Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

Per rappresentare graficamente la funzione \(y=[x^2]\) nell'intervallo \([-2; 2]\), dobbiamo prima esprimerla come una funzione a tratti. La funzione parte intera \([n]\) restituisce il più grande intero minore o uguale a \(n\). Di conseguenza, il valore di \([x^2]\) rimane costante in tutti gli intervalli in cui \(x^2\) è compreso tra due interi consecutivi.

Analizziamo i valori di \(x^2\) al variare di \(x\) nell'intervallo \([-2; 2]\). \(x^2\) va da \(0\) a \(4\). I punti di discontinuità si trovano dove \(x^2\) assume valori interi, cioè per \(x^2=0, 1, 2, 3, 4\).

Risolvendo per \(x\), otteniamo \(x = \pm \sqrt{k}\), con \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\).

A partire da questi valori, possiamo definire la funzione a tratti:

Da notare che la funzione è pari, ovvero simmetrica rispetto all'asse y, poiché \(f(-x) = [(-x)^2] = [x^2] = f(x)\).

Il grafico della funzione è il seguente:

Osservazione: Dal grafico si può notare che gli estremi dei segmenti orizzontali appartenenti alla funzione fanno parte della parabola \(g_1(x)=x^2\) e gli estremi dei segmenti esclusi appartengono alla parabola \(h_1(x)=x^2-1\).

Soluzione Esercizio 2

La frazione generatrice di un numero decimale periodico può essere trovata esprimendolo come la somma di una serie geometrica infinita.

Calcolo per 5,6̅

Possiamo scrivere 5,6̅ come la somma di un intero e una parte decimale infinita:

La parte decimale è una progressione geometrica infinita con primo termine \(a = \frac{6}{10}\) e ragione \(r = \frac{1}{10}\). La somma di una serie geometrica infinita con \(|r| < 1\) è data dalla formula \(S = \frac{a}{1-r}\).

Quindi, il numero completo è:

Come verifica, 17 ÷ 3 = 5,666....

Calcolo per 1,23̅

Questo è un numero periodico misto. Lo separiamo in una parte non periodica e una periodica.

La parte decimale periodica è una progressione geometrica infinita con primo termine \(a = \frac{3}{100}\) e ragione \(r = \frac{1}{10}\).

Sommando le due parti, otteniamo:

Come verifica, 37 ÷ 30 = 1,2333....

Soluzione Esercizio 3

L'esercizio chiede di dimostrare che l'espressione \(7^{2n+1}-5^{2n+1}\) è un numero pari per ogni numero naturale \(n\), cioè per \(n=0, 1, 2, ...\).

Dimostrazione per via Diretta

Sfruttiamo una proprietà algebrica che afferma che per ogni numero naturale dispari \(k\), la differenza di due potenze \(a^k-b^k\) è sempre divisibile per la differenza delle basi \(a-b\). Questo si può dimostrare con la scomposizione polinomiale:

Nel nostro esercizio, l'espressione è \(7^{2n+1}-5^{2n+1}\). L'esponente \(k = 2n+1\) è sempre un numero dispari per ogni numero naturale \(n\).

Applicando la formula di scomposizione, con \(a=7\) e \(b=5\), otteniamo:

Poiché l'intera espressione è il prodotto di 2 per un numero intero, il risultato è sempre un numero pari. Questo completa la dimostrazione per via diretta.

Dimostrazione per Induzione Matematica

Sia \(P(n)\) la proposizione \(7^{2n+1}-5^{2n+1}\) è un numero pari.

1. **Passo Base:** Verifichiamo la proposizione per \(n=0\).

   \[ P(0): 7^{2(0)+1}-5^{2(0)+1} = 7^1-5^1 = 7-5 = 2 \]

   Poiché 2 è un numero pari, il passo base è verificato.
2. **Passo Induttivo:** Assumiamo che \(P(n)\) sia vera, cioè che \(7^{2n+1}-5^{2n+1}\) sia un numero pari per un certo \(k\). Questo significa che possiamo scrivere:

   \[ 7^{2n+1}-5^{2n+1} = 2k \quad \text{per un certo intero } k \]

   \[ \implies 7^{2n+1} = 5^{2n+1} + 2k \]

   Ora dobbiamo dimostrare che \(P(n+1)\) è vera, ovvero che \(7^{2(n+1)+1}-5^{2(n+1)+1}\) è un numero pari.

   \[ 7^{2(n+1)+1}-5^{2(n+1)+1} = 7^{2n+3}-5^{2n+3} \]

   \[ = 7^2 \cdot 7^{2n+1} - 5^2 \cdot 5^{2n+1} \]

   Sostituiamo \(7^{2n+1}\) usando l'ipotesi induttiva:

   \[ = 49 \cdot (5^{2n+1} + 2k) - 25 \cdot 5^{2n+1} \]

   \[ = 49 \cdot 5^{2n+1} + 49 \cdot 2k - 25 \cdot 5^{2n+1} \]

   \[ = (49-25) \cdot 5^{2n+1} + 49 \cdot 2k \]

   \[ = 24 \cdot 5^{2n+1} + 98k \]

   \[ = 2(12 \cdot 5^{2n+1} + 49k) \]

   Poiché l'espressione è un multiplo di 2, è un numero pari. Il passo induttivo è verificato.

Dato che la proposizione è vera per \(n=0\) e l'essere vera per un certo \(n\) implica che lo sia anche per \(n+1\), per il Principio di induzione matematica, la proposizione \(P(n)\) è vera per tutti i numeri naturali \(n\).

Soluzione Esercizio 4

L'esercizio chiede di calcolare la somma dei primi \(n\) numeri pari positivi e di dimostrare la formula trovata.

Calcolo con la progressione aritmetica

I primi \(n\) numeri pari positivi sono \(2, 4, 6, ..., 2n\). Questi numeri formano una progressione aritmetica in cui:

• Il primo termine, \(a_1\), è 2.
• La ragione, \(d\), è 2 (la differenza tra due termini consecutivi).
• L'ultimo termine, \(a_n\), è \(2n\).

La formula per la somma \(S_n\) dei primi \(n\) termini di una progressione aritmetica è:

Sostituendo i valori della nostra progressione, otteniamo:

Quindi, la formula per la somma dei primi \(n\) numeri pari positivi è \(S_n=n(n+1)\).

Dimostrazione per Induzione Matematica

Sia \(P(n)\) la proposizione \(2+4+6+...+2n = n(n+1)\).

1. **Passo Base:** Verifichiamo la formula per \(n=1\).

   \[ P(1): 2 = 1(1+1) \implies 2=2 \]

   La proposizione è vera per \(n=1\).
2. **Passo Induttivo:** Assumiamo che \(P(n)\) sia vera, cioè che \(2+4+...+2n = n(n+1)\). Dobbiamo dimostrare che la proposizione \(P(n+1)\) è vera.

   \[ P(n+1): 2+4+...+2n+2(n+1) = (n+1)(n+1+1) = (n+1)(n+2) \]

   Partiamo dal primo membro dell'espressione per \(P(n+1)\):

   \[ \underbrace{2+4+...+2n}_{\text{Parte che corrisponde a } P(n)} + 2(n+1) \]

   Usando l'ipotesi induttiva, sappiamo che la parte sottolineata è uguale a \(n(n+1)\). Sostituiamo:

   \[ = n(n+1) + 2(n+1) \]

   Ora raccogliamo il termine comune \((n+1)\):

   \[ = (n+1)(n+2) \]

   Questo risultato è esattamente il secondo membro della proposizione \(P(n+1)\). Il passo induttivo è verificato.

Dato che il passo base è verificato e il passo induttivo è dimostrato, la formula \(2+4+...+2n=n(n+1)\) è vera per tutti i numeri naturali positivi \(n\).

Soluzione Esercizio 5

L'esercizio riguarda una successione definita per ricorrenza. La formula fornita è un caso specifico dell'algoritmo di Newton per il calcolo della radice quadrata di un numero.

L'**algoritmo di Newton**, noto anche come **metodo di Erone**, è un potente strumento per trovare approssimazioni successive della radice quadrata di un numero \(N\). La formula iterativa è:

Per capire meglio come funziona, calcoliamo le prime approssimazioni di \(\sqrt{2}\). Partiamo da un valore iniziale a caso, ad esempio \(a_0 = 1\).

• **Approssimazione 1:**

  \[ a_1 = \frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{1}\right) = 1.5 \]

• **Approssimazione 2:**

  \[ a_2 = \frac{1}{2}\left(1.5+\frac{2}{1.5}\right) \approx 1.4166 \]

• **Approssimazione 3:**

  \[ a_3 = \frac{1}{2}\left(1.4166+\frac{2}{1.4166}\right) \approx 1.414216 \]

Come puoi vedere, i valori ottenuti convergono molto rapidamente a \(\sqrt{2}\) (\(\approx 1.41421356\)). Ogni nuova iterazione raddoppia circa il numero di cifre decimali corrette, rendendo l'algoritmo estremamente efficiente.

a) Calcolare i primi quattro termini della successione

Partendo dal termine iniziale \(a_0=1\), calcoliamo i successivi termini applicando la formula data.

1. Per \(n=0\):

   \[ a_1=\frac{1}{2}\left(a_0+\frac{5}{a_0}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{5}{1}\right)=\frac{1}{2}(6)=3 \]

2. Per \(n=1\):

   \[ a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{5}{a_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{9+5}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{14}{3}\right)=\frac{7}{3}\approx 2.333 \]

3. Per \(n=2\):

   \[ a_3=\frac{1}{2}\left(a_2+\frac{5}{a_2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{3}+\frac{5}{\frac{7}{3}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{3}+\frac{15}{7}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{49+45}{21}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{94}{21}\right)=\frac{47}{21}\approx 2.238 \]

4. Per \(n=3\):

   \[ a_4=\frac{1}{2}\left(a_3+\frac{5}{a_3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{47}{21}+\frac{5}{\frac{47}{21}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{47}{21}+\frac{105}{47}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2209+2205}{987}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4414}{987}\right)=\frac{2207}{987}\approx 2.236 \]

Possiamo notare che i termini si avvicinano a \(\sqrt{5} \approx 2.2360679...\).

b) Calcolare il limite della successione

Se il limite della successione esiste e indichiamo \(\lim_{n \to +\infty} a_n = L\), allora anche \(\lim_{n \to +\infty} a_{n+1} = L\). Sostituendo \(L\) nella relazione di ricorrenza, otteniamo un'equazione per trovare il valore del limite.

Per dimostrare che la successione ammette limite, possiamo usare il **Teorema delle successioni monotone**, che stabilisce che ogni successione definitivamente monotona e limitata è convergente.

Dimostrazione della limitatezza

Dimostriamo che la successione è limitata inferiormente da \(\sqrt{5}\), cioè \(a_n \ge \sqrt{5}\) per ogni \(n \ge 1\). Possiamo usare la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica. La media aritmetica di due numeri positivi è sempre maggiore o uguale della loro media geometrica.

Poiché \(a_n\) per \(n \ge 1\) è sempre positivo (come si può verificare dai primi termini), la disuguaglianza è valida. In particolare, \(a_1=3 > \sqrt{5}\) e tutti i termini successivi saranno maggiori o uguali a \(\sqrt{5}\). La successione è quindi limitata inferiormente.

Dimostrazione della monotonia

Dimostriamo che la successione è monotona decrescente, ovvero \(a_{n+1} \le a_n\) per ogni \(n \ge 1\). Per farlo, consideriamo la differenza \(a_{n+1} - a_n\).

Dato che abbiamo già dimostrato che \(a_n^2 \ge 5\) (per \(n \ge 1\)) e che \(a_n > 0\), il numeratore \(5-a_n^2\) è sempre minore o uguale a zero. Il denominatore \(2a_n\) è sempre positivo. Pertanto, la frazione è minore o uguale a zero, il che significa che \(a_{n+1} - a_n \le 0\), ovvero \(a_{n+1} \le a_n\).

La successione è monotona decrescente (a partire da \(a_1\)).

Poiché la successione è **definitivamente monotona decrescente** e **limitata inferiormente**, per il Teorema delle successioni monotone, essa **ammette limite finito**. A questo punto possiamo calcolare il valore del limite come segue:

Poiché tutti i termini della successione sono positivi, il limite non può essere negativo. Pertanto, il limite della successione è \(L=\sqrt{5}\).

c) Algoritmo e Programmi

Algoritmo in linguaggio naturale:

1. Richiedi all'utente un numero intero positivo, \(k\), che rappresenti il numero di termini da calcolare.
2. Inizializza una variabile, ad esempio `a`, con il valore del primo termine dato, che è \(a_0 = 1\).
3. Stampa il valore di `a` (questo è il primo termine, \(a_0\)).
4. Per ogni valore da 1 a \(k\):
   1. Calcola il termine successivo usando la formula \(a_{successivo} = \frac{1}{2}(a+\frac{5}{a})\).
   2. Stampa il valore del termine appena calcolato.
   3. Aggiorna il valore di `a` con il nuovo termine calcolato per l'iterazione successiva.

Questo algoritmo è iterativo e si basa su un ciclo.

Programma in Python:

k = int(input("Quanti termini vuoi calcolare? "))

a = 1.0  # Usiamo un float per i calcoli

print(f"a_0 = {a}")

for i in range(k):
    a = 0.5 * (a + 5/a)
    print(f"a_{i+1} = {a}")

Programma in Pascal:

program SuccessioneRicorrenza;
uses crt;
var
  k, i: integer;
  a: real;
begin
  clrscr;
  write('Quanti termini vuoi calcolare? ');
  readln(k);

  a := 1;
  writeln('a[0] = ', a:0:10);

  for i := 1 to k do
  begin
    a := 0.5 * (a + 5/a);
    write('a[', i, '] = ');
    writeln(a:0:10);
  end;

  readln;
end.

Esegui il codice online

Per eseguire i programmi senza installare nulla, puoi usare un compilatore o interprete online. Il processo è semplice:

1. Clicca su uno dei link qui sotto.
2. Copia il codice del programma nell'area di testo che trovi sul sito.
3. **Inserisci il valore di `k` nella finestra `STDIN`** che di solito si trova sotto il codice o in una sezione dedicata.
4. Clicca sul pulsante "Run", "Execute" o "Compile & Run" per vedere l'output.

Link utili:

• Python Online Compiler & Interpreter
• Pascal Online Compiler

Soluzione Esercizio 6

Per trovare il dominio di una funzione, dobbiamo identificare i valori di \(x\) per i quali l'espressione è definita. Analizziamo ogni funzione singolarmente.

a) Funzione \(a(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x^2+6x-5}}\)

La condizione per l'esistenza di una radice quadrata è che il suo argomento sia non negativo, ovvero maggiore o uguale a zero. Inoltre, il denominatore della frazione non può essere zero. Dobbiamo quindi risolvere la disequazione fratta:

**Studio del segno del numeratore:**
\(x+2 \ge 0 \implies x \ge -2\)

**Studio del segno del denominatore:**
Risolviamo \(x^2+6x-5 = 0\): \(x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(-5)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}\).
Risulta quindi \(x^2+6x-5 > 0\) per \(x < -3-\sqrt{14}\) o \(x > -3+\sqrt{14}\).

**Combinando i segni:**
Costruendo una tabella dei segni, la frazione è positiva o nulla quando i segni del numeratore e del denominatore sono concordi (o il numeratore è zero). Il denominatore non può essere zero.

Il dominio è dove la frazione è positiva o nulla (in corrispondenza di \(x=-2\)).
**Dominio:** \((-3-\sqrt{14}, -2] \cup (-3+\sqrt{14}, +\infty)\)

b) Funzione \(b(x)=\frac{x-1}{x^2-2|x|}\)

Per le funzioni razionali, il denominatore deve essere diverso da zero. Dobbiamo escludere i valori di \(x\) che annullano \(x^2-2|x|\).

**Risolviamo \(x^2-2|x| = 0\):**
Se \(x \ge 0\), l'equazione è \(x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0\). Soluzioni: \(x=0, x=2\).
Se \(x < 0\), l'equazione è \(x^2-2(-x) = 0 \implies x^2+2x=0 \implies x(x+2)=0\). Soluzioni: \(x=0, x=-2\). Solo \(x=-2\) è accettabile per \(x < 0\).

Dobbiamo escludere i valori \(-2\), \(0\) e \(2\).
**Dominio:** \(\mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 2\}\)

c) Funzione \(c(x)=\frac{\ln(e^x-1)}{|x-2|}\)

Dobbiamo considerare due condizioni: l'argomento del logaritmo deve essere positivo e il denominatore deve essere diverso da zero.

**Condizione del logaritmo:** \(e^x-1 > 0 \implies e^x > 1 \implies x > \ln(1) \implies x > 0\).
**Condizione del denominatore:** \(|x-2| \ne 0 \implies x-2 \ne 0 \implies x \ne 2\).

Il dominio è l'intersezione di queste due condizioni.
**Dominio:** \((0, +\infty) \setminus \{2\}\)

d) Funzione \(d(x)=\sqrt{e^{2x}-3e^x+2}\)

L'argomento della radice deve essere maggiore o uguale a zero.

Ponendo \(t=e^x\), la disequazione diventa \(t^2-3t+2 \ge 0\). Troviamo le radici di \(t^2-3t+2 = 0\), che sono \(t=1\) e \(t=2\). La disequazione è verificata per i valori esterni alle radici.
**Caso 1:** \(t \le 1 \implies e^x \le 1 \implies x \le 0\).
**Caso 2:** \(t \ge 2 \implies e^x \ge 2 \implies x \ge \ln(2)\).

**Dominio:** \((-\infty, 0] \cup [\ln(2), +\infty)\)

e) Funzione \(e(x)=\log_{\frac{1}{2}}(\sin(x)-\cos(2x))\)

L'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero.

Usiamo la formula di duplicazione \(\cos(2x) = 1-2\sin^2(x)\). La disequazione diventa:
\[ 2\sin^2(x)+\sin(x)-1 > 0 \]

Ponendo \(t=\sin(x)\), risolviamo \(2t^2+t-1 > 0\). Le radici dell'equazione \(2t^2+t-1=0\) sono \(t=-1\) e \(t=1/2\).

La disequazione è verificata per \(t < -1\) o \(t > 1/2\). Tornando a \(\sin(x)\), otteniamo:
\(\sin(x) < -1\): nessuna soluzione.
\(\sin(x) > 1/2\): la soluzione è data dagli intervalli in cui il seno è maggiore di 1/2, che si ripetono ogni \(2\pi\).

**Dominio:** \(( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi )\) con \(k \in \mathbb{Z}\)