Secondo Test sui Limiti con Forme Indeterminate senza limiti notevoli

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1. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}\)

A) 0

B) 1

C) 2

D) Non esiste

1. Scomposizione: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

2. Semplificazione: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\)

3. Sostituzione \(x=1\): \(2\)

Risposta corretta: C) 2

2. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\)

A) 0

B) 1

C) 2

D) Non esiste

1. Razionalizzazione: moltiplico per \(\sqrt{1+2x}+1\)

2. Ottengo \(\frac{2x}{x(\sqrt{1+2x}+1)}=\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}\)

3. Sostituendo \(x=0\): \(\tfrac{2}{2}=1\)

Risposta corretta: B) 1

3. \(\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+3}{2x^2-1}\)

A) 0

B) 2

C) \(\tfrac{5}{2}\)

D) \(+\infty\)

1. Divido numeratore e denominatore per \(x^2\)

2. Ottengo \(\frac{5+3/x^2}{2-1/x^2} \to \tfrac{5}{2}\)

Risposta corretta: C) 5/2

4. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^3-2}{x^4+1}\)

A) 0

B) \(+\infty\)

C) \(-\infty\)

D) 3

1. Grado num=3, den=4

2. Rapporto \(\sim 1/x\), tende a 0

Risposta corretta: A) 0

5. \(\lim_{x \to 4} \frac{x^2-16}{x-4}\)

A) 4

B) 8

C) 0

D) Non esiste

1. Fattorizzo: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\)

2. Semplifico: \(x+4\)

3. Sostituisco: \(8\)

Risposta corretta: B) 8

6. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4}\)

A) 2

B) 3

C) 4

D) Non esiste

1. Fattorizzo il numeratore: \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

2. Fattorizzo il denominatore: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\)

3. Semplifico: \(\frac{x^2+2x+4}{x+2}\)

4. Sostituisco \(x=2\): \(\frac{4+4+4}{4}=\frac{12}{4}=3\)

Risposta corretta: B) 3

7. \(\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2-9}{x^2-6x+9}\)

A) 0

B) 3

C) \(+\infty\)

D) \(-\infty\)

1. Fattorizzo il numeratore: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)

2. Fattorizzo il denominatore: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\)

3. Semplifico: \(\frac{x+3}{x-3}\)

4. Per \(x \to 3^-\): il numeratore tende a 6

5. Il denominatore \(x-3 \to 0^-\) (negativo)

6. Quindi: \(\frac{6}{0^-}=-\infty\)

Risposta corretta: D) -∞

8. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\)

A) \(\tfrac{1}{4}\)

B) \(\tfrac{1}{2}\)

C) 1

D) 2

1. Razionalizzazione: moltiplico per \(\sqrt{4+x}+2\)

2. Ottengo \(\frac{(4+x)-4}{x(\sqrt{4+x}+2)}=\frac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)}\)

3. Semplifico: \(\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}\)

4. Sostituendo \(x=0\): \(\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}\)

Risposta corretta: A) 1/4

9. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+1}{5x^3-7}\)

A) 0

B) \(\tfrac{2}{5}\)

C) 2

D) \(+\infty\)

1. Divido numeratore e denominatore per \(x^3\)

2. Ottengo \(\frac{2+1/x^3}{5-7/x^3} \to \tfrac{2}{5}\)

Risposta corretta: B) 2/5

10. \(\lim_{x \to +\infty} x \sin x\)

A) 0

B) 1

C) \(+\infty\)

D) Non esiste

1. Osservo che \(\sin x\) oscilla tra -1 e 1 per ogni \(x\)

2. Quindi \(-x \leq x \sin x \leq x\)

3. Per \(x \to +\infty\), il prodotto oscilla tra valori sempre più grandi positivi e negativi

4. Non esiste un valore a cui tende, il limite non esiste

Risposta corretta: D) Non esiste