Soluzione Esercizio 4
a) Equazioni della Trasformazione
Sostituendo le coordinate dei punti \(A(1, 1) \to A'(0, 2)\) e \(B(1, 0) \to B'(1, 0)\) nel sistema si ottengono i parametri \(\mathbf{a=1}\), \(\mathbf{b=-1}\), \(\mathbf{a'=0}\), \(\mathbf{b'=2}\).
Le equazioni della trasformazione sono:
\[
\begin{cases}
X = x - y \\
Y = 2y
\end{cases}
\]
b) Studio della Trasformazione
Classificazione
La matrice della trasformazione è \(M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Il suo determinante è:
\(\det(M) = (1)(2) - (-1)(0) = 2\)
Poiché \(\det(M) \neq 0\), la trasformazione non è degenere ed è un'**affinità**.
Poiché il determinante \(\det(M) = 2 \neq \pm 1\), **l'affinità non è un'isometria** (che conserva le distanze e richiede \(\det(M) = \pm 1\)).
Inoltre, **non è una similitudine**, poiché la matrice di una similitudine deve essere del tipo:
\[ M_{\text{sim}} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \quad \text{o} \quad M_{\text{sim}} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \]
dove \(a\) e \(b\) sono costanti reali, con \(a^2+b^2 \neq 0\). La matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) data non rispetta queste condizioni. Di conseguenza, non essendo una similitudine, non è nemmeno un'omotetia.
Il **Rapporto di Affinità** \(k\) è \(k = |\det(M)| = 2\). Pertanto, è un'**affinità generica**.
Punti Uniti (Punti Fissi)
I punti uniti \(P(x, y)\) coincidono con la loro immagine \(P'(X, Y)\), quindi \(\begin{cases} x = x - y \\ y = 2y \end{cases}\). Entrambe le equazioni implicano \(y=0\). I punti uniti sono i punti della retta \(y=0\), ovvero **l'asse delle ascisse**.
Rette Unite (Rette Fisse)
Una retta \(r: y = mx + q\) è unita se la sua immagine \(r': Y = m'X + q'\) coincide con \(r\). [...] Le soluzioni sono \(m=0\) (che implica \(q=0\)) e \(m=-1\) (per ogni \(q \in \mathbb{R}\)).
Le rette unite sono l'**asse delle ascisse** (\(\mathbf{y=0}\)) e tutte le rette parallele a **\(y=-x\)** (\(\mathbf{y=-x+q}\)).
c) Funzione \(y = \tan(\alpha)\)
La retta \(r: y=mx\) ha come trasformata \(r': Y = m'X\), con pendenza \(m' = \frac{2m}{1-m}\).
L'angolo \(\alpha\) tra \(r\) e \(r'\) è dato da \(\tan(\alpha) = \left| \frac{m' - m}{1 + m'm} \right|\). Sostituendo si ottiene:
\[
y = \tan(\alpha) = \mathbf{\frac{|m(m+1)|}{2m^2 - m + 1}}
\]
d) Studio e Rappresentazione Qualitativa di \(y=f(m)\) per \(\mathbf{m \ge 0}\)
Studiamo la funzione \(f(m) = \frac{|m(m+1)|}{2m^2 - m + 1}\) nell'intervallo \(\mathbf{[0, +\infty)}\). Poiché in questo intervallo \(m \ge 0\) e \((m+1) \gt 0\), il numeratore è sempre positivo o nullo, e l'espressione diventa:
\[ f(m) = \frac{m^2 + m}{2m^2 - m + 1} \quad \text{per } m \ge 0 \]
1. Dominio e Zeri
Il dominio di studio è \(\mathbf{[0, +\infty)}\). Il valore di partenza è \(\mathbf{f(0) = 0}\), che corrisponde all'origine \((0, 0)\). La funzione non ha altri zeri per \(m \gt 0\).
2. Asintoto Orizzontale
Il limite per \(m \to + \infty\) è dato dal rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo:
\[
\lim_{m \to + \infty} f(m) = \frac{1}{2}
\]
La funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione \(\mathbf{y = \frac{1}{2}}\) per \(m \to +\infty\).
3. Segno
La funzione è sempre positiva o nulla, in quanto il denominatore è positivo o nullo ed il denominatore è sempre positivo:
Rappresentazione Qualitativa (\(m \ge 0\))
Il grafico di \(y=f(m)\) per \(m \ge 0\) è una curva che parte da \(\mathbf{(0, 0)}\), cresce fino a raggiungere un massimo massimo assoluto, e decresce asintoticamente verso la retta \(\mathbf{y = 1/2}\).
Grafico qualitativo:
