Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

**Analisi della continuità nel dominio:**

• Per **\(x \lt 0\)**, la funzione è \(f(x) = x + k\). Questa è una funzione polinomiale (una retta), che è **continua** su tutto \(\mathbb{R}\), quindi è continua per \(x < 0\).
• Per **\(x > 0\)**, la funzione è \(f(x) = \frac{1-\cos(\sqrt{x})}{x}\). Questa è il quoziente di funzioni continue (\(1-\cos(\sqrt{x})\) e \(x\)) e il denominatore \(x\) non si annulla nell'intervallo \((0, +\infty)\). Inoltre, l'argomento della radice quadrata (\(x\)) è sempre non negativo. Dunque, la funzione è **continua** per \(x > 0\).

Per garantire che la funzione sia **continua** su tutto il suo dominio \( (-\infty, +\infty) \), dobbiamo solo assicurarci che sia continua nel **punto di raccordo** \(x=0\), dove cambia la sua definizione.

Una funzione definita a tratti è continua nel punto di raccordo \(x_0\) se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. Esiste \(f(x_0)\).
2. Esiste finito \(\lim_{x \to x_0} f(x)\), ovvero \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L\).
3. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).

Nel nostro caso, il punto di raccordo è \(x_0=0\).

1. Calcolo del Valore della Funzione in \(x=0\)

Usiamo la definizione per \(x \le 0\):

\[ f(0) = 0 + k = k \]

2. Calcolo del Limite Sinistro (\(x \to 0^-\))

Usiamo la definizione per \(x \le 0\):

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + k) = 0 + k = k \]

3. Calcolo del Limite Destro (\(x \to 0^+\))

Usiamo la definizione per \(x > 0\):

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1-\cos(\sqrt{x})}{x} \]

Questo limite si presenta nella **forma indeterminata \(\frac{0}{0}\)**. Possiamo risolverlo utilizzando il **limite notevole** del coseno:

\[ \lim_{y \to 0} \frac{1-\cos(y)}{y^2} = \frac{1}{2} \]

Per applicare il limite notevole alla nostra funzione, dobbiamo manipolare l'espressione in modo da avere al denominatore il quadrato dell'argomento del coseno, che in questo caso è \(\sqrt{x}\). Notiamo che il denominatore desiderato è \((\sqrt{x})^2 = x\), che è già presente. Ponendo \(y = \sqrt{x}\), quando \(x \to 0^+\), anche \(y \to 0^+\). Dunque:

\[ \lim_{y \to 0^+} \frac{1-\cos(y)}{y^2} = \frac{1}{2} \]

Pertanto, il limite destro è:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2} \]

4. Condizione di Continuità

Affinché la funzione sia continua in \(x=0\), i limiti destro e sinistro (e il valore della funzione) devono essere uguali:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \]

Sostituendo i valori trovati:

\[ k = \frac{1}{2} = k \]

Il valore del parametro che garantisce la continuità della funzione in \(x=0\) è:

\[ k = \frac{1}{2} \]

Soluzione Esercizio 2

La funzione è un quoziente di funzioni continue, quindi i punti di discontinuità si trovano dove il denominatore si annulla. Poniamo il denominatore uguale a zero: \[ x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(1 - x) = 0 \] I punti in cui la funzione è discontinua sono \(x=0\) e \(x=1\).

Analisi del Punto di Discontinuità \(x=0\)

Calcoliamo il limite della funzione per \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x-1}-1)\cdot\sin(x)}{x^2(1-x)} \] Questo limite si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\) poiché \(e^{0-1}-1 = e^{-1}-1 \neq 0\).
**ATTENZIONE:** Calcolando il numeratore per \(x \to 0\): \[ \lim_{x \to 0} (e^{x-1}-1)\cdot\sin(x) = (e^{0-1} - 1) \cdot \sin(0) = \left(\frac{1}{e} - 1\right) \cdot 0 = 0 \] Il limite è effettivamente una forma indeterminata \(\frac{0}{0}\).

Per risolvere l'indeterminazione, usiamo i limiti notevoli, in particolare \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). Riscriviamo la funzione fattorizzando: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x-1}-1}{1-x} \right) \cdot \frac{\sin(x)}{x^2} \] Il primo fattore è continuo in \(x=0\): \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x-1}-1}{1-x} = \frac{e^{0-1}-1}{1-0} = e^{-1}-1 = \frac{1}{e}-1 \] Analizziamo il secondo fattore: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \cdot \frac{1}{x} \right) \] Poiché \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\), il limite diventa: \[ \lim_{x \to 0} \left( 1 \cdot \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \] Questo limite è infinito: \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\) e \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\).

**Conclusione per \(x=0\):** Il limite totale per \(x \to 0\) è dato da: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \left( \frac{1}{e} - 1 \right) \cdot (\pm \infty) \] Poiché \(\frac{1}{e} \approx 0.368\), allora \(\left( \frac{1}{e} - 1 \right)\) è un valore **negativo**. Quindi: \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = (\text{negativo}) \cdot (+\infty) = -\infty \] \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = (\text{negativo}) \cdot (-\infty) = +\infty \] Poiché i limiti laterali sono infiniti, il punto \(x=0\) è una **Discontinuità di Seconda specie** (Asintoto Verticale).

Analisi del Punto di Discontinuità \(x=1\)

Calcoliamo il limite della funzione per \(x \to 1\). Sostituendo \(x=1\) nel numeratore: \[ (e^{1-1}-1)\cdot\sin(1) = (e^0 - 1) \cdot \sin(1) = (1 - 1) \cdot \sin(1) = 0 \] Quindi, il limite è nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Usiamo un cambio di variabile: poniamo \(y = x - 1\), da cui \(x = y + 1\). Se \(x \to 1\), allora \(y \to 0\). \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{y \to 0} \frac{(e^y-1)\cdot\sin(y+1)}{(y+1)^2 - (y+1)^3} \] Concentriamoci sul denominatore: \[ x^2 - x^3 = x^2(1-x) \] Per \(x \to 1\), \(x^2 \to 1^2 = 1\) e \((1-x) \to 0\). Il limite si riscrive come: \[ \lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1}-1}{1-x} \cdot \frac{\sin(x)}{x^2} \]

Analizziamo separatamente i due fattori:

1. **Secondo Fattore (\(x \to 1\)):** \[ \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x)}{x^2} = \frac{\sin(1)}{1^2} = \sin(1) \] (Questo è un valore finito, poiché \(\sin(1)\) è il seno di 1 radiante).
2. **Primo Fattore (\(x \to 1\)):** \[ \lim_{x \to 1} \frac{e^{x-1}-1}{1-x} \] Usiamo il cambio di variabile \(y = x-1 \implies 1-x = -y\). Se \(x \to 1\), \(y \to 0\): \[ \lim_{y \to 0} \frac{e^y-1}{-y} = - \lim_{y \to 0} \frac{e^y-1}{y} \] Usando il limite notevole \(\lim_{y \to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1\), otteniamo: \[ -1 \]

**Conclusione per \(x=1\):** Il limite totale è: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = (-1) \cdot \sin(1) = -\sin(1) \] Poiché il limite in \(x=1\) è finito, ma la funzione non è definita in quel punto, il punto \(x=1\) è una **Discontinuità Eliminabile** (o di Terza specie).

Riepilogo

La funzione presenta:

• In \(x=0\): **Discontinuità di Seconda specie**.
• In \(x=1\): **Discontinuità Eliminabile**.

Soluzione Esercizio 3

Una funzione \(f(x)\) è un infinitesimo di ordine \(\alpha\) rispetto all'infinitesimo campione \(g(x)=x\) per \(x \to 0\) se il limite del loro rapporto è finito e diverso da zero:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^\alpha} = L \quad \text{con } L \in \mathbb{R}, L \neq 0 \]

Nel nostro caso, vogliamo che l'ordine sia \(\alpha=4\).

1. Determinazione dell'Ordine di Infinitesimo

Poiché \(k\) deve essere **positivo** (come richiesto dal testo), possiamo utilizzare il **principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti** (basato sui limiti notevoli) per \(x \to 0\):

• **Primo fattore:** \(e^{3x}-1 \sim 3x\) (poiché \(\lim_{y \to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1\), con \(y=3x\)).
• **Secondo fattore:** \(\ln(1+3x^k) \sim 3x^k\) (poiché \(\lim_{y \to 0} \frac{\ln(1+y)}{y} = 1\), con \(y=3x^k\)).

Sostituendo le equivalenze asintotiche nella funzione \(f(x)\):

\[ f(x) \sim (3x) \cdot (3x^k) \] \[ f(x) \sim 9x^{1+k} \]

Affinché \(f(x)\) sia un infinitesimo di ordine 4, l'esponente del termine equivalente \(x^{1+k}\) deve essere uguale a 4:

\[ 1 + k = 4 \]

**Valore del parametro:**

\[ k = 4 - 1 = 3 \]

Il valore \(k=3\) è positivo, come richiesto.

2. Parte Principale

Sostituendo \(k=3\), la funzione \(f(x)\) è equivalente a \(9x^4\). La **parte principale** di \(f(x)\) rispetto all'infinitesimo campione \(g(x)=x\) è il termine equivalente **\(9x^4\)**. (Il coefficiente 9 è il limite \(L\) del rapporto \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^4} = 9\)).

Soluzione Esercizio 4

Innanzitutto, riscriviamo la funzione sfruttando l'identità \(\sqrt{x^2} = |x|\):

\[ f(x)=\frac{|x|}{x-1} = \begin{cases} \frac{x}{x-1} & \text{se } x \ge 0 \\ \frac{-x}{x-1} & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

1. Dominio e Parità/Disparità

Il dominio è definito per \(x \neq 1\). Il Dominio \(D = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\) **non è simmetrico** rispetto all'origine, quindi la funzione **non è né pari né dispari**.

2. Intersezioni e Segno della Funzione

Intersezione con gli assi solo in \(O(0, 0)\). La funzione è **positiva** per \(x > 1\) e **negativa** per \(x < 1\) e \(x \neq 0\).

3. Limiti agli Estremi del Dominio

\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty \] \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 \]

4. Asintoti

**Asintoto Verticale:** \(x=1\). **Asintoti Orizzontali:** \(y=1\) (per \(x \to +\infty\)) e \(y=-1\) (per \(x \to -\infty\)).

5. Continuità e Derivabilità in \(x=0\)

**Continuità:** \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0\), \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0\), \(f(0)=0\). La funzione è **continua** in \(x=0\).
**Derivabilità:** Le derivate laterali sono: \[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = -1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = 1 \] Poiché \(1 \neq -1\), la funzione **non è derivabile** in \(x=0\), che è un **punto angoloso**. Le equazioni delle tangenti in \(O(0, 0)\) sono \(y = -x\) (tangente destra) e \(y = x\) (tangente sinistra).

6. Grafico della Funzione

La funzione è l'unione di due rami di iperbole (funzioni omografiche), analizzati tramite il loro centro \(C=(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})\) della forma \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\).

**Ramo 1: Per \(x \ge 0\) e \(x \neq 1\)** \[ f_1(x) = \frac{1x+0}{1x-1} \quad (\text{con } a=1, b=0, c=1, d=-1) \] * **Centro \(C_1\):** \(C_1 = \left(-\frac{-1}{1}, \frac{1}{1}\right) = (1, 1)\). * **Asintoti:** Asintoto Verticale \(x=1\). Asintoto Orizzontale \(y=1\). * **Punto:** Intersezione con l'asse \(y\): \(f_1(0) = 0\). Passa per \(O(0, 0)\).

**Ramo 2: Per \(x < 0\)** \[ f_2(x) = \frac{-1x+0}{1x-1} \quad (\text{con } a=-1, b=0, c=1, d=-1) \] * **Centro \(C_2\):** \(C_2 = \left(-\frac{-1}{1}, \frac{-1}{1}\right) = (1, -1)\). * **Asintoti:** Asintoto Verticale \(x=1\). Asintoto Orizzontale \(y=-1\). * **Punto:** Ponendo \(x=-1\), \(f_2(-1) = \frac{1}{-2}\). Passa per \((-1, -1/2)\). (Passa anche per \(O(0, 0)\)).

7. Calcolo di Perimetro e Area del Triangolo OAB

**Determinazione dei Punti:**

• **O:** Origine degli assi cartesiani: \(O=(0, 0)\).
• **B:** Intersezione tra l'asintoto verticale (\(x=1\)) e l'asintoto orizzontale (\(y=1\)) nel primo quadrante. \(\mathbf{B=(1, 1)}\).
• **A:** Intersezione del grafico con la retta \(y=-1\). Cerchiamo \(f(x) = -1\) nel ramo \(x \ge 0\): \[ \frac{x}{x-1} = -1 \implies x = -x + 1 \implies 2x = 1 \implies x = 1/2 \] Il punto di intersezione corretto è: \(\mathbf{A=(1/2, -1)}\).

I vertici del triangolo sono: \(O(0, 0)\), \(B(1, 1)\), \(A(1/2, -1)\).

Grafico col triangolo :

**Area (Metodo Base-Altezza):**

1. **Base \(OB\):** Calcoliamo la lunghezza del lato \(OB\). \[ \text{Base } OB = d(O, B) = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} \]
2. **Altezza \(h\):** L'altezza è la distanza del vertice \(A(1/2, -1)\) dalla retta passante per \(O\) e \(B\). * L'equazione della retta \(OB\) è \(y = x\), ovvero in forma implicita: \(x - y = 0\). * Applichiamo la formula della distanza punto-retta: \(h = \frac{|1(\frac{1}{2}) + (-1)(-1) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)
3. **Area:** \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \text{Base} \cdot \text{Altezza} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3}{4} \]

Il valore esatto è \(\frac{3}{4}\), che in forma decimale è **0.75**.

**Perimetro:**

Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati \(OA\), \(OB\) e \(AB\):

• Lato \(OA = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)
• Lato \(OB = \sqrt{2}\)
• Lato \(AB = \sqrt{(1 - \frac{1}{2})^2 + (1 - (-1))^2} = \frac{\sqrt{17}}{2}\)

\[ \text{Perimetro} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} \]

* Valori approssimati: \(\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118\), \(\sqrt{2} \approx 1.414\), \(\frac{\sqrt{17}}{2} \approx 2.062\).

* Perimetro \(\approx 1.118 + 1.414 + 2.062 = 4.594\).

Il perimetro esatto è \(\frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{2} + \sqrt{17}}{2}\), e il suo valore approssimato è **4.59**.

Soluzione Esercizio 5

1. Dimostrazione dell'esistenza di almeno una soluzione (Teorema degli Zeri)

Consideriamo la funzione \(h(x) = e^x - x - 2\). Trovare le soluzioni dell'equazione equivale a trovare gli zeri di \(h(x)\).
La funzione \(h(x)\) è **continua** su tutto \(\mathbb{R}\) in quanto somma di funzioni elementari (esponenziale e polinomio) continue.
Cerchiamo un intervallo \([a, b]\) in cui \(h(x)\) cambi segno:

• Per \(x=0\): \[ h(0) = e^0 - 0 - 2 = 1 - 2 = -1 \]
• Per \(x=2\): \[ h(2) = e^2 - 2 - 2 = e^2 - 4 \approx 3.389 \]

Poiché \(h(0) = -1 < 0\) e \(h(2) = e^2 - 4 > 0\), la funzione \(h(x)\) cambia segno nell'intervallo \([0, 2]\). Per il **Teorema degli Zeri**, l'equazione ammette **almeno una soluzione** nell'intervallo \((0, 2)\).

---

2. Confronto Grafico

Riscriviamo l'equazione nella forma \(e^x = x + 2\). Le soluzioni sono le ascisse dei punti di intersezione tra le due funzioni elementari:

\[ f(x) = e^x \quad \text{e} \quad g(x) = x + 2 \]

Rappresentando le funzioni nello stesso piano cartesiano, si osserva che:

• La curva esponenziale \(f(x) = e^x\) cresce rapidamente, passando per \((0, 1)\).
• La retta \(g(x) = x+2\) ha intercetta \(y=2\) e pendenza 1.

Grafico:

I grafici si intersecano in **due punti**:

• Una soluzione negativa (vicina a \(x=-2\)).
• Una soluzione positiva, \(\mathbf{\alpha}\) (già localizzata in \((0, 2)\)).

---

3. Ricerca di \(\alpha\) approssimato a meno di un decimo

Per determinare \(\alpha\) approssimato a meno di un decimo, cerchiamo l'intervallo di ampiezza 0.1 in cui la funzione \(h(x) = e^x - (x+2)\) cambia segno.
Dai calcoli precedenti, sappiamo che \(h(1) \approx -0.282\) e \(h(2) \approx 3.389\). La soluzione \(\alpha\) è compresa tra 1 e 2.
**Tabulazione e confronto dei valori di \(f(x)\) e \(g(x)\) con passo \(\Delta x = 0.1\):**

\(x\)	\(f(x) = e^x\) (approx.)	\(g(x) = x+2\)	\(h(x) = f(x) - g(x)\)
1.0	2.718	3.0	\(-0.282\)
1.1	3.004	3.1	\(-0.096\)
1.2	3.320	3.2	\(\mathbf{+0.120}\)

Poiché \(h(x)\) cambia segno tra \(x=1.1\) (negativo) e \(x=1.2\) (positivo), la soluzione \(\alpha\) si trova nell'intervallo \([1.1, 1.2]\).
Il valore di \(\alpha\) approssimato per difetto a meno di un decimo è:

\[ \mathbf{\alpha \approx 1.1} \]