Soluzione quesito 1:

Metodo 1: Limite del Rapporto Incrementale

Per verificare la derivabilità della funzione \(f(x) = \sin(\sqrt[3]{x})\) nel punto \(x_0 = 0\), si utilizza la definizione di derivata in un punto, calcolando il limite del rapporto incrementale:

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]

1. **Calcolo di \(f(0)\):**

\[ f(0) = \sin(\sqrt[3]{0}) = \sin(0) = 0 \]

2. **Calcolo del limite del rapporto incrementale:**

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\sqrt[3]{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\sqrt[3]{h})}{h} \]

3. **Risoluzione del limite (utilizzando il limite notevole e le potenze):**
Moltiplichiamo e dividiamo per \(\sqrt[3]{h}\):

\[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sin(\sqrt[3]{h})}{\sqrt[3]{h}} \cdot \frac{\sqrt[3]{h}}{h} \right] = \lim_{h \to 0} \left[ 1 \cdot \frac{h^{1/3}}{h} \right] \] \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^{2/3}} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}} = \frac{1}{0^+} = +\infty \]

4. **Conclusione:**
Poiché il limite del rapporto incrementale per \(h \to 0\) è infinito (\(+\infty\)), la funzione **non è derivabile** nel punto \(x=0\). Questo punto è un **flesso a tangente verticale**.

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Metodo 2: Limiti della Derivata

Calcoliamo la derivata prima \(f'(x)\) per \(x \ne 0\):

\[ f'(x) = D[\sin(x^{1/3})] = \cos(x^{1/3}) \cdot \frac{1}{3} x^{1/3 - 1} = \frac{\cos(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Verifichiamo la derivabilità in \(x=0\) calcolando il limite della derivata prima per \(x \to 0\):

\[ \lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Poiché \(\cos(\sqrt[3]{x}) \to \cos(0) = 1\) e \(3\sqrt[3]{x^2} \to 0^+\) (perché \(\sqrt[3]{x^2}\) è sempre positivo), il limite risulta:

\[ \lim_{x \to 0} f'(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty \]

5. **Conclusione:**
Poiché il limite della derivata prima per \(x \to 0\) è infinito (\(+\infty\)), la funzione **non è derivabile** in \(x=0\). Questo punto è un **flesso a tangente verticale**.

Grafico qualitativo della funzione in prossimità di \(x=0\):

Soluzione quesito 2:

1. Dimostrazione della Continuità in \(x=0\)

Affinché la funzione sia continua in \(x=0\) (dove è definita solo a destra) deve essere soddisfatta la condizione:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0 \]

Calcoliamo il limite destro:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln(\sin^2 x) \]

Sfruttando l'identità \(\ln(\sin^2 x) = 2 \ln(\sin x)\) (valida per \(\sin x > 0\)):

\[ \lim_{x \to 0^+} 2 \cdot \sin x \cdot \ln(\sin x) \]

Ponendo \(t = \sin x\), per \(x \to 0^+\), si ha \(t \to 0^+\). Utilizzando il limite notevole \(\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0\):

\[ 2 \cdot \lim_{t \to 0^+} t \ln t = 2 \cdot 0 = 0 \]

Poiché il limite destro è \(0\) e \(f(0) = 0\), la funzione è **continua (da destra)** in \(x=0\).

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2. Dimostrazione della non Derivabilità in \(x=0\)

Dimostriamo che la funzione non è derivabile calcolando il limite destro del rapporto incrementale:

\[ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]

Sostituendo \(f(h) = \sin h \cdot \ln(\sin^2 h)\) e \(f(0) = 0\):

\[ \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h \cdot \ln(\sin^2 h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} \cdot \ln(\sin^2 h) \]

Analizziamo i due fattori:

1. Il primo fattore è il limite notevole del seno: \(\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1\).
2. Il secondo fattore, poiché \(\sin h \to 0^+\), si ha: \(\lim_{h \to 0^+} \ln(\sin^2 h) = \ln(0^+) = -\infty\).

Quindi, il limite del prodotto è:

\[ f'_+(0) = 1 \cdot (-\infty) = -\infty \]

Poiché il limite del rapporto incrementale (derivata destra) è infinito (\(-\infty\)), la funzione **non è derivabile** in \(x=0\). Il punto \(x=0\) è un **flesso a tangente verticale** (discendente).

Il grafico della funzione è il seguente:

Soluzione quesito 3:

1. Verifichiamo il Punto

Verifichiamo che il punto \(P(0, 2)\) appartenga al grafico della funzione:

\[ f(0) = (0+2)^{\ln(e+2\cdot 0)} = 2^{\ln(e)} = 2^1 = 2 \]

Il punto \(P(0, 2)\) è corretto.

2. Calcolo della Derivata \(f'(x)\)

La funzione è del tipo \(f(x) = [g(x)]^{h(x)}\). Per calcolare la derivata, usiamo la derivazione logaritmica o la riscrittura esponenziale \(f(x) = e^{\ln f(x)}\).

\[ f(x) = e^{\ln\left[ (x+2)^{\ln(e+2x)} \right]} = e^{\ln(e+2x) \cdot \ln(x+2)} \]

La derivata prima è data da \(f'(x) = f(x) \cdot D[\ln(e+2x) \cdot \ln(x+2)]\). Applichiamo la regola di derivazione del prodotto al solo esponente:

\[ D[\ln(e+2x) \cdot \ln(x+2)] = \left( \frac{1}{e+2x} \cdot 2 \right) \cdot \ln(x+2) + \ln(e+2x) \cdot \left( \frac{1}{x+2} \cdot 1 \right) \]

Quindi, la derivata completa è:

\[ f'(x) = (x+2)^{\ln(e+2x)} \left[ \frac{2 \ln(x+2)}{e+2x} + \frac{\ln(e+2x)}{x+2} \right] \]

3. Calcolo del Coefficiente Angolare \(m\) in \(x=0\)

Il coefficiente angolare della retta tangente è \(m = f'(0)\). Sostituiamo \(x=0\) nella derivata:

\[ f'(0) = (0+2)^{\ln(e+0)} \left[ \frac{2 \ln(0+2)}{e+0} + \frac{\ln(e+0)}{0+2} \right] \]

Semplificando, ricordando che \(\ln(e)=1\):

\[ m = 2^1 \left[ \frac{2 \ln(2)}{e} + \frac{1}{2} \right] \] \[ m = 2 \cdot \frac{2 \ln(2)}{e} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \ln(2)}{e} + 1 \]

Il coefficiente angolare è: \(\mathbf{m = 1 + \frac{4 \ln(2)}{e}}\).

4. Equazione della Retta Tangente

Usiamo l'equazione della retta passante per un punto \(P(x_0, y_0)\): \(y - y_0 = m(x - x_0)\), dove \(x_0=0\), \(y_0=2\) e \(m = 1 + \frac{4 \ln(2)}{e}\).

\[ y - 2 = \left( 1 + \frac{4 \ln(2)}{e} \right) (x - 0) \] \[ y = \left( 1 + \frac{4 \ln(2)}{e} \right) x + 2 \]

L'equazione della tangente è: \(\mathbf{y = \left( 1 + \frac{4 \ln(2)}{e} \right) x + 2}\).

Soluzione quesito 4:

Affinché la funzione sia derivabile nell'intervallo \([0, 4]\), deve essere derivabile nel punto di raccordo \(x=2\). La condizione di derivabilità implica la condizione di continuità.

1. Condizione di Continuità in \(x=2\)

La funzione deve essere continua in \(x=2\), quindi il limite sinistro, il limite destro e il valore della funzione devono coincidere:

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \]

Calcoliamo i limiti:

• **Limite sinistro e \(f(2)\):** \(\lim_{x \to 2^-} x^3 = 2^3 = 8\).
• **Limite destro:** \(\lim_{x \to 2^+} (x^2 - kx + h) = 2^2 - k(2) + h = 4 - 2k + h\).

Ponendo i risultati uguali, otteniamo la prima equazione:

\[ 4 - 2k + h = 8 \implies \mathbf{h - 2k = 4} \quad (\text{Eq. 1}) \]

2. Condizione di Derivabilità in \(x=2\)

La funzione è derivabile in \(x=2\) se le derivate laterali sono uguali e finite. Calcoliamo la derivata prima per \(x \ne 2\):

\[ f'(x)= \begin{cases} 3x^2 & \quad \text{per } 0 \le x < 2 \\ 2x - k & \quad \text{per } 2 < x \le 4 \end{cases} \]

Calcoliamo le derivate laterali in \(x=2\):

• **Derivata sinistra:** \(f'_{-}(2) = \lim_{x \to 2^-} 3x^2 = 3(2)^2 = 12\).
• **Derivata destra:** \(f'_{+}(2) = \lim_{x \to 2^+} (2x - k) = 2(2) - k = 4 - k\).

Ponendo le derivate laterali uguali, otteniamo la seconda equazione:

\[ 4 - k = 12 \implies \mathbf{k = -8} \quad (\text{Eq. 2}) \]

3. Soluzione del Sistema

Sostituiamo il valore di \(k\) (Eq. 2) nella prima equazione (Eq. 1):

\[ h - 2(-8) = 4 \] \[ h + 16 = 4 \] \[ \mathbf{h = -12} \]

Conclusione

I valori che rendono la funzione derivabile in \([0, 4]\) sono: **\(h = -12\)** e **\(k = -8\)**.

La funzione derivabile è:

\[ f(x)= \begin{cases} x^3 & \quad \text{per } 0 \le x \le 2 \\ x^2 + 8x - 12 & \quad \text{per } 2 < x \le 4 \end{cases} \]

Soluzione quesito 5:

1. Condizione di Continuità della Funzione \(f(x)\) in \(x=2\)

La funzione è continua per ogni \(x \neq 2\) (trattandosi di funzioni polinomiali). Analizziamo la continuità nel punto di raccordo \(x=2\):

\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (kx^2 - 2x + 1) = k(2)^2 - 2(2) + 1 = 4k - 3 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = (2)^2 + (k-1)(2) - 1 = 4 + 2k - 2 - 1 = 2k + 1 \]

Per essere continua in \(x=2\) deve valere: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)\).

\[ 4k - 3 = 2k + 1 \implies 2k = 4 \implies \mathbf{k = 2} \]

La funzione è quindi **continua** in tutto l'insieme di definizione se \(\mathbf{k=2}\).

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2. Condizione di Continuità della Derivata \(f'(x)\) in \(x=2\)

La derivata della funzione (per \(x \ne 2\)) è:

\[ f'(x)= \begin{cases} 2kx - 2 & \quad \text{per } x < 2 \\ 2x + (k-1) & \quad \text{per } x > 2 \end{cases} \]

Affinché la derivata \(f'(x)\) sia continua (e quindi la funzione sia derivabile con derivata continua) in \(x=2\), i limiti delle derivate laterali devono essere uguali:

\[ \lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^-} (2kx - 2) = 2k(2) - 2 = \mathbf{4k - 2} \] \[ \lim_{x \to 2^+} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + k - 1) = 2(2) + k - 1 = 4 + k - 1 = \mathbf{k + 3} \]

Dovrà essere: \(\lim_{x \to 2^-} f'(x) = \lim_{x \to 2^+} f'(x)\).

\[ 4k - 2 = k + 3 \implies 3k = 5 \implies \mathbf{k = \frac{5}{3}} \]

3. Conclusione

La funzione è continua se \(k=2\), ma la sua derivata è continua se \(k=\frac{5}{3}\).

Poiché i due valori di \(k\) sono diversi (\(2 \neq \frac{5}{3}\)), **non esistono valori di \(k\)** tali che la funzione sia continua e derivabile con derivata continua in tutto il suo insieme di definizione.

Soluzione quesito 6:

1. Verifica della Continuità in \(x=4\)

Prima di calcolare le derivate, verifichiamo che la funzione sia continua in \(x=4\):

• **Limite sinistro:** \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\frac{4^2}{4} + 2(4) = -4 + 8 = 4\).
• **Limite destro e \(f(4)\):** \(\lim_{x \to 4^+} f(x) = e^{4-4} + 3 = e^0 + 3 = 1 + 3 = 4\).

Poiché i limiti coincidono, la funzione è **continua** in \(x=4\). Il punto di raccordo è \(P(4, 4)\).

2. Calcolo delle Derivate Laterali (Coefficienti Angolari)

Calcoliamo le derivate dei due rami per \(x \ne 4\):

\[ f'(x)= \begin{cases} -\frac{2x}{4} + 2 = -\frac{1}{2} x + 2 & \quad \text{per } x < 4 \\ e^{4-x} \cdot (-1) = -e^{4-x} & \quad \text{per } x > 4 \end{cases} \]

Calcoliamo i coefficienti angolari delle semi-tangenti (derivate laterali) in \(x=4\):

• **Derivata sinistra (coeff. \(m_-\)):** \(m_- = f'_{-}(4) = -\frac{1}{2}(4) + 2 = -2 + 2 = \mathbf{0}\).
• **Derivata destra (coeff. \(m_+\)):** \(m_+ = f'_{+}(4) = -e^{4-4} = -e^0 = \mathbf{-1}\).

Poiché le derivate laterali sono finite e diverse, il punto \(x=4\) è un **punto angoloso**.

3. Calcolo dell'Angolo \(\alpha\)

L'angolo \(\alpha\) formato dalle tangenti con coefficienti angolari \(m_-\) e \(m_+\) è dato dalla formula:

\[ \tan(\alpha) = \frac{m_+ - m_-}{1 + m_- m_+} \]

Sostituendo \(m_- = 0\) e \(m_+ = -1\):

\[ \tan(\alpha) = \frac{-1 - 0}{1 + (0) \cdot (-1)} = \frac{-1}{1} = \mathbf{-1} \]

Poiché \(\tan(\alpha) = -1\), l'angolo formato dalle due semi-tangenti (non acuto) è: \(\mathbf{\alpha = 135^\circ}\).

Soluzione quesito 7:

Analisi Preliminare di Continuità e Dominio

**Per \(x \ge 0\):** Il ramo \(f_1(x) = \frac{9}{2}\left(1+x e^{a-x}\right)\) è il prodotto e somma di funzioni elementari (polinomi ed esponenziali) definite su tutto \(\mathbb{R}\), quindi è **continuo** per ogni \(x \ge 0\).

**Per \(x < 0\):** Il ramo \(f_2(x) = \frac{9a}{4(x-1)^4}\) è una funzione razionale fratta. Il denominatore si annulla solo per \(x=1\). Poiché stiamo considerando solo l'intervallo \(x < 0\), il denominatore è sempre non nullo. Pertanto, \(f_2(x)\) è **continua** per ogni \(x < 0\).

Il punto critico da analizzare è il punto di raccordo \(\mathbf{x=0}\).

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1. Condizione di Continuità in \(x=0\)

La continuità in \(x=0\) richiede che \(f(0^-) = f(0^+) = f(0)\).

• **Limite Destro e \(f(0)\):** \[ f_a(0) = \lim_{x \to 0^+} f_a(x) = \frac{9}{2}\left(1+0 \cdot e^{a-0}\right) = \frac{9}{2} \]
• **Limite Sinistro:** \[ \lim_{x \to 0^-} f_a(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{9a}{4(x-1)^4} = \frac{9a}{4(0-1)^4} = \frac{9a}{4} \]

Imponiamo l'uguaglianza per la continuità:

\[ \frac{9a}{4} = \frac{9}{2} \implies a = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{9} \implies \mathbf{a = 2} \]

La funzione è **continua** su tutto \(\mathbb{R}\) **solo se \(a=2\)**.

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2. Condizione di Derivabilità in \(x=0\) (Solo per \(a=2\))

La derivabilità si discute solo per \(a=2\). Calcoliamo la derivata prima per \(x \ne 0\):

\[ f_a'(x)= \begin{cases} \frac{9}{2} e^{a-x} (1 - x) & \quad \text{per } x > 0 \\ \frac{-9a}{(x-1)^5} & \quad \text{per } x < 0 \end{cases} \]

Calcoliamo le derivate laterali per \(\mathbf{a=2}\):

• **Derivata Destra:** \[ f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{9}{2} e^{2-x} (1 - x) = \frac{9}{2} e^{2} (1) = \mathbf{\frac{9}{2} e^2} \]
• **Derivata Sinistra:** \[ f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-9(2)}{(x-1)^5} = \frac{-18}{(0-1)^5} = \frac{-18}{-1} = \mathbf{18} \]

3. Conclusione Finale

La condizione di continuità è soddisfatta per \(a=2\). Tuttavia, per \(a=2\), le derivate laterali sono diverse:

\[ f'_{+}(0) = \frac{9}{2} e^2 \approx 33.24, \quad f'_{-}(0) = 18 \]

Poiché \(f'_{+}(0) \ne f'_{-}(0)\), la funzione **non è derivabile** in \(x=0\) per nessun valore di \(a\).

In sintesi:

• **Per \(a=2\):** La funzione è continua su \(\mathbb{R}\), ma presenta un **punto angoloso** in \(x=0\).
• **Per \(a \ne 2\):** La funzione è discontinua in \(x=0\) (salto finito) e quindi non derivabile.

Non esiste alcun valore di \(a \in \mathbb{R}\) per cui la funzione sia derivabile su tutto \(\mathbb{R}\).

Soluzione quesito 8:

La funzione è unione di funzioni elementari, per cui è derivabile per ogni \(x \ne 0\). Dobbiamo garantire la derivabilità nel punto di raccordo \(\mathbf{x=0}\). La derivabilità in un punto implica la continuità in quel punto.

1. Condizione di Continuità in \(x=0\)

La funzione è continua in \(x=0\) se \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)\).

• **Limite Sinistro:** \[ \lim_{x \to 0^-} (-1 + \arctan x) = -1 + \arctan(0) = -1 + 0 = \mathbf{-1} \]
• **Limite Destro e \(f(0)\):** \[ f(0) = \lim_{x \to 0^+} (ax + b) = a(0) + b = \mathbf{b} \]

Imponendo l'uguaglianza dei limiti, otteniamo la condizione per la continuità:

\[ b = -1 \]

2. Condizione di Derivabilità in \(x=0\)

Per essere derivabile in \(x=0\), le derivate laterali devono essere uguali. Calcoliamo la derivata prima per \(x \ne 0\):

\[ f'(x)= \begin{cases} D[-1 + \arctan x] = \frac{1}{1+x^2} & \quad \text{se } x < 0 \\ D[ax + b] = a & \quad \text{se } x > 0 \end{cases} \]

Calcoliamo i limiti delle derivate laterali in \(x=0\):

• **Derivata Sinistra:** \[ f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0} = \mathbf{1} \]
• **Derivata Destra:** \[ f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} a = \mathbf{a} \]

Imponendo l'uguaglianza delle derivate laterali, otteniamo la condizione per la derivabilità:

\[ a = 1 \]

Conclusione

La funzione è derivabile su tutto \(\mathbb{R}\) se e solo se entrambi i parametri soddisfano le condizioni trovate:

\[ \mathbf{a = 1 \quad \text{e} \quad b = -1} \]

Per questi valori, la funzione diventa: \[ f(x)= \begin{cases} -1 + \arctan x & \quad \text{se } x < 0 \\ x - 1 & \quad \text{se } x \ge 0 \end{cases} \]