole \(p\) e \(p'\) sono:

• simmetriche rispetto all’asse delle \(x\);
• simmetriche anche rispetto all’origine degli assi (simmetria centrale).

4️⃣ Rappresentazione grafica

Rappresentiamo graficamente le due curve \(p\) e \(p'\) nello stesso sistema di riferimento:

Soluzione Esercizio 5

1️⃣ Dati e osservazioni preliminari

Riprendiamo le parabole usate nei precedenti esercizi: \[ p:\; y=\tfrac{1}{4}x^2-1,\qquad p':\; y=-\tfrac{1}{4}x^2+1. \] Esse si intersecano con l'asse \(x\) nei punti \(A(-2,0)\) e \(B(2,0)\). Il vertice di \(p'\) è \(V'(0,1)\) e il vertice di \(p\) è \(V(0,-1)\). La retta che taglia entrambe le parabole e individua la corda considerata è l'asse \(x\): \(y=0\).

Figura:

2️⃣ Enunciato del Teorema di Archimede

Se un segmento parabolico è delimitato da una parabola, da una corda \(AB\) e dal vertice corrispondente, l'area del segmento è \[ \text{Area}_{\text{segmento}}=\tfrac{2}{3}\cdot\text{Area}_{\text{rettangolo circoscritto}}, \] dove il rettangolo circoscritto ha per base la corda \(AB\) e per altezza la distanza tra la corda stessa e la tangente alla parabola parallela alla corda (nel nostro caso la tangente, orizzontale, nel vertice).

3️⃣ Costruzione del rettangolo circoscritto per \(p'\)

- La corda \(AB\) è il segmento sull'asse \(x\) tra \(-2\) e \(2\): base \(=4\).
- La tangente alla parabola \(p'\) parallela ad \(AB\) è la tangente orizzontale in corrispondenza del vertice \(V'(0,1)\), cioè la retta \(y=1\).
- La distanza tra la retta \(AB\) ( \(y=0\) ) e la tangente parallela ( \(y=1\) ) è quindi \(h=1\).

\[ \text{Area}_{\text{rettangolo}} = \text{base}\cdot \text{altezza} = 4\cdot 1 = 4. \]

4️⃣ Area del segmento parabolico superiore (tra \(p'\) e la corda \(AB\))

Applicando la formula di Archimede nella forma richiesta:

\[ \text{Area}_{\mathcal{S}'} = \tfrac{2}{3}\cdot \text{Area}_{\text{rettangolo}} = \tfrac{2}{3}\cdot 4 = \tfrac{8}{3}. \]

5️⃣ Area totale tra le due parabole

La regione cercata è costituita da due segmenti parabolici congruenti (quello superiore relativo a \(p'\) e quello inferiore relativo a \(p\)), dunque:

\[ \text{Area}_{\text{totale}} = 2\cdot \text{Area}_{\mathcal{S}'} = 2\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}. \]

Risultato finale:

\[ \boxed{\text{Area totale}=\dfrac{16}{3}} \]

Soluzione Esercizio 6

1️⃣ Calcolo della tangente \(t\) a \(p'\) nel punto \(A(-2,0)\)

La parabola superiore è \(p': y=-\tfrac{1}{4}x^2+1\).
La derivata è \(y'=-\tfrac{1}{2}x\).
In \(x_A=-2\) risulta \(y'_A=-\tfrac{1}{2}\cdot(-2)=1\).
Quindi la tangente in \(A\) ha coefficiente angolare \(m=1\) e passa per \(A(-2,0)\):

\[ t:\; y-0 = 1(x+2) \quad\Rightarrow\quad y = x+2. \]

N.B. Il valore del coefficiente angolare della retta tangente in \(A\) si può anche ottenere facendo sistema tra la parabola ed il fascio di rette di centro \(A\), e ponendo il discriminante dell'equazione risolvente uguale a zero.

2️⃣ Calcolo della tangente \(t'\) a \(p\) parallela a \(t\) (necessaria per calcolare l'area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico individuato dalla retta \(t\) e dalla parabola \(p\))

La parabola inferiore è \(p:\; y=\tfrac{1}{4}x^2-1\).
Derivando: \(y'=\tfrac{1}{2}x\).
Cerchiamo il punto di \(p\) in cui la tangente abbia la stessa pendenza \(m=1\): \[ \tfrac{1}{2}x=1 \Rightarrow x=2. \] In \(x=2\), \(y=\tfrac{1}{4}\cdot4-1=0\), quindi il punto di tangenza è \(B(2,0)\).
La tangente cercata è

\[ t':\; y-0=1(x-2) \Rightarrow y=x-2. \]

N.B. Siccome le due parabole sono simmetriche rispetto all'origine degli assi, e \(B\) è il simmetrico di \(A\) rispetto all'origine, la tangente \(t'\) è la simmetrica di \(t\) ripetto all'origine, quindi è la retta che passa per \(B\) con coefficiente angolare \(1\).
Facendo i calcoli si ottiene:

\[ t:\; y-0=1(x-2) \Rightarrow y=x-2. \]

3️⃣ Distanza fra le due rette parallele \(t\) e \(t'\)

Le rette hanno equazioni \(t: y = x + 2\) e \(t': y = x - 2\).
Poiché sono parallele, la loro distanza è costante; possiamo calcolarla come distanza del punto \(A(-2,0)\) da \(t'\).

Scriviamo \(t'\) in forma implicita: \(x - y - 2 = 0\).
Applicando la formula della distanza di un punto \(P(x_0, y_0)\) da una retta \(ax + by + c = 0\):

\[ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \]

Sostituendo \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\) e \(A(-2,0)\):

\[ AH = d(A,t') = \frac{|1\cdot(-2) + (-1)\cdot0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}. \]

Quindi la distanza tra le due rette parallele \(t\) e \(t'\) è \(AH = 2\sqrt{2}\).

4️⃣ Intersezione \(C\) fra la parabola \(p\) e la tangente \(t\)

Risolviamo il sistema: \[ \begin{cases} y = \tfrac{1}{4}x^2 - 1 \\ y = x + 2 \end{cases} \Rightarrow \tfrac{1}{4}x^2 - 1 = x + 2. \] Moltiplichiamo per 4: \[ x^2 - 4x - 12 = 0 \Rightarrow (x-6)(x+2)=0. \] Uno dei punti d’intersezione è proprio \(A(-2,0)\); l’altro è \(C(6,8)\).

5️⃣ Distanza \(AC\)

\[ AC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}. \]

6️⃣ Applicazione del Teorema di Archimede

Consideriamo il rettangolo circoscritto avente lati \(AC\) e \(AH\). Quindi l'area del rettangolo è

\[ \text{Area}_{\text{rettangolo}} = AC\cdot AH = (8\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{2}) = 8\cdot 2 \cdot (\sqrt{2}\sqrt{2}) = 16\cdot 2 = 32. \]

Per il Teorema di Archimede: Area(segmento parabolico) = \(\tfrac{2}{3}\) (dell'area del rettangolo circoscritto),

\[ \text{Area} = \tfrac{2}{3}\cdot 32 = \tfrac{64}{3}. \]

Risultato finale:

\[ \boxed{\text{Area della regione fra la tangente a }p'\text{ in }A\text{ e la parabola }p \;=\; \dfrac{64}{3}} \]