Soluzione quesito 2:

a) Studio della funzione

La funzione è definita quando il radicando è non negativo:

\[ 4-x^2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad -2 \le x \le 2 \]

Il dominio è quindi: \[ D_f = [-2,2]. \]

Poiché \[ f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x), \] la funzione è pari e il grafico è simmetrico rispetto all’asse \(y\).

Le intersezioni con gli assi sono:

• asse \(x\): \(x=\pm 2\);
• asse \(y\): \(f(0)=2\).

Elevando al quadrato l’equazione \(y=\sqrt{4-x^2}\) si ottiene: \[ x^2+y^2=4, \] che rappresenta una circonferenza di centro l’origine e raggio 2. Poiché \(y \ge 0\), il grafico della funzione è la semicirconferenza superiore.

Grafico della funzione:

b) Calcolo della primitiva

Calcoliamo l’integrale:

\[ \int \sqrt{4-x^2}\,dx \]

Utilizziamo una sostituzione trigonometrica ponendo:

\[ x = 2\sin t \quad \Rightarrow \quad dx = 2\cos t\,dt. \]

Si ha:

\[ \sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2 t}=2\cos t. \]

L’integrale diventa quindi:

\[ \int 2\cos t \cdot 2\cos t\,dt =4\int \cos^2 t\,dt. \]

Ricordando che:

\[ \cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}, \]

otteniamo:

\[ 4\int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =2\int (1+\cos 2t)\,dt. \] \[ =2\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)+C =2t+\sin 2t+C. \]

Tornando alla variabile \(x\), si osserva che:

\[ t=\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right), \quad \sin 2t = 2\sin t\cos t = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}. \]

Si ottiene quindi la primitiva generale:

\[ F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} +2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right)+C. \]

Determinazione della costante di integrazione

La primitiva deve passare per il punto di coordinate \(\left(\sqrt{3},\,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}\right)\). Calcoliamo quindi \(F(\sqrt{3})\).

Poiché:

\[ \sqrt{4-(\sqrt{3})^2}=1, \quad \arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}, \]

risulta:

\[ F(\sqrt{3}) =\frac{\sqrt{3}}{2} +2\cdot\frac{\pi}{3} +C =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}+C. \]

Imponendo la condizione:

\[ F(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\pi}{3}, \]

si ottiene immediatamente:

\[ C=0. \]

Conclusione:

La primitiva richiesta è:

\[ F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} +2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right). \]

Soluzione quesito 2:

a) Studio della funzione

Per studiare la funzione, analizziamo i seguenti aspetti:

• **Dominio:** Il dominio di \(f(x)\) è \( \mathbb{R} \), poiché è il prodotto di un polinomio e un'esponenziale, entrambi definiti su tutto \(\mathbb{R}\).
• **Parità/Disparità:**

  Per verificare se la funzione è pari o dispari, calcoliamo \(f(-x)\):

  \[ f(-x) = ((-x)^2+1)e^{-x+1} = (x^2+1)e^{-x+1} \]

  Poiché \(f(-x) \neq f(x)\) e \(f(-x) \neq -f(x)\), la funzione \(f(x)\) **non è né pari né dispari**.

• **Intersezioni con gli assi:**
  • Asse x (\(y=0\)): \( (x^2+1)e^{x+1} = 0 \). Poiché \(x^2+1 > 0\) e \(e^{x+1} > 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\), non ci sono intersezioni con l'asse x.
  • Asse y (\(x=0\)): \( f(0) = (0^2+1)e^{0+1} = 1 \cdot e^1 = e \). Quindi, l'intersezione con l'asse y è nel punto \((0, e)\).
• **Segno della funzione:** Poiché \(x^2+1 > 0\) e \(e^{x+1} > 0\), la funzione \(f(x)\) è sempre **positiva** per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
• **Limiti agli estremi del dominio:**
  • **Limite per \(x \to -\infty\)**:

    \[ \lim_{x \to -\infty} (x^2+1)e^{x+1} \]

    Quando \(x \to -\infty\), \(x^2+1 \to +\infty\) e \(e^{x+1} \to 0\). Questa è una forma indeterminata del tipo \(\infty \cdot 0\).

    Possiamo riscrivere il limite e concentrarci sui termini che causano l'indeterminazione, notando che \(e^{x+1} = e^x \cdot e\):

    \[ e \cdot \lim_{x \to -\infty} (x^2+1)e^{x} = e \cdot \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2+1}{e^{-x}} \]

    Per il **confronto tra infiniti**, sappiamo che l'esponenziale \(e^{-x}\) (per \(x \to -\infty\), \( -x \to +\infty\)) tende a infinito molto più velocemente di qualsiasi potenza di \(x\) (in questo caso \(x^2+1\)). Questo significa che il denominatore "domina" il numeratore.

    Pertanto, il limite è:

    \[ \lim_{x \to -\infty} (x^2+1)e^{x+1} = 0^+ \]

    Il risultato è \(0^+\) perché la funzione è sempre positiva, quindi si avvicina a 0 da valori positivi.

  • **Limite per \(x \to +\infty\)**:

    \[ \lim_{x \to +\infty} (x^2+1)e^{x+1} = +\infty \]

    In questo caso, sia \((x^2+1)\) che \(e^{x+1}\) tendono a \(+\infty\) quando \(x \to +\infty\). Il prodotto di due infiniti positivi è \(+\infty\).

• **Asintoti:**

  Dal limite per \(x \to -\infty\), abbiamo che \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 \). Questo significa che l'asse \(x\) (equazione \(y=0\)) è un **asintoto orizzontale** per \(x \to -\infty\).

  Dal limite per \(x \to +\infty\), \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \). Verifichiamo la presenza di asintoti obliqui per \(x \to +\infty\):

  • Calcolo di \(m\):

    \[ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2+1)e^{x+1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( x + \frac{1}{x} \right)e^{x+1} = +\infty \]

    Poiché \(m = +\infty\), **non esistono asintoti obliqui** per \(x \to +\infty\).

  Non ci sono asintoti verticali, in quanto la funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\).

• **Derivata prima e monotonia:**

  Dal punto a), per \(a=1\), abbiamo che \(f'(x) = (1 \cdot x^2+2x+1)e^{x+1} = (x+1)^2 e^{x+1}\).

  Poiché \((x+1)^2 \ge 0\) e \(e^{x+1} > 0\), \(f'(x) \ge 0\) per ogni \(x\). Questo conferma che \(f(x)\) è **sempre crescente** su tutto \(\mathbb{R}\).

  Si annulla solo in \(x=-1\), che è un punto di flesso a tangente orizzontale (come discusso nel punto a)).

• **Derivata seconda e concavità/convessità:**

  Calcoliamo la derivata seconda di \(f(x)\):

  \[ f''(x) = (x^2+4x+3)e^{x+1} \]

  Studiamo il segno di \(f''(x)\) per determinare la concavità/convessità e i punti di flesso. Poiché \(e^{x+1} > 0\) per ogni \(x\), il segno di \(f''(x)\) dipende dal segno del trinomio \(P(x) = x^2+4x+3\).

  Troviamo le radici di \(x^2+4x+3=0\):

  \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]

  Le radici sono \(x_1 = \frac{-4-2}{2} = -3\) e \(x_2 = \frac{-4+2}{2} = -1\).

  Il trinomio \(x^2+4x+3\) si può associare ad una parabola con concavità verso l'alto (coefficiente di \(x^2\) positivo), quindi è positivo esternamente alle radici e negativo tra le radici.

  Schema del segno di \(f''(x)\):

  x | -3 -1 ----------|-----|------|----- x^2+4x+3 | + | - | + e^(x+1) | + | + | + ----------|-----|------|----- f''(x) | + | - | + Concavità | ALTO| BASSO| ALTO

  Da questo schema si deduce che:

  • Per \(x < -3\), \(f''(x) > 0\), quindi la funzione è **convessa** (concavità verso l'alto).
  • Per \(-3 < x < -1\), \(f''(x) < 0\), quindi la funzione è **concava** (concavità verso il basso).
  • Per \(x > -1\), \(f''(x) > 0\), quindi la funzione è **convessa** (concavità verso l'alto).

  I punti in cui la concavità cambia sono **punti di flesso**.

  • In \(x = -3\), calcoliamo \(f(-3) = ((-3)^2+1)e^{-3+1} = (9+1)e^{-2} = 10e^{-2}\). Quindi, il flesso \(f\) ha coordinate \(\left(-3, \frac{10}{e^2}\right)\).
  • In \(x = -1\), calcoliamo \(f(-1) = ((-1)^2+1)e^{-1+1} = (1+1)e^{0} = 2 \cdot 1 = 2\). Quindi, il flesso \(F_2\) ha coordinate \((-1, 2)\). Notiamo che questo è lo stesso punto \(x=-1\) dove \(f'(-1)=0\), confermando che è un **flesso a tangente orizzontale**.

Il grafico della funzione è il seguente:

b) Calcolo della primitiva

Calcoliamo: \[ \int (x^2+1)e^{x+1}\,dx. \] Integrando per parti due volte si ottiene:

\[ \int (x^2+1)e^{x+1}\,dx =(x^2+1)e^{x+1}-\int 2x e^{x+1}\,dx \] \[ =(x^2+1)e^{x+1}-\left[2xe^{x+1}-\int 2e^{x+1}\,dx\right] \] \[ =(x^2+1)e^{x+1}-2xe^{x+1}+2e^{x+1}+C \] \[ =e^{x+1}(x^2-2x+3)+C. \]

Determinazione della costante

Poiché: \[ \lim_{x\to -\infty} e^{x+1}(x^2-2x+3)=0, \] si ha: \[ \lim_{x\to -\infty}F(x)=C. \] Impostando la condizione richiesta: \[ \lim_{x\to -\infty}F(x)=1, \] segue: \[ C=1. \]

Conclusione:

La primitiva richiesta è: \[ F(x)=e^{x+1}(x^2-2x+3)+1. \]

Soluzione quesito 3:

Punto a) Studio della funzione

Studio della funzione:

La funzione da studiare è \(f(x) = -2x+8\sqrt{x}\).

Dominio:

La presenza del termine \(\sqrt{x}\) richiede che l'argomento della radice quadrata sia non negativo. Pertanto, il dominio è \(x \ge 0\), ovvero l'intervallo \([0, +\infty)\).

Simmetria (Pari/Dispari):

La funzione non è né pari né dispari, poiché il suo dominio \([0, +\infty)\) non è simmetrico rispetto all'origine.

Intersezioni con gli assi cartesiani:

• Asse y (x=0): \(f(0) = -2(0)+8\sqrt{0} = 0\). L'intersezione è nell'origine \((0, 0)\).
• Asse x (f(x)=0): \(-2x+8\sqrt{x} = 0\). Mettendo in evidenza \(2\sqrt{x}\), si ottiene \(2\sqrt{x}(-\sqrt{x}+4)=0\).
  Le soluzioni sono \(2\sqrt{x}=0 \implies x=0\) e \(-\sqrt{x}+4=0 \implies \sqrt{x}=4 \implies x=16\).
  Le intersezioni sono \((0, 0)\) e \((16, 0)\).

Segno della funzione:

Dallo studio delle intersezioni, la funzione è positiva quando \(-2x+8\sqrt{x} > 0\). Semplificando, otteniamo \(-x+4\sqrt{x} > 0\). Dividendo per \(\sqrt{x}\) (per \(x>0\)), si ha \(-\sqrt{x}+4 > 0 \implies \sqrt{x} < 4 \implies x < 16\).
La funzione è positiva in \((0, 16)\), negativa per \(x > 16\) e nulla in \(x=0\) e \(x=16\).

Limiti agli estremi del dominio:

Dobbiamo calcolare il limite per \(x \to +\infty\):
\(\lim_{x \to +\infty} (-2x+8\sqrt{x})\). Mettendo in evidenza \(x\), si ottiene:
\(\lim_{x \to +\infty} x(-2+\frac{8}{\sqrt{x}}) = +\infty(-2+0) = -\infty\).

Asintoti:

Dato che \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\), verifichiamo la presenza di un asintoto obliquo:
\(m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x+8\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2+\frac{8}{\sqrt{x}}) = -2\).
\(q = \lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx] = \lim_{x \to +\infty} [-2x+8\sqrt{x} - (-2x)] = \lim_{x \to +\infty} (8\sqrt{x}) = +\infty\).
Poiché \(q\) non è un valore finito, non ci sono asintoti obliqui. La funzione non presenta asintoti.

Calcolo della derivata prima:

\(f'(x) = -2 + \frac{8}{2\sqrt{x}} = -2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\).

Il dominio della derivata prima è \(x > 0\), poiché il termine \(\sqrt{x}\) non può essere nullo al denominatore.

Per studiare il tipo di non derivabilità in \(x=0\), calcoliamo il limite della derivata prima per \(x\) che tende a \(0\) da destra:

\(\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(-2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\right) = -2 + \frac{4}{0^+} = -2 + (+\infty) = +\infty\).

Poiché il limite della derivata prima per \(x \to 0^+\) è infinito, la funzione non è derivabile in \(x=0\). In questo punto, la funzione ha una semitangente verticale.

Studio del segno della derivata prima (monotonia):

Studiamo il segno di \(f'(x) = -2 + \frac{4}{\sqrt{x}}\). Poniamo \(f'(x) > 0\):
\(-2 + \frac{4}{\sqrt{x}} > 0 \implies \frac{4}{\sqrt{x}} > 2 \implies \sqrt{x} < 2 \implies x < 4\).
Ricordando che il dominio è \(x \ge 0\), la derivata prima è positiva in \([0, 4)\) e negativa in \((4, +\infty)\).
Questo ci dice che la funzione cresce in \([0, 4]\) e decresce in \([4, +\infty)\).
Per \(x=4\) la derivata si annulla, e il segno cambia da positivo a negativo, quindi in \(x=4\) si ha un punto di massimo assoluto.

Il valore del massimo è \(f(4) = -2(4)+8\sqrt{4} = -8+16=8\), quindi il punto di massimo è \((4,8)\).

Studio della derivata seconda:

Calcoliamo la derivata seconda di \(f(x)\):
\(f''(x) = \frac{d}{dx} \left(-2 + 4x^{-\frac{1}{2}}\right) = 0 + 4 \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = -2x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{2}{x\sqrt{x}}\).

Studio della concavità:

Il segno di \(f''(x) = -\frac{2}{x\sqrt{x}}\) è sempre negativo per ogni \(x\) nel dominio \((x > 0)\).
Questo significa che la funzione ha concavità rivolta verso il basso in tutto il suo dominio \((0, +\infty)\). Non ci sono punti di flesso.

Il grafico della funzione è quindi:

Punto b) Calcolo dell'integrale indefinito

Dobbiamo calcolare:

\[ \int f(x)\,dx = \int (-2x + 8\sqrt{x})\,dx \]

Separiamo l'integrale in due parti:

\[ \int (-2x + 8\sqrt{x})\,dx = \int (-2x)\,dx + \int 8\sqrt{x}\,dx \]

Primo integrale:

\[ \int (-2x)\,dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \]

Secondo integrale:

Riscriviamo \(\sqrt{x} = x^{1/2}\):

\[ \int 8\sqrt{x}\,dx = \int 8x^{1/2}\,dx = 8 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = 8 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = 8 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{16}{3}x^{3/2} \]

Risultato finale:

Soluzione quesito 4:

Punto a) Studio della funzione

Studio della funzione:

La funzione da studiare è \[\displaystyle f(x) = \frac{2x^2+2x-1}{2x-1}\]

Osservazione preliminare: Riscrivendo la funzione nella forma \(F(x,y)=0\), otteniamo l'equazione \(2x^2 - 2xy + 2x + y - 1 = 0\). Il discriminante della conica è \(\Delta = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4(2)(0) = 4 > 0\). Poiché \(\Delta > 0\), questa equazione rappresenta un'iperbole. La presenza di un asintoto obliquo e di un asintoto verticale conferma la sua natura.

Dominio:

Il denominatore deve essere diverso da zero: \(2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}\).
Il dominio è \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\).

Intersezioni con gli assi cartesiani:

• Asse y (x=0): \(f(0) = \frac{-1}{-1} = 1\). Intersezione in \((0, 1)\).
• Asse x (f(x)=0): \(2x^2+2x-1 = 0\). Le soluzioni sono \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\).
  Intersezioni in \(\left(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)\) e \(\left(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}, 0\right)\).

Simmetria (Pari/Dispari):

Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, quindi la funzione non è né pari né dispari.

Segno della funzione \(f(x) > 0\):

La funzione è positiva quando numeratore (\(N\)) e denominatore (\(D\)) hanno lo stesso segno. Studiamo separatamente il segno dei due termini.

• Numeratore \(N = 2x^2+2x-1\): Le radici sono \(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}\). Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, \(N > 0\) per \(x < \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\) oppure \(x > \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\).
• Denominatore \(D = 2x-1\): \(D > 0\) per \(x > \frac{1}{2}\).

Riportiamo i segni sulla seguente tabella (i punti critici, in ordine, sono \(x_1 \approx -1.366\), \(x_2 \approx 0.366\), e \(x_A = 0.5\)):

Intervallo	\(x < \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{-1 - \sqrt{3}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{-1 + \sqrt{3}}{2} < x < \frac{1}{2}\)	\(x > \frac{1}{2}\)
Numeratore (\(N\))	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(+\)
Denominatore (\(D\))	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
Segno \(f(x)\) (\(N/D\))	\(-\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)

Limiti e Asintoti:

La funzione ha dominio \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}\). Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio.

Asintoto Verticale (AV) in \(x = \frac{1}{2}\)

Come verificato nel punto a), la retta \(x = \frac{1}{2}\) è l'Asintoto Verticale.

• Limite da sinistra (\(x \to \frac{1}{2}^-\)): \[\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = -\infty\]
• Limite da destra (\(x \to \frac{1}{2}^+\)): \[\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = +\infty\]

Asintoto Obliquo (AO) per \(x \to \pm \infty\)

Come determinato nel punto a), l'equazione dell'asintoto obliquo è:

\[y = x + \frac{3}{2}\]

Non ci sono asintoti orizzontali, poiché \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\).

Studio della derivata prima (Monotonia):

Calcoliamo la derivata prima \(f'(x)\):

\[f'(x) = \frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2} = \frac{4x(x-1)}{(2x-1)^2}\]

Studiamo il segno di \(f'(x) > 0\). Il numeratore è positivo per \(x < 0\) oppure \(x > 1\).

• La funzione cresce in \((-\infty, 0)\) e in \((1, +\infty)\).
• La funzione decresce in \((0, \frac{1}{2})\) e in \((\frac{1}{2}, 1)\).

Punti di estremo:

• In \(x=0\) si ha un punto di Massimo Relativo con \(f(0)=1\). Punto: \((0, 1)\).
• In \(x=1\) si ha un punto di Minimo Relativo con \(f(1)=3\). Punto: \((1, 3)\).

Calcolo della derivata seconda (Concavità e Flessi):

Ricalcoliamo la derivata seconda a partire dalla derivata prima \(f'(x) = \frac{4x^2-4x}{(2x-1)^2}\):

\[f''(x) = \frac{(8x-4)(2x-1)^2 - (4x^2-4x) \cdot 4(2x-1)}{(2x-1)^4}\]

Semplificando e raccogliendo \(4(2x-1)\) al numeratore, si ottiene:

\[f''(x) = \frac{4}{(2x-1)^3}\]

Studiamo il segno di \(f''(x)\): esso dipende unicamente dal denominatore \( (2x-1)^3 \), che ha lo stesso segno di \(2x-1\).

• Concavità verso il basso (Concava): \(f''(x) < 0\) per \(2x-1 < 0 \implies x < \frac{1}{2}\). Intervallo: \(\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)\).
• Concavità verso l'alto (Convessa): \(f''(x) > 0\) per \(2x-1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}\). Intervallo: \(\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)\).

Il cambio di concavità avviene solo in corrispondenza dell'asintoto verticale \(x = \frac{1}{2}\). Pertanto, la funzione non presenta punti di flesso.

Grafico della funzione:

Il grafico della funzione è quindi il seguente:

Punto b) Calcolo della primitiva particolare

Dobbiamo trovare la primitiva \(F(x)\) di \(f(x) = \frac{2x^2+2x-1}{2x-1}\) che passa per il punto \(\left(1, \frac{17}{8}\right)\).

Passo 1: Semplificazione mediante divisione polinomiale

Eseguiamo la divisione tra il numeratore \(2x^2+2x-1\) e il denominatore \(2x-1\):

Dividendo \(2x^2\) per \(2x\) otteniamo \(x\):

\[2x^2 + 2x - 1 = (2x-1) \cdot x + (2x + x - 1) = (2x-1) \cdot x + (3x - 1)\]

Continuando, dividendo \(3x\) per \(2x\) otteniamo \(\frac{3}{2}\):

\[3x - 1 = (2x-1) \cdot \frac{3}{2} + \left(-1 + \frac{3}{2}\right) = (2x-1) \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\]

Quindi:

\[f(x) = \frac{2x^2+2x-1}{2x-1} = x + \frac{3}{2} + \frac{1/2}{2x-1} = x + \frac{3}{2} + \frac{1}{2(2x-1)}\]

Passo 2: Calcolo dell'integrale indefinito

Calcoliamo ora l'integrale indefinito:

\[ \int f(x)\,dx = \int \left(x + \frac{3}{2} + \frac{1}{2(2x-1)}\right)dx \]

Separiamo gli integrali:

\[ = \int x\,dx + \int \frac{3}{2}\,dx + \int \frac{1}{2(2x-1)}\,dx \]

Calcoliamo ciascun integrale:

• \(\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\)
• \(\int \frac{3}{2}\,dx = \frac{3}{2}x\)
• \(\int \frac{1}{2(2x-1)}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\ln|2x-1| = \frac{1}{4}\ln|2x-1|\)

Quindi l'integrale generale è:

\[ F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\ln|2x-1| + C \]

Passo 3: Determinazione della costante C

Imponiamo la condizione \(F(1) = \frac{17}{8}\):

\[ F(1) = \frac{1^2}{2} + \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{4}\ln|2(1)-1| + C = \frac{17}{8} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4}\ln(1) + C = \frac{17}{8} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 + C = \frac{17}{8} \] \[ 2 + C = \frac{17}{8} \] \[ C = \frac{17}{8} - 2 = \frac{17}{8} - \frac{16}{8} = \frac{1}{8} \]

Verifica: Controlliamo che \(F(1) = \frac{17}{8}\):

\[ F(1) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4}\ln(1) + \frac{1}{8} = 2 + 0 + \frac{1}{8} = \frac{17}{8} \quad \checkmark \]

Soluzione Quesito 5

a) Determinazione della funzione costo totale

Poiché il costo marginale è la derivata del costo totale, per ricavare \(C(x)\) procediamo con l'integrazione:

\[ C(x) = \int C'(x) \, dx = \int (5 - 0,02x) \, dx \] \[ C(x) = 5x - 0,02 \frac{x^2}{2} + c = 5x - 0,01x^2 + c \]

I costi fissi rappresentano il costo quando la produzione è nulla (\(x = 0\)). Quindi \(C(0) = 200\):

\[ 5(0) - 0,01(0)^2 + c = 200 \implies c = 200 \]

La funzione costo totale è: \(C(x) = -0,01x^2 + 5x + 200\).

b) Calcolo del costo totale e del costo medio

Costo totale per 300 kg:

\[ C(300) = -0,01(300)^2 + 5(300) + 200 = -900 + 1.500 + 200 = 800 \]

Il costo totale è di € 800.

Costo unitario medio:

Il costo medio si ottiene dividendo il costo totale per la quantità prodotta (\(C(x)/x\)):

\[ C_m = \frac{800}{300} \approx 2,67 \]

Il costo unitario medio è di circa € 2,67 al kg.

Soluzione quesito 6:

a) Determinazione della funzione profitto totale

Poiché il profitto marginale è la derivata del profitto totale, integriamo \(P'(x)\):

\[ P(x) = \int (40 - 0,1x) \, dx = 40x - 0,1 \frac{x^2}{2} + c = -0,05x^2 + 40x + c \]

Imponendo la condizione \(P(0) = -1500\):

\[ -0,05(0)^2 + 40(0) + c = -1500 \implies c = -1500 \]

b) Punto di massimo profitto

Il massimo profitto si ha quando la derivata prima (il profitto marginale) è nulla:

\[ P'(x) = 0 \implies 40 - 0,1x = 0 \implies 0,1x = 40 \implies x = 400 \]

Il valore del profitto massimo è:

\[ P(400) = -0,05(400)^2 + 40(400) - 1500 = -8000 + 16000 - 1500 = 6500 \]

L'azienda ottiene il massimo profitto vendendo 400 componenti, con un guadagno di € 6.500.

c) Determinazione dei punti di pareggio

Risolviamo \(P(x) = 0\): \(-0,05x^2 + 40x - 1500 = 0\). Moltiplicando per \(-20\):

\[ x^2 - 800x + 30000 = 0 \] \[ x = \frac{800 \pm \sqrt{640000 - 120000}}{2} = \frac{800 \pm \sqrt{520000}}{2} \approx \frac{800 \pm 721,1}{2} \]

Grafico della funzione Profitto

Soluzione quesito 7:

a) Caso \(\Delta > 0\): Scomposizione in fratti semplici

Il denominatore \(x^2 - 5x + 6\) si scompone in \((x-2)(x-3)\). Utilizziamo il metodo dei fratti semplici:

\[ \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} \]

Risolvendo il sistema si ottiene \(A = -1\) e \(B = 1\). L'integrale diventa:

\[ \int \left( \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3} \right) dx = -\ln|x-2| + \ln|x-3| + c = \ln\left| \frac{x-3}{x-2} \right| + c \]

b) Caso \(\Delta = 0\): Quadrato di binomio

Il denominatore è un quadrato perfetto: \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\). L'integrale si risolve come potenza negativa:

\[ \int (x-3)^{-2} \, dx = \frac{(x-3)^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{x-3} + c \]

c) Caso \(\Delta <0\): Completamento del quadrato e Arcotangente

Poiché il denominatore \(x^2 + x + 1\) non è scomponibile (\(\Delta = -3\)), completiamo il quadrato per ricondurci alla forma dell'arcotangente:

\[ x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \]

L'integrale diventa:

\[ \int \frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} \, dx = \frac{4}{3} \int \frac{1}{\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 1} \, dx = \frac{4}{3} \int \frac{1}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1} \, dx \]

Effettuando la sostituzione o applicando la formula diretta:

\[ \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + c \]

d) Numeratore di primo grado e \(\Delta > 0\)

Scomponiamo il denominatore: \(x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\). Usiamo i fratti semplici:

\[ \frac{2x - 1}{(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-3} \]

Per \(x=1 \implies A = \frac{2(1)-1}{1-3} = -\frac{1}{2}\). Per \(x=3 \implies B = \frac{2(3)-1}{3-1} = \frac{5}{2}\).

\[ \int \left( \frac{-1/2}{x-1} + \frac{5/2}{x-3} \right) dx = -\frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{5}{2}\ln|x-3| + c \]

Soluzione quesito 8:

a) Calcolo di \(\displaystyle \int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\,dx\)

• Il numeratore ha grado 2 e il denominatore grado 1.
• Essendo il grado del numeratore maggiore o uguale, eseguiamo la divisione tra polinomi.

1. Dividiamo \(x^2 + 3x + 5\) per \(x + 1\): quoziente = \(x + 2\), resto = 3.
2. Scriviamo la frazione come somma: \[ \frac{x^2 + 3x + 5}{x+1} = x + 2 + \frac{3}{x+1} \]
3. Integrare termine per termine: \[ \int (x+2)\,dx + \int \frac{3}{x+1}\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x+1| + c \]

b) Calcolo di \(\displaystyle \int \frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 1}\,dx \)

• Il numeratore ha grado 3 e il denominatore grado 2.
• Poiché il grado del numeratore è maggiore, eseguiamo la divisione tra polinomi.

1. Divisione: \(\frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 1} = x + 2\), resto = 0.
2. L’integrale diventa: \[ \int (x+2)\,dx \]
3. Calcolo dell’integrale: \[ \int (x+2)\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + c \]