A. S. 1998/99

1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale derivabile in un punto x₀.

1. Dire se la condizione f ’(x₀) = 0 è:

• necessaria ma non sufficiente,
• sufficiente ma non necessaria,
• necessaria e sufficiente

1. Posto , dove a, b sono parametri reali, determinare tali parametri in modo che la curva g di equazione cartesiana y = f(x) abbia un estremo relativo nel punto di coordinate
2. Controllato che la curva g cercata si ottiene per a = 2, studiare tale curva e disegnarne l’andamento in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).
3. Nello stesso piano (Oxy) disegnare l’andamento della curva g ’ di equazione y = f ’(x), dopo aver determinato, in particolare, le coordinate dei punti comuni a g e g ’.
4. Sussiste un’evidente relazione fra l’andamento di g e quello di g ’. Quale?

2. In un piano a sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza data r ed una parabola p passante per gli estremi A, B di un diametro di k e avente come asse di simmetria l’asse del segmento AB. L’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola p e dal segmento AB è

.

1. determinare l’equazione della circonferenza k;
2. determinare l’equazione della parabola p;
3. trovare le coordinate dei punti comuni a k e p;
4. calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato da k;
5. stabilire per quale valore di r la maggiore di tali aree è uguale a

3. Considerato il quadrato ABCD, sull’arco di circonferenza di centro A e raggio AB, contenuto nel quadrato, si prenda un punto T in modo che l’angolo

misuri 2x radianti. Si conduca quindi per T la retta tangente alla circonferenza e si chiamino P e Q i punti in cui essa seca le rette BC e CD rispettivamente.

1. Esprimere in funzione di x il rapporto:



2. Studiare la funzione f(x) ottenuta, tenendo conto dei limiti imposti alla variabile x dalla questione geometrica, e disegnarne il grafico in un piano cartesiano ai fini della risoluzione del punto c).
3. Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che il rapporto considerato sia uguale ad un numero reale k assegnato.
4. Verificare che il rapporto f(x) può essere scritto nella seguente forma:



5. Stabilire che risulta: