Liceo Scientifico - Esame di Stato 2025 - Problema 1

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Soluzione proposta da Giuseppe Scoleri con la collaborazione di Angela Santamaria.

"La ragione non è nulla senza l'immaginazione" - Cartesio Dato erre maggiore di zero e cappa minore di zero, si considerino la circonferenza ci con indice erre, di centro l'origine e raggio erre, e la funzione effe con indice cappa di ics uguale cappa che moltiplica il valore assoluto di ics.

Dato \(r > 0\) e \(k < 0\), si considerino la circonferenza \(C_r\), di centro l'origine e raggio \(r\), e la funzione \(f_k(x) = k|x|\).

Punto a)

Verificare che \(f_k\) è continua ma non derivabile in \(x=0\) qualunque sia il valore di \(k\).

Individua i due valori di \(r\) in corrispondenza dei quali \(C_r\) delimita con il grafico di \(f_k\), per valori opportuni di \(k\), un settore circolare nel semipiano \(y \le 0\) di area \(\pi\) e contorno di lunghezza \(4+\pi\).

Stabilito che \(r=2\) è il maggiore di tali valori, in uno stesso riferimento cartesiano \(OXY\), tracciare la circonferenza \(C_2\) e il grafico della funzione \(f_{-1}\).

Studio della continuità di \( f_k(x) = k|x| \), con \( k < 0 \), in \( x=0 \)

La funzione \(f_k(x) = k|x|\) può essere riscritta come:

\[ f_k(x) = \begin{cases} kx & \text{se } x \ge 0 \\ -kx & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

Per verificare la continuità in \(x=0\), dobbiamo controllare che il limite della funzione per \(x \to 0\) sia uguale al valore della funzione in \(x=0\).

\[ \lim_{x \to 0^+} f_k(x) = \lim_{x \to 0^+} (kx) = k \cdot 0 = 0 \] \[ \lim_{x \to 0^-} f_k(x) = \lim_{x \to 0^-} (-kx) = -k \cdot 0 = 0 \]

E il valore della funzione in \(x=0\) è:

\[ f_k(0) = k|0| = 0 \]

Conclusione: Poiché \(\lim_{x \to 0^+} f_k(x) = \lim_{x \to 0^-} f_k(x) = f_k(0) = 0\), la funzione \(f_k(x)\) è continua in \(x=0\) per qualunque valore di \(k\).

Studio della derivabilità in \( x=0 \)

Calcoliamo la derivata di \(f_k(x)\) per \(x \ne 0\):

\[ f'_k(x) = \begin{cases} k & \text{se } x > 0 \\ -k & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

Ora calcoliamo i limiti della derivata da destra e da sinistra in \(x=0\):

\[ \lim_{x \to 0^+} f'_k(x) = k \] \[ \lim_{x \to 0^-} f'_k(x) = -k \]

Poiché \(k < 0\), \(k\) è un valore negativo e \(-k\) è un valore positivo. Quindi, \(k \ne -k\).

Conclusione: Essendo i limiti delle derivate destra e sinistra diversi, la funzione \(f_k(x)\) non è derivabile in \(x=0\) per alcun valore di \(k < 0\).

Rappresentazione grafica della circonferenza e della funzione

Rappresentazione generica della circonferenza \(C_r: x^2+y^2=r^2\) e della funzione \(f_k(x) = k|x|\) (una 'V' rovesciata, dato \(k<0\))

Ricerca dei punti di intersezione \(A\) e \(B\) tra \(f_k\) e \(C_r\)

Dobbiamo mettere a sistema le equazioni della circonferenza \(C_r: x^2+y^2=r^2\) e della funzione \(f_k(x) = k|x|\) (ovvero \(y = k|x|\)).

Sostituendo \(y = k|x|\) nella prima equazione, otteniamo:

\[ x^2 + (k|x|)^2 = r^2 \] \[ x^2 + k^2x^2 = r^2 \] \[ x^2(1+k^2) = r^2 \] \[ x^2 = \frac{r^2}{1+k^2} \] \[ x = \pm \frac{r}{\sqrt{1+k^2}} \]

Chiamiamo \(x_A = - \frac{r}{\sqrt{1+k^2}}\) e \(x_B = \frac{r}{\sqrt{1+k^2}}\).

Ora troviamo le corrispondenti ordinate \(y\). Poiché \(y=k|x|\) e \(k<0\), la \(y\) sarà sempre negativa.

I punti di intersezione sono:

\[ A \left( -\frac{r}{\sqrt{1+k^2}}, \frac{kr}{\sqrt{1+k^2}} \right) \quad \text{e} \quad B \left( \frac{r}{\sqrt{1+k^2}}, \frac{kr}{\sqrt{1+k^2}} \right) \]

Calcolo dell'area del settore circolare

L'area del settore circolare è \(A = \frac{1}{2} r^2 \Phi\), dove \(\Phi\) è l'angolo al centro totale del settore circolare.

Consideriamo la metà dell'angolo al centro, che chiamiamo \(\alpha\). Nel triangolo rettangolo formato dall'origine \(O\), dal punto \(B(x_B, y_B)\) e dalla sua proiezione sull'asse \(y\), l'angolo ha tangente:

\[ \tan(\alpha) = \frac{|x_B|}{|y_B|} = \frac{r/\sqrt{1+k^2}}{-kr/\sqrt{1+k^2}} = \frac{1}{-k} = -\frac{1}{k} \]

Quindi:

\[ \alpha = \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) \]

L'angolo totale al centro è:

\[ \Phi = 2\alpha = 2 \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) \]

L'area del settore circolare è quindi:

\[ A = \frac{1}{2} r^2 \Phi = r^2 \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) \]

Sappiamo che l'area è \(\pi\), quindi:

\[ r^2 \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = \pi \quad \text{(equazione 1)} \]

Calcolo della lunghezza del contorno

Il contorno è formato dai due segmenti \(OA\) e \(OB\) e dall'arco di circonferenza \(AB\).

Lunghezza dei segmenti: \(OA = OB = r\) (sono raggi della circonferenza)
Lunghezza dell'arco: \(AB = r \cdot \Phi = 2r \arctan\left(-\frac{1}{k}\right)\)

Quindi la lunghezza totale del contorno è:

\[ L = OA + OB + \text{arco } AB = 2r + 2r \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) \]

Sappiamo che la lunghezza del contorno è \(4+\pi\), quindi:

\[ 2r + 2r \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = 4+\pi \quad \text{(equazione 2)} \]

Risoluzione del sistema per trovare \(r\)

Ora abbiamo un sistema di due equazioni con due incognite (\(r\) e \(k\)):

\(r^2 \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = \pi\)
\(2r + 2r \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = 4+\pi\)

Dalla prima equazione, ricaviamo:

\[ \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{r^2} \]

Sostituiamo nella seconda equazione:

\[ 2r + 2r \left(\frac{\pi}{r^2}\right) = 4+\pi \] \[ 2r + \frac{2\pi}{r} = 4+\pi \]

Moltiplichiamo tutto per \(r\):

\[ 2r^2 + 2\pi = (4+\pi)r \] \[ 2r^2 - (4+\pi)r + 2\pi = 0 \]

Calcoliamo il discriminante:

\[ \Delta = (4+\pi)^2 - 4(2)(2\pi) = 16 + 8\pi + \pi^2 - 16\pi \] \[ \Delta = 16 - 8\pi + \pi^2 = (4-\pi)^2 \]

I valori di \(r\) sono:

\[ r = \frac{(4+\pi) \pm (4-\pi)}{4} \]

Primo valore:

\[ r_1 = \frac{(4+\pi) - (4-\pi)}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \]

Secondo valore:

\[ r_2 = \frac{(4+\pi) + (4-\pi)}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

I due valori di \(r\) sono \(\frac{\pi}{2}\) e \(2\).

Come indicato nel problema, \(r=2\) è il maggiore di questi due valori.

Calcolo del valore di \(k\) per \(r=2\)

Usiamo l'equazione \(\arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{r^2}\).

Per \(r=2\):

\[ \arctan\left(-\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{4} \] \[ -\frac{1}{k} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \] \[ k = -1 \]

Conclusione: Per \(r=2\), il valore opportuno di \(k\) è \(k=-1\).

Quindi dobbiamo tracciare la circonferenza \(C_2\) e il grafico della funzione \(f_{-1}(x) = -|x|\).

Grafico della circonferenza \(C_2\) e della funzione \(f_{-1}\)

Rappresentazione della circonferenza \(C_2: x^2+y^2=4\) e del grafico della funzione \(f_{-1}(x) = -|x|\)

Punto b)

Studiare la funzione \(g(x) = \sqrt{4-x^2}\), specificandone dominio, simmetrie, punti di non derivabilità, intervalli di monotonia ed insieme immagine.

Verificare che il grafico di \(g\) coincide con la parte di \(C_2\) che si trova nel semipiano \(y \ge 0\).

Spiegare perché \(g\) non è derivabile nel suo dominio ed esplicitare l'intervallo \([a; b]\) di ampiezza massima, con \(b>0\), nel quale \(g\) ammette una funzione inversa \(h\). Qual è l'espressione analitica di \(h\)?

Dominio della funzione \(g(x) = \sqrt{4-x^2}\)

La funzione \(g(x)\) è definita se l'argomento della radice quadrata è non negativo:

\[ 4-x^2 \ge 0 \] \[ x^2 \le 4 \] \[ -2 \le x \le 2 \]

Il dominio della funzione è \([-2, 2]\).

Simmetrie

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari. Calcoliamo \(g(-x)\):

\[ g(-x) = \sqrt{4-(-x)^2} = \sqrt{4-x^2} \]

Conclusione: Poiché \(g(-x) = g(x)\), la funzione è pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse \(y\).

Valori agli estremi del dominio

La funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato \([-2, 2]\). Calcoliamo i valori agli estremi:

\[ g(-2) = \sqrt{4-(-2)^2} = \sqrt{4-4} = 0 \] \[ g(2) = \sqrt{4-2^2} = \sqrt{4-4} = 0 \]

Punti di non derivabilità

Calcoliamo la derivata prima di \(g(x)\) per \(x \in (-2, 2)\):

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} (4-x^2)^{1/2} = \frac{1}{2}(4-x^2)^{-1/2} (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \]

La derivata prima \(g'(x)\) non è definita per \(x=\pm 2\), poiché il denominatore si annulla. Verifichiamo il comportamento della derivata in questi punti:

Per \(x \to -2^+\):

\[ \lim_{x \to -2^+} g'(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{2}{0^+} = +\infty \]

Per \(x \to 2^-\):

\[ \lim_{x \to 2^-} g'(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{-2}{0^+} = -\infty \]

Conclusione: Poiché i limiti delle derivate sono infinito, i punti \(x=-2\) e \(x=2\) sono punti a tangente verticale, quindi punti di non derivabilità.

Intervalli di monotonia

Studiamo il segno della derivata prima \(g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\) nell'intervallo \((-2, 2)\).

Il denominatore \(\sqrt{4-x^2}\) è sempre positivo in \((-2, 2)\). Quindi il segno di \(g'(x)\) dipende solo dal segno del numeratore \(-x\).

\[ -x > 0 \implies x < 0 \] \[ -x < 0 \implies x > 0 \]

Per \(-2 < x < 0\), \(g'(x) > 0\), la funzione è crescente.
Per \(0 < x < 2\), \(g'(x) < 0\), la funzione è decrescente.

In \(x=0\), la funzione ha un massimo relativo e assoluto. Il valore del massimo è \(g(0) = \sqrt{4-0^2} = 2\).

Nei punti \((-2, 0)\) e \((2, 0)\) c'è il minimo assoluto.

L'insieme immagine della funzione è \([0, 2]\).

Verifica: il grafico di \(g\) coincide con la parte di \(C_2\) nel semipiano \(y \ge 0\)

L'equazione della circonferenza \(C_2\) con centro nell'origine e raggio \(r=2\) è:

\[ x^2+y^2=4 \]

Se esplicitiamo \(y\) da questa equazione, otteniamo:

\[ y^2 = 4-x^2 \] \[ y = \pm \sqrt{4-x^2} \]

Conclusione: La funzione \(g(x) = \sqrt{4-x^2}\) rappresenta solo la semicirconferenza superiore (quella con \(y \ge 0\)) della circonferenza \(C_2\).

Questo è coerente con il dominio \([-2, 2]\) e l'insieme immagine \([0, 2]\) di \(g(x)\).

Funzione inversa \(h\) di \(g\)

La funzione \(g(x)\) non è derivabile su tutto il suo dominio \([-2, 2]\) perché, come già visto, presenta tangenti verticali in \(x=-2\) e \(x=2\).

Per ammettere una funzione inversa, una funzione deve essere iniettiva. La funzione \(g(x)\), essendo pari e avendo intervalli di crescita e decrescita (crescente in \([-2, 0]\) e decrescente in \([0, 2]\)), non è iniettiva sul suo intero dominio.

Per trovare un intervallo \([a; b]\) di ampiezza massima con \(b>0\) in cui \(g\) ammette una funzione inversa, dobbiamo scegliere un intervallo in cui \(g\) sia strettamente monotona.

I due intervalli massimi di stretta monotonia sono \([-2, 0]\) (dove \(g\) è crescente) e \([0, 2]\) (dove \(g\) è decrescente).

Intervallo scelto: \([0, 2]\) (poiché il problema richiede \(b>0\))

In questo intervallo, \(g(x)\) è strettamente decrescente e quindi iniettiva, ammettendo una funzione inversa.

Per trovare l'espressione analitica di \(h(y)\), scambiamo \(x\) e \(y\) nell'equazione \(y = \sqrt{4-x^2}\) e risolviamo per \(x\):

\[ y = \sqrt{4-x^2} \]

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

\[ y^2 = 4-x^2 \] \[ x^2 = 4-y^2 \] \[ x = \pm \sqrt{4-y^2} \]

Dato che abbiamo scelto l'intervallo \([0, 2]\) per \(x\) (dove \(x \ge 0\)), dobbiamo prendere la radice positiva.

Espressione analitica della funzione inversa:

\[ h(x) = \sqrt{4-x^2} \]

Il dominio di \(h(x)\) è \([0, 2]\) (l'immagine di \(g\) sull'intervallo \([0, 2]\)).

L'immagine di \(h(x)\) è \([0, 2]\) (il dominio scelto di \(g\)).

Nota: L'espressione analitica di \(h(x)\) è la stessa di \(g(x)\) quando ristretta all'intervallo \([0, 2]\). Questo è vero perché, nel quadrante positivo, la semicirconferenza è simmetrica rispetto alla bisettrice \(y=x\).

Grafico della funzione \(g(x)\)

Grafico di \(g(x) = \sqrt{4-x^2}\) (semicirconferenza superiore di raggio 2)

Punto c)

Sia A un punto del grafico di \(g\), situato nel primo quadrante, e siano M e R le sue proiezioni ortogonali sugli assi di riferimento.

Determinare le coordinate di A in modo che il quadrilatero AMOR abbia area massima.

Dopo aver verificato che tale quadrilatero è un quadrato, dimostrare che è anche quello di perimetro massimo.

Grafico della situazione

Il grafico della funzione \(g(x)=\sqrt{4-x^2}\) (semicirconferenza superiore di raggio 2) nel primo quadrante e il quadrilatero AMOR

Sia \(A\) un punto del grafico di \(g\) nel primo quadrante. Le sue coordinate sono \(A(x_A, y_A)\).

Poiché \(A\) si trova sul grafico di \(g(x)\) e nel primo quadrante, le sue coordinate sono \(A(t, \sqrt{4-t^2})\), con \(t > 0\).

Essendo \(A\) nel primo quadrante, \(x_A = t\) e \(y_A = \sqrt{4-t^2}\), con \(0 \le t \le 2\).

Coordinate dei punti M, R e O

Dalla figura segue che:

\(M\) è la proiezione di \(A\) sull'asse \(x\): \(M(t, 0)\)
\(R\) è la proiezione di \(A\) sull'asse \(y\): \(R(0, \sqrt{4-t^2})\)
\(O\) è l'origine: \(O(0, 0)\)

Calcolo dell'area del quadrilatero AMOR

Il quadrilatero AMOR è un rettangolo, poiché i suoi vertici sono \(O(0,0)\), \(M(t,0)\), \(A(t, \sqrt{4-t^2})\) e \(R(0, \sqrt{4-t^2})\), e gli assi di riferimento sono perpendicolari.

L'area di un rettangolo è data dal prodotto della base per l'altezza. In questo caso:

Base: \(OM = t\)
Altezza: \(OR = \sqrt{4-t^2}\)

\[ A(AMOR) = f(t) = OM \cdot OR = t \cdot \sqrt{4-t^2} \]

Il dominio di \(f(t)\) è \([0, 2]\).

Ricerca del massimo dell'area

Per trovare il massimo, calcoliamo la derivata prima di \(f(t)\) usando la regola del prodotto:

\[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( t \sqrt{4-t^2} \right) \]

Con \(u = t\) e \(v = \sqrt{4-t^2}\):

\[ u' = 1 \] \[ v' = \frac{-t}{\sqrt{4-t^2}} \] \[ f'(t) = 1 \cdot \sqrt{4-t^2} + t \cdot \frac{-t}{\sqrt{4-t^2}} \] \[ f'(t) = \sqrt{4-t^2} - \frac{t^2}{\sqrt{4-t^2}} \]

Mettiamo a denominatore comune:

\[ f'(t) = \frac{(4-t^2) - t^2}{\sqrt{4-t^2}} = \frac{4-2t^2}{\sqrt{4-t^2}} \]

Poniamo \(f'(t) = 0\):

\[ 4-2t^2 = 0 \] \[ 2t^2 = 4 \] \[ t^2 = 2 \] \[ t = \sqrt{2} \quad \text{(considerando } t \in [0, 2]\text{)} \]

Studio del segno della derivata

Studiamo il segno di \(f'(t) = \frac{4-2t^2}{\sqrt{4-t^2}}\):

\(f'(t) > 0 \implies 4-2t^2 > 0 \implies t^2 < 2 \implies 0 \le t < \sqrt{2}\) → funzione crescente
\(f'(t) < 0 \implies 4-2t^2 < 0 \implies t^2 > 2 \implies \sqrt{2} < t \le 2\) → funzione decrescente

Intervallo	Segno di \(f'(t)\)	Comportamento
\(0 \le t < \sqrt{2}\)	+	Crescente ↗
\(t = \sqrt{2}\)	0	Massimo ↑
\(\sqrt{2} < t \le 2\)	-	Decrescente ↘

Conclusione: \(t = \sqrt{2}\) è un punto di massimo assoluto per l'area.

Le coordinate di \(A\) per cui l'area è massima sono:

\[ A(\sqrt{2}, \sqrt{4-2}) = A(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]

L'area massima è:

\[ f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \]

Verifica: il quadrilatero AMOR è un quadrato

Le coordinate di \(A\) per l'area massima sono \(A(\sqrt{2}, \sqrt{2})\).

In questo caso:

\(OM = \sqrt{2}\)
\(OR = \sqrt{2}\)

Conclusione: Poiché i lati adiacenti \(OM\) e \(OR\) hanno la stessa lunghezza, e AMOR è un rettangolo, esso è un quadrato.

Dimostrazione: il quadrato ha anche perimetro massimo

Il perimetro del rettangolo AMOR è:

\[ 2p(t) = 2 \cdot (OM + OR) = 2 \cdot (t + \sqrt{4-t^2}) \]

Calcoliamo la derivata prima:

\[ (2p)'(t) = 2 \cdot \left( 1 + \frac{-t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \] \[ (2p)'(t) = 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{4-t^2} - t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \]

Poniamo \((2p)'(t) = 0\):

\[ \sqrt{4-t^2} - t = 0 \] \[ \sqrt{4-t^2} = t \]

Eleviamo al quadrato:

\[ 4-t^2 = t^2 \] \[ 4 = 2t^2 \] \[ t = \sqrt{2} \]

Studiamo il segno di \((2p)'(t)\). Il numeratore è \(\sqrt{4-t^2} - t\):

Per \(0 \le t < \sqrt{2}\): \(\sqrt{4-t^2} > t\) → \((2p)'(t) > 0\) → perimetro crescente
Per \(\sqrt{2} < t \le 2\): \(\sqrt{4-t^2} < t\) → \((2p)'(t) < 0\) → perimetro decrescente

Conclusione: \(t = \sqrt{2}\) è il valore che massimizza il perimetro. Questo valore coincide con il valore di \(t\) che massimizza l'area.

Dato che il valore di \(t\) per cui il quadrilatero AMOR ha area massima (\(t=\sqrt{2}\)) è lo stesso per cui ha perimetro massimo, la dimostrazione è completa.

Dimostrazione alternativa (metodo algebrico)

Osserviamo che il rettangolo AMOR ha diagonale costante \(d=2\), pari al raggio della semicirconferenza.

Indichiamo con \(x\) ed \(y\) le misure dei lati del rettangolo (le coordinate del punto \(A\)). Per il Teorema di Pitagora:

\[ x^2+y^2=4 \]

L'area del rettangolo è \(S = x \cdot y\).

Dalla relazione:

\[ (x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 4 -2xy \]

Deduciamo che:

\[ 2xy = 4-(x-y)^2 \]

Il secondo membro assume il valore massimo quando \((x-y)^2\) assume il valore minimo, cioè quando \(x=y\).

Il rettangolo AMOR ha area massima quando è un quadrato.

Essendo \(x^2+y^2=4\) e \(x=y\), si ha \(2x^2=4\), da cui \(x=y= \sqrt{2}\).

Il punto \(A\) ha coordinate \(A(\sqrt{2}, \sqrt{2})\).

Perimetro massimo:

Il perimetro del rettangolo è \(2p=2(x+y)\). Il perimetro è massimo se è massimo \((x+y)^2\).

\[ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 4+2S \]

\((x+y)^2\) è massimo se è massimo \(S\), che si verifica quando \(x=y\).

Il rettangolo di area massima ha anche perimetro massimo.

Dimostrazione alternativa (metodo geometrico)

Un rettangolo di data diagonale \(d\) può essere inscritto in una circonferenza di diametro pari alla diagonale.

Rettangolo inscritto nella circonferenza

Il rettangolo AMOR inscritto nella circonferenza di diametro \(AO=d\)

Il rettangolo AMOR ha area massima se ha area massima il triangolo AMR rettangolo in A e di ipotenusa \(MR\) uguale al diametro \(d\) della circonferenza; tale triangolo ha infatti area pari alla metà di quella del rettangolo.

Il triangolo AMR ha area \(\frac{AM \cdot AH}{2}\). Essendo la base \(AM=d\) costante, tale area è massima se è massima la sua altezza AH.

Ma il massimo di AH è il raggio della circonferenza, e ciò si ha quando A coincide con \(A'\).

Quando A coincide con \(A'\) risulta \(A'R = A'M\) e quindi il rettangolo AMOR diventa il quadrato A'MO'R.

Questo dimostra che il rettangolo AMOR di data diagonale ha area massima quando è un quadrato.

Per dimostrare che quando il rettangolo ha area massima anche il perimetro è massimo possiamo ripetere la dimostrazione precedente.

Punto d)

Si consideri la funzione \(F(x)=\int_{-2}^{x} \sqrt{4-t^2} \, dt\), con \(x \in [-2;2]\).

Determinare \(F(2)\) e tracciare un grafico di \(F\), dopo averne studiato monotonia e concavità.

Scrivere, inoltre, l'equazione della retta tangente al grafico di \(F\) nel suo punto di flesso.

Calcolo di \(F(2)\)

La funzione è:

\[ F(x)=\int_{-2}^{x} \sqrt{4-t^2} \, dt, \quad x \in [-2;2] \]

Per calcolare \(F(2)\), abbiamo:

\[ F(2) = \int_{-2}^{2} \sqrt{4-t^2} \, dt \]

Osserviamo che la funzione integranda \(g(t) = \sqrt{4-t^2}\) rappresenta la semicirconferenza superiore con centro O e raggio 2.

L'integrale definito da -2 a 2 di questa funzione corrisponde all'area del semicerchio di raggio 2.

\[ F(2) = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2^2) = \frac{1}{2} \pi \cdot 4 = 2\pi \]

\(F(2) = 2\pi\)

Studio della monotonia di \(F(x)\)

Il dominio di \(F(x)\) è l'intervallo \([-2; 2]\).

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, la derivata prima di \(F(x)\) è:

\[ F'(x) = \sqrt{4-x^2} = g(x) \]

Dal grafico di \(g(x)\) (che è la semicirconferenza superiore), sappiamo che:

\(g(x) \ge 0\) per ogni \(x\) nell'intervallo \([-2; 2]\)
\(g(x) > 0\) per \(x \in (-2, 2)\)
\(g(\pm 2) = 0\)

Conclusione: Poiché \(F'(x) = g(x) \ge 0\) per ogni \(x \in [-2; 2]\), la funzione \(F(x)\) è sempre crescente sul suo dominio.

Inoltre, calcoliamo il valore di \(F(-2)\):

\[ F(-2) = \int_{-2}^{-2} \sqrt{4-t^2} \, dt = 0 \]

Studio della concavità di \(F(x)\)

Per studiare la concavità di \(F(x)\), analizziamo il segno della sua derivata seconda.

Per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, \(F''(x)\) è la derivata prima della funzione integranda \(g(x)\):

\[ F''(x) = g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \]

Dal punto b) sappiamo che:

La funzione \(g(x)\) è crescente per \(-2 < x < 0\), quindi \(g'(x) > 0\) → \(F''(x) > 0\)
La funzione \(g(x)\) è decrescente per \(0 < x < 2\), quindi \(g'(x) < 0\) → \(F''(x) < 0\)

In \(x=0\), \(F''(x)\) cambia segno, indicando un punto di flesso.

L'ordinata del punto di flesso è \(F(0)\):

\[ F(0) = \int_{-2}^{0} \sqrt{4-t^2} \, dt \]

Questo integrale rappresenta l'area del quarto di cerchio nel secondo quadrante con raggio 2:

\[ F(0) = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2^2) = \pi \]

Il punto di flesso è \((0, \pi)\).

Tabella di studio della concavità

Intervallo	Segno di \(F''(x)\)	Concavità di \(F(x)\)
\(-2 \le x < 0\)	+	Concava verso l'alto ∪
\(x = 0\)	0	Flesso
\(0 < x \le 2\)	-	Concava verso il basso ∩

Grafico della funzione \(F(x)\)

Grafico di \(F(x)=\int_{-2}^{x} \sqrt{4-t^2} \, dt\) con punto di flesso in \((0, \pi)\)

Equazione della retta tangente nel punto di flesso

Il punto di flesso è \((0, \pi)\).

La pendenza della retta tangente in un punto è data dalla derivata prima della funzione in quel punto:

\[ m = F'(0) = g(0) = \sqrt{4-0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

L'equazione della retta tangente a una funzione \(F(x)\) nel punto \((x_0, F(x_0))\) è:

\[ y - F(x_0) = F'(x_0)(x - x_0) \]

Sostituendo i valori del punto di flesso \((0, \pi)\) e della pendenza \(m=2\):

\[ y - \pi = 2(x - 0) \] \[ y - \pi = 2x \] \[ y = 2x + \pi \]

L'equazione della retta tangente al grafico di \(F\) nel suo punto di flesso è: \[ y = 2x + \pi \]

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