Compito in Classe di Matematica

Soluzione Esercizio 1

Per definire una funzione che soddisfi tutte le condizioni richieste, usiamo una funzione definita a tratti.

**Funzione di Esempio Proposta:** \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x} & \text{se } x < 2, x \neq 0 \\ 5 & \text{se } x = 0 \\ 4 & \text{se } 2 \leq x < 4 \\ \frac{1}{x-4} & \text{se } x > 4 \end{cases} \]

Il grafico della funzione è il seguente:

**Verifica delle Discontinuità:**

1. **In \(x=0\) (Discontinuità Eliminabile):**
   \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0 \] Il valore della funzione è \(f(0) = 5\).
   Poiché \(\lim_{x \to 0} f(x)\) è finito ma \(\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)\), la discontinuità è **Eliminabile**.
2. **In \(x=2\) (Discontinuità di Prima specie - Salto=2):**
   Calcoliamo i limiti destro e sinistro in \(x=2\): \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{x} = 2 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 4 = 4 \] Il Salto è esattamente: \[ | \lim_{x \to 2^+} f(x) - \lim_{x \to 2^-} f(x) | = |4 - 2| = 2 \] I limiti sono finiti e il salto è 2, come richiesto. La discontinuità è di **Prima specie**.
3. **In \(x=4\) (Discontinuità di Seconda specie):**
   La funzione presenta un asintoto verticale in \(x=4\): \[ \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{1}{x-4} = +\infty \] Poiché il limite destro è infinito, la discontinuità è di **Seconda specie**.

Soluzione Esercizio 2

L'indeterminazione del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\) per \(x \to +\infty\) in un rapporto di polinomi \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) si risolve confrontando il grado del numeratore \(n\) e il grado del denominatore \(m\).

1. **Caso: Limite uguale a Zero (\(0\))**
   Ciò avviene quando il grado del numeratore è **minore** del grado del denominatore (\(n < m\)).

   **Esempio:** \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 4x} \] **Motivazione:** Il grado del numeratore (\(n=2\)) è minore del grado del denominatore (\(m=3\)). \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 4x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \]

2. **Caso: Limite uguale a un valore finito diverso da zero (\(2\))**
   Ciò avviene quando il grado del numeratore è **uguale** al grado del denominatore (\(n = m\)). Il limite è dato dal rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo.

   **Esempio:** \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x^2}{x^3 + 5} \] **Motivazione:** I gradi sono uguali (\(n=3\) e \(m=3\)). Il limite è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x^2}{x^3 + 5} = \frac{2}{1} = 2 \]

3. **Caso: Limite uguale a Meno Infinito (\(-\infty\))**
   Ciò avviene quando il grado del numeratore è **maggiore** del grado del denominatore (\(n > m\)), e il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo è **negativo**.

   **Esempio:** \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^4 + 3x}{x^2 + 1} \] **Motivazione:** Il grado del numeratore (\(n=4\)) è maggiore del grado del denominatore (\(m=2\)). Il limite è dato dal segno del rapporto tra i coefficienti di grado massimo (\(\frac{-1}{1} = -1\)) moltiplicato per \(\lim_{x \to +\infty} x^{4-2} = +\infty\). \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^4 + 3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^4}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} (-x^2) = -\infty \]

Soluzione Esercizio 3

La risposta è **sì**, il limite della somma può esistere. Questo accade quando le singole funzioni, pur non avendo limite, presentano un comportamento (come oscillazioni o divergenze) che si **compensa** esattamente quando vengono sommate.

**Controesempio (Uso delle Funzioni Trigonometriche):**

Consideriamo le seguenti due funzioni per \( x \to +\infty \), sfruttando l'Identità Fondamentale della Trigonometria: \[ f(x) = \sin^2(x) \] \[ g(x) = \cos^2(x) \]

• Il limite di \( f(x) = \sin^2(x) \) per \( x \to +\infty \) **non esiste** (la funzione oscilla indefinitamente tra 0 e 1).
• Il limite di \( g(x) = \cos^2(x) \) per \( x \to +\infty \) **non esiste** (la funzione oscilla indefinitamente tra 0 e 1).
• Tuttavia, il limite della somma esiste: \[ \lim_{x \to +\infty} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to +\infty} [\sin^2(x) + \cos^2(x)] \] Per l'Identità Fondamentale, \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) per ogni \(x\). \[ \lim_{x \to +\infty} 1 = 1 \]

In questo caso, i limiti delle singole funzioni non esistono, ma il limite della loro somma esiste ed è pari a 1, dimostrando che la premessa del problema è possibile.

Soluzione Esercizio 4

Per costruire il grafico richiesto, dobbiamo combinare le cinque condizioni, prestando particolare attenzione all'ultima: la **parità**.

Una funzione **pari** (\(f(-x) = f(x)\)) è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (\(y\)). Ciò significa che tutte le proprietà definite per \(x > 0\) devono riflettersi simmetricamente per \(x < 0\).

1. **Asintoto Verticale in \(x=0\):** La condizione d) (\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)) implica che la retta \(x=0\) (l'asse \(y\)) è un asintoto verticale. A causa della simmetria (condizione e), avremo anche \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\). Il dominio sarà \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
2. **Asintoto Orizzontale \(y=1\):** La condizione b) impone che \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1\). A causa della simmetria, avremo anche \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1\).
3. **Massimo in \(x=3\):** La condizione c) stabilisce un massimo nel punto \((3, 2)\). Per simmetria, la funzione deve avere un altro massimo nel punto \((-3, 2)\).
4. **Segno:** La condizione a) stabilisce che \(f(x) > 0\) per \(x > 1\). Per simmetria, la funzione sarà positiva anche per \(x < -1\). Quindi, la funzione sarà negativa nell'intervallo \((-1, 1)\) escluso lo zero. Le intersezioni con l'asse \(x\) avvengono in \(x=1\) e \(x=-1\).

**Descrizione Grafica:**
Il grafico parte da \(y=1\) per \(x \to -\infty\), interseca l'asse \(x\) in \((-1, 0)\), scende al minimo locale (che deve trovarsi in \((-\bar{x}, y_{\min})\) con \(0 < \bar{x} < 1\)), sale fino a \(+\infty\) avvicinandosi all'asse \(y\). Riparte da \(-\infty\) sull'altro lato dell'asse \(y\), sale fino al massimo in \((3, 2)\), e poi scende gradualmente avvicinandosi asintoticamente alla retta \(y=1\) per \(x \to +\infty\). *Nota: Se la funzione è pari, il massimo in \(x=3\) deve avere un minimo locale (non assoluto) tra \(x=0\) e \(x=1\). Tuttavia, analizzando le condizioni, si ricava una forma a "montagna" con due picchi (massimi) e una valle in \(x=0\), il che è più coerente con i vincoli.*

Soluzione Esercizio 5

Se \(g(x)\) è la funzione inversa di \(f(x)\), c'è una relazione fondamentale tra i loro limiti: un limite di \(f(x)\) in un punto \(a\) che dà un risultato \(b\) si inverte per \(g(x)\) come un limite per \(x\) che tende a \(b\) e dà come risultato \(a\). \[ \lim_{x \to a} f(x) = b \implies \lim_{y \to b} g(y) = a \]

Nel caso specifico, abbiamo \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \). Invertendo i ruoli del punto di accumulazione e del risultato: \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0^+ \] Poiché \(f(x)\) tende a \(+\infty\) mentre \(x\) si avvicina a \(0\) da **destra** (\(0^+\)), la funzione inversa \(g(x)\) si avvicinerà a \(0\) da **sopra** (ovvero \(0^+\)) quando \(x\) tende a \(+\infty\).
Quindi, il limite per \(x\) che tende a \(+\infty\) di \(g(x)\) è pari a **\(0^+\)**.

**Motivazione:** La condizione \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\) significa che l'asse \(y\) (\(x=0\)) è un **asintoto verticale** per \(f(x)\). Per la funzione inversa \(g(x)\), ogni asintoto verticale di \(f(x)\) si trasforma in un **asintoto orizzontale**. L'equazione dell'asintoto per \(g(x)\) sarà \(y=0\), cioè l'asse \(x\).

**Esempio Analitico e Grafico:**
Consideriamo la seguente funzione logaritmica: \[ f(x) = \log_{1/2}(x) \] La sua funzione inversa è la funzione esponenziale con la stessa base: \[ g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \] **Verifica del Limite per \(f(x)\):** \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \log_{1/2}(x) = +\infty \] **Verifica del Limite per \(g(x)\):** \[ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 0^+ \] Il risultato analitico conferma il principio.

**Simmetria Grafica:** I grafici di \(f(x) = \log_{1/2}(x)\) e \(g(x) = (1/2)^x\) sono **simmetrici** tra loro rispetto alla retta **\(y=x\)**. La simmetria geometrica riflette lo scambio algebrico tra dominio/immagine e tra asintoti verticale/orizzontale.

Grafico di \(f(x)\) e \(g(x)\) (riflesso rispetto a \(y=x\)):

Soluzione Esercizio 6

a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\tan(x))}{e^{2x}-1}\)
Si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Utilizziamo gli asintotici per \(x \to 0\): \(\ln(1+\tan(x)) \sim \tan(x) \sim x\) e \(e^{2x}-1 \sim 2x\). \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\tan(x))}{e^{2x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \]

b) \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x}\right)\)

Si presenta nella forma indeterminata \(\infty - \infty\). Raccogliamo il termine dominante (\(x^2\)) sotto radice: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x} = \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{1+\frac{1}{x}} - \sqrt{x} \] Poiché \(\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to 1\), il limite è dominato dal termine \(x\): \[ \lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \] \[ = \lim_{x \to +\infty} x(1 - 0) = +\infty \]

c) \(\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x^a}\right)^x\) (discutere al variare di \(a\))
Utilizziamo la proprietà del limite notevole \( \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)} = e \). L'espressione si riscrive come: \[ \lim_{x \to +\infty} \left[ \left(1+\frac{1}{x^a}\right)^{x^a} \right]^{\frac{x}{x^a}} = \lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x}{x^a}} = \lim_{x \to +\infty} e^{x^{1-a}} \] Dobbiamo analizzare il comportamento dell'esponente \(L = \lim_{x \to +\infty} x^{1-a}\) al variare di \(a\):

1. **Caso \(a < 1\):** \(1-a > 0\), quindi \(L = +\infty\). Il limite è \(e^{+\infty} = +\infty\).
2. **Caso \(a = 1\):** \(1-a = 0\), quindi \(L = 1\). Il limite è \(e^1 = e\).
3. **Caso \(a > 1\):** \(1-a < 0\), quindi \(L = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{a-1}} = 0\). Il limite è \(e^0 = 1\).

d) \(\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x)\ln(\sqrt{1+x})}{x \sin^2(x)}\)
Si presenta nella forma indeterminata \(\frac{0}{0}\). Usiamo gli asintotici per \(x \to 0\): \[ 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} \] \[ \ln(\sqrt{1+x}) = \frac{1}{2}\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x \] \[ \sin^2(x) \sim x^2 \] Sostituendo gli asintotici nel limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{x^2}{2}\right) \left(\frac{1}{2}x\right)}{x (x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{4}x^3}{x^3} = \frac{1}{4} \]

e) \(\lim_{x \to 0} (1+x+x^2)^{1/x}\)

Si presenta nella forma indeterminata \(1^{\infty}\). Riscriviamo la base per ricondurla alla forma del limite notevole \(\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y} = e\).
Poniamo \(y = x+x^2\). Poiché \(x \to 0\), si ha \(y \to 0\).
L'espressione può essere riscritta in modo da avere \(y\) e il suo reciproco all'esponente: \[ \lim_{x \to 0} (1+(x+x^2))^{1/x} = \lim_{x \to 0} \left[ (1+(x+x^2))^{\frac{1}{x+x^2}} \right]^{\frac{x+x^2}{x}} \] Analizziamo separatamente la base e l'esponente esterno:

1. **Base Interna:** La parte tra parentesi quadre, ponendo \(y = x+x^2\), è nella forma \(\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y}\), che tende a **\(e\)**.
2. **Esponente Esterno:** Calcoliamo il limite dell'esponente: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x+x^2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} (1+x) = 1 \]

Il limite complessivo è \( e^1 = e \).