Questo compito è stato assegnato il 24 Novembre 1995 a una classe 5ª del Liceo Scientifico.
Argomenti: calcolo delle probabilità (estrazioni con e senza reimbussolamento, distribuzione binomiale).
In un'urna ci sono 100 palline di cui 15 bianche (B). Si estrae una pallina alla volta, si guarda il colore e non la si reimbussola.
a) Qual è la probabilità che le prime 3 palline estratte siano bianche?
b) Qual è la probabilità che la prima pallina bianca estratta sia la settima?
c) Qual è la probabilità che all'undicesima estrazione venga estratta la settima pallina bianca?
Supponiamo ora di estrarre contemporaneamente 3 palline dall'urna:
d) Qual è la probabilità che siano tutte e tre bianche?
e) Qual è la probabilità che due delle tre siano bianche?
f) Qual è la probabilità che nessuna sia bianca?
Dati del problema:
Possiamo risolvere questo problema usando il calcolo combinatorio.
Casi favorevoli (f):
Dobbiamo scegliere 3 palline bianche tra le 15 disponibili:
\[ f = \binom{15}{3} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2730}{6} = 455 \]
Casi possibili (n):
Il numero totale di modi di estrarre 3 palline da 100:
\[ n = \binom{100}{3} = \frac{100!}{3! \cdot 97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{970200}{6} = 161700 \]
Probabilità:
\[ P = \frac{f}{n} = \frac{\binom{15}{3}}{\binom{100}{3}} = \frac{455}{161700} = \frac{91}{32340} \approx 0{,}00281 \]
Risposta a): \( P = \frac{91}{32340} \approx 0{,}281\% \)
Questo approccio analizza l'esperimento come una sequenza di tre eventi dipendenti, poiché il non reimbussolamento modifica la composizione dell'urna a ogni passo:
Secondo il teorema della probabilità composta, la probabilità che i tre eventi si verifichino contemporaneamente è il prodotto delle singole probabilità:
\[ P(B_1 \cap B_2 \cap B_3) = P(B_1) \cdot P(B_2 | B_1) \cdot P(B_3 | B_1 \cap B_2) \]
\[ P = \frac{15}{100} \cdot \frac{14}{99} \cdot \frac{13}{98} = \frac{2730}{970200} = \frac{91}{32340} \approx 0{,}281\% \]
Nota: Questo calcolo è equivalente a quello fatto con le combinazioni.
Ragionamento alternativo con le disposizioni semplici:
Se vogliamo considerare l'ordine di estrazione delle palline, possiamo utilizzare le disposizioni semplici invece delle combinazioni. In questo caso, le terne ordinate favorevoli rispetto a quelle possibili sono:
La probabilità sarà quindi il rapporto tra le disposizioni:
\[ P = \frac{D_{15,3}}{D_{100,3}} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{100 \cdot 99 \cdot 98} = \frac{2730}{970200} \]
Semplificando la frazione per 30, otteniamo nuovamente lo stesso risultato:
\[ P = \frac{91}{32340} \approx 0{,}281\% \]
Questo significa che deve verificarsi una sequenza specifica:
Calcoliamo le probabilità condizionate passo dopo passo:
\( P(\text{1ª N}) = \frac{85}{100} \)
\( P(\text{2ª N} | \text{1ª N}) = \frac{84}{99} \)
\( P(\text{3ª N} | \text{prime 2 N}) = \frac{83}{98} \)
\( P(\text{4ª N} | \text{prime 3 N}) = \frac{82}{97} \)
\( P(\text{5ª N} | \text{prime 4 N}) = \frac{81}{96} \)
\( P(\text{6ª N} | \text{prime 5 N}) = \frac{80}{95} \)
\( P(\text{7ª B} | \text{prime 6 N}) = \frac{15}{94} \)
La probabilità cercata è il prodotto della sequenza:
\[ P = \frac{85}{100} \cdot \frac{84}{99} \cdot \frac{83}{98} \cdot \frac{82}{97} \cdot \frac{81}{96} \cdot \frac{80}{95} \cdot \frac{15}{94} \]
\[ P = \frac{85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80 \cdot 15}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94} \]
Eseguendo il calcolo completo:
\[ P = \frac{3.724.233.840.000}{66.444.034.320.000} \approx 0{,}05605 \]
Risposta b): \( P \approx 5{,}605\% \)
Nota: Utilizzo delle disposizioni semplici
Possiamo giungere allo stesso risultato considerando il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili attraverso le disposizioni:
\[ P = \frac{D_{85,6} \cdot 15}{D_{100,7}} = \frac{(85 \cdot 84 \cdot 83 \cdot 82 \cdot 81 \cdot 80) \cdot 15}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 \cdot 95 \cdot 94} \approx 5{,}605\% \]
Questo significa che:
1. Probabilità delle prime 10 estrazioni (Distribuzione Ipergeometrica):
Calcoliamo la probabilità di avere esattamente 6 bianche su 10 estratte:
\[ P_{10} = \frac{\binom{15}{6} \cdot \binom{85}{4}}{\binom{100}{10}} \]
Dove:
2. Probabilità dell'11ª estrazione:
Dopo 10 estrazioni (di cui 6 bianche), nell'urna rimangono 90 palline totali e \( 15 - 6 = 9 \) palline bianche.
\[ P_{11} = \frac{9}{90} = 0,1 \]
Calcolo Finale:
\[ P = P_{10} \cdot P_{11} = \frac{5005 \cdot 2019785}{17310309456440} \cdot 0,1 \approx 0{,}00584 \]
Risposta c): \( P \approx 0{,}584\% \)
Il numero totale di modi di estrarre 3 palline da 100 è:
\[ \binom{100}{3} = \frac{100!}{3! \cdot 97!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{970200}{6} = 161700 \]
Il numero di modi di scegliere 3 palline bianche tra le 15 disponibili è:
\[ \binom{15}{3} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2730}{6} = 455 \]
La probabilità è:
\[ P(\text{3 bianche}) = \frac{\binom{15}{3}}{\binom{100}{3}} = \frac{455}{161700} = \frac{91}{32340} \approx 0{,}00281 \]
Risposta d): \( P = \frac{91}{32340} \approx 0{,}281\% \)
Dobbiamo scegliere 2 palline bianche tra 15 e 1 pallina non bianca tra 85:
\[ \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105 \]
\[ \binom{85}{1} = 85 \]
Il numero di casi favorevoli è:
\[ \binom{15}{2} \cdot \binom{85}{1} = 105 \cdot 85 = 8925 \]
La probabilità è:
\[ P(\text{2 bianche}) = \frac{8925}{161700} = \frac{1785}{32340} \approx 0{,}05520 \]
Risposta e): \( P = \frac{1785}{32340} \approx 5{,}52\% \)
Dobbiamo scegliere 3 palline non bianche tra le 85 disponibili:
\[ \binom{85}{3} = \frac{85 \cdot 84 \cdot 83}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{592620}{6} = 98770 \]
La probabilità è:
\[ P(\text{0 bianche}) = \frac{\binom{85}{3}}{\binom{100}{3}} = \frac{98770}{161700} = \frac{19754}{32340} \approx 0{,}61085 \]
Risposta f): \( P = \frac{19754}{32340} \approx 61{,}09\% \)
Una macchina produce pezzi meccanici. Ogni pezzo prodotto ha una probabilità \( 0 < p < 1 \) di essere funzionante e probabilità \( q = 1 - p \) di essere difettoso.
a) Presi a caso \( k \) pezzi prodotti, si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
b) Per ogni \( k \) si determini \( p \) in modo tale che \( P(E_1) = P(E_2) \).
c) Per \( p = 0,6 \) si calcoli la probabilità dell’evento:
\( E_4 \): il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione.
d) Per \( p = 9/10 \) si calcoli la probabilità dell’evento:
\( E_5 \): si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti.
Consideriamo il processo di produzione come una serie di prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo (pezzo funzionante) \( p \) e probabilità di insuccesso (pezzo difettoso) \( q = 1 - p \).
Utilizziamo la distribuzione binomiale per calcolare gli eventi su \( k \) pezzi:
Impostiamo l'equazione basandoci sulle espressioni trovate al punto precedente:
\[ p^k = k \cdot p^{k-1} \cdot (1-p) \]
Poiché \( 0 < p < 1 \), possiamo dividere entrambi i membri per \( p^{k-1} \):
\[ p = k(1-p) \] \[ p = k - kp \implies p + kp = k \] \[ p(1+k) = k \]
Risultato b): La probabilità cercata è \( p = \frac{k}{k+1} \)
L'evento \( E_4 \) richiede una sequenza ordinata specifica: i primi 9 pezzi devono essere funzionanti (\( p \)) e il decimo deve essere difettoso (\( q \)).
\[ P(E_4) = p^9 \cdot (1-p) \]
Sostituendo \( p = 0,6 \):
\[ P(E_4) = (0,6)^9 \cdot 0,4 \approx 0,010077 \cdot 0,4 \approx 0,00403 \]
Risposta c): \( P(E_4) \approx 0,403\% \)
L'evento "al massimo uno" si ottiene sommando la probabilità di 0 difettosi e la probabilità di 1 difettoso (usando \( k=10 \)):
\[ P(E_5) = P(\text{0 difettosi}) + P(\text{1 difettoso}) \] \[ P(E_5) = p^{10} + 10 \cdot p^9 \cdot (1-p) \]
Sostituendo \( p = 0,9 \) e \( (1-p) = 0,1 \):
\[ P(E_5) = (0,9)^{10} + 10 \cdot (0,9)^9 \cdot 0,1 \] \[ P(E_5) = (0,9)^{10} + (0,9)^9 \]
Raccogliendo \( (0,9)^9 \):
\[ P(E_5) = (0,9)^9 \cdot (0,9 + 1) = (0,9)^9 \cdot 1,9 \approx 0,3874 \cdot 1,9 \approx 0,7361 \]
Risposta d): \( P(E_5) \approx 73,61\% \)
Un'urna contiene 20 palline di cui 6 bianche, 10 rosse e 4 verdi. Si estraggono contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che esse siano:
L'estrazione contemporanea di due palline equivale a un'estrazione sequenziale senza reimbussolamento in cui l'ordine non conta. Utilizzeremo il calcolo combinatorio (combinazioni semplici) per risolvere i due punti.
Casi possibili totali:
Il numero totale di modi per estrarre 2 palline da un totale di 20 è dato dalle combinazioni di 20 elementi presi a 2 a 2:
\[ n = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190 \]
Casi favorevoli:
Dobbiamo scegliere 2 palline bianche tra le 6 disponibili nell'urna:
\[ f_a = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]
Calcolo probabilità:
\[ P(A) = \frac{f_a}{n} = \frac{15}{190} \]
Semplificando per 5:
Risposta a): \( P = \frac{3}{38} \approx 0,0789 \approx 7,89\% \)
Casi favorevoli:
Dobbiamo scegliere 1 pallina rossa tra le 10 disponibili E 1 pallina verde tra le 4 disponibili:
\[ f_b = \binom{10}{1} \cdot \binom{4}{1} = 10 \cdot 4 = 40 \]
Calcolo probabilità:
\[ P(B) = \frac{f_b}{n} = \frac{40}{190} \]
Semplificando per 10:
Risposta b): \( P = \frac{4}{19} \approx 0,2105 \approx 21,05\% \)
Un'urna contiene 30 palline delle quali 10 blu, 15 gialle e 5 nere. Si effettuano due estrazioni. Calcolare la probabilità che le due palline siano:
Analizzare i due casi: 1) Con reimbussolamento e 2) Senza reimbussolamento.
Dati iniziali: Totale palline \( N = 30 \). Blu (B) = 10, Gialle (G) = 15, Nere (n) = 5.
La composizione dell'urna non cambia tra la prima e la seconda estrazione.
La seconda estrazione avviene su un totale di 29 palline.
Poiché le estrazioni avvengono senza reimbussolamento e l’ordine non conta, è possibile utilizzare il calcolo combinatorio.
Il numero totale di coppie estraibili è: \[ \binom{30}{2} = 435 \]
Osservazione: Senza reimbussolamento, la probabilità di ottenere lo stesso colore diminuisce (perché togliamo una pallina "favorevole"), mentre aumenta quella di ottenere colori diversi.
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