LICEO SCIENTIFICO 2025 - PROVA SUPPLETIVA

Quesito 1

Un rettangolo si dice aureo se il rapporto fra i suoi lati è uguale a \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Sia dato un foglio la cui forma è un rettangolo aureo e lo si indichi con ABCD. Dopo aver piegato il foglio come mostrato in figura, verificare che anche il rettangolo ABPC' è aureo. Successivamente, determinare la lunghezza di AD, sapendo che AC'=40 cm.

Figura del rettangolo aureo ABCD piegato, mostrando il rettangolo ABPC'

Quesito 2

Zoe sfida Eva al seguente gioco: lanciando un dado regolare a sei facce, Zoe segna un punto quando esce il 5 oppure il 6, in caso contrario è Eva a segnare un punto. Vince chi arriva prima a 3 punti. Qual è la probabilità che Zoe vinca con il punteggio 3 - 1?

Quesito 3

Ci sono 9 matite di 9 colori diversi e 3 cassetti indicati con A, B, C. Se 4 matite devono essere messe nel cassetto A, 2 nel cassetto B e 3 nel cassetto C, quante sono le possibili collocazioni?

Quesito 4

Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz sono date le equazioni di due rette:

\( r: \begin{cases} y-z-1=0 \\ x-z=4 \end{cases} \)

\( s: \begin{cases} x=1+2t \\ y=t \\ z=3-t \end{cases} \)

Dopo aver dimostrato che le due rette sono incidenti, determinare l’equazione del piano che le contiene. Verificare che la sfera di centro \(C=(5,-7,2)\) passante per il punto \(P=(1,-1,0)\) è tangente al piano suddetto.

Soluzione quesito 4:

Verifichiamo che le rette sono incidenti.

Occorre risolvere il seguente sistema e trovare una sola soluzione:

\[ \begin{cases} y-z-1=0 \\ x-z=4 \\ x=1+2t \\ y=t \\ z=3-t \end{cases} \]

Sostituendo \(x\), \(y\) e \(z\) nelle prime due equazioni abbiamo:

\(t-(3-t)-1=0\), da cui: \(t=2\)

\(1+2t-(3-t)=4\), da cui: \(t=2\)

Per \(t=2\) otteniamo il punto di intersezione \(A=(5;2;1)\).

Determiniamo l’equazione del piano che contiene le due rette.

Il piano che contiene \(r\) ed \(s\) passa per \(A\), per un punto \(D\) di \(r\) e per un punto \(E\) di \(s\) (diversi da \(A\)).

Cerchiamo \(D\): ponendo per esempio \(z=0\), troviamo \(x=4\) e \(y=1\). Perciò: \(D=(4;1;0)\)

Cerchiamo \(E\). Ponendo per esempio \(t=0\) otteniamo: \(E=(1;0;3)\).

Il piano richiesto è quello passante per \(A\), \(D\) ed \(E\).

Indicando con \(ax+by+cz+d=0\) l’equazione del piano generico, imponendo il passaggio per \(A\), \(D\) ed \(E\) otteniamo:

\[ \begin{cases} 5a+2b+c+d=0 \quad (1) \\ 4a+b+d=0 \quad (2) \\ a+3c+d=0 \quad (3) \end{cases} \]

Dalla (3) possiamo esprimere \(d\) in funzione di \(a\) e \(c\): \(d = -a - 3c\).

Sostituiamo \(d\) nella (2):

\(4a + b + (-a - 3c) = 0 \Rightarrow 3a + b - 3c = 0 \Rightarrow b = 3c - 3a \quad (4)\)

Ora sostituiamo \(d\) dalla (3) e \(b\) dalla (4) nella (1):

\(5a + 2(3c - 3a) + c + (-a - 3c) = 0\)

\(5a + 6c - 6a + c - a - 3c = 0\)

\((5a - 6a - a) + (6c + c - 3c) = 0\)

\(-2a + 4c = 0 \Rightarrow 2a = 4c \Rightarrow a = 2c\)

Ora che abbiamo \(a\) in funzione di \(c\), possiamo trovare \(b\) e \(d\):

Sostituiamo \(a=2c\) nella (4) per trovare \(b\):

\(b = 3c - 3(2c) = 3c - 6c = -3c\)

Sostituiamo \(a=2c\) nella relazione per \(d\):

\(d = -a - 3c = -(2c) - 3c = -5c\)

Risolvendo in funzione di \(c\) otteniamo:

\(a=2c\), \(b=-3c\), \(d=-5c\)

Quindi il piano ha equazione: \(2cx-3cy+cz-5c=0\), da cui, dividendo per \(c\) (assumendo \(c \neq 0\)), otteniamo: \(2x-3y+z-5=0\)

Il piano che contiene \(r\) ed \(s\) ha quindi equazione: \(2x-3y+z-5=0\).

Metodo alternativo per la ricerca del piano che contiene r ed s

Consideriamo il fascio di piani che ha come sostegno la retta \(r\):

\[ y-z-1+k(x-z-4)=0 \]

Tra gli infiniti piani di questo fascio che contengono \(r\), per trovare quello che contiene anche \(s\) è sufficiente imporre che il fascio contenga un punto di \(s\) (non appartenente ad \(r\)), per esempio \(E=(1, 0,3)\) che si ottiene in \(s\) con \(t=0\).

Sostituendo nell'equazione del fascio di piani le coordinate di \(E=(1,0,3)\) otteniamo:

\[ (0)-(3)-1+k((1)-(3)-4)=0 \] \[ -4 + k(-6) = 0 \] \[ -6k = 4 \] \[ k = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \]

Quindi, sostituendo questo valore di \(k\) nell'equazione del fascio otteniamo:

\[ y-z-1+\left(-\frac{2}{3}\right)(x-z-4)=0 \]

Moltiplichiamo tutto per 3 per eliminare la frazione:

\[ 3(y-z-1) - 2(x-z-4)=0 \] \[ 3y-3z-3 - 2x+2z+8=0 \] \[ -2x+3y-z+5=0 \]

Moltiplichiamo per -1 per avere i coefficienti positivi per \(x\):

\[ 2x-3y+z-5=0 \]

che coincide con l'equazione trovata precedentemente.

Verifichiamo che la sfera di centro \(C=(5,-7,2)\) passante per il punto \(P=(1,-1,0)\) è tangente al piano suddetto.

Siccome il punto \(P=(1,-1,0)\) verifica l'equazione del piano \(2x-3y+z-5=0\), infatti \(2(1)-3(-1)+(0)-5=2+3-5=0\), P appartiene al piano. È sufficiente dimostrare che il vettore \(\vec{CP}\) è perpendicolare al piano. Il vettore \(\vec{CP}\) ha le seguenti componenti:

\[ \vec{CP}=(1-5; -1-(-7);0-2)=(-4;6; -2) \] Il vettore normale al piano ha vettore \(\vec{n}=(2; -3;1)\), che sono i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) dell’equazione del piano.

Siccome \((-4;6; -2)=-2(2; -3;1)\) i vettori \(\vec{CP}\) ed \(\vec{n}\) sono paralleli, e ciò equivale a dire che il vettore \(\vec{CP}\) è perpendicolare al piano: ciò dimostra che la sfera data è tangente al piano in questione.

Figura che mostra la sfera tangente al piano

Quesito 5

Il triangolo di Reuleaux è una figura utilizzata come elemento architettonico in diverse chiese gotiche. Si costruisce a partire da un triangolo equilatero di lato \(L\), puntando il compasso in ogni suo vertice e tracciando l’arco minore di circonferenza che ha per estremi gli altri due vertici. Il triangolo di Reuleaux è la regione di piano delimitata dai tre archi tracciati.

Dimostrare che il suo contorno ha lunghezza \(\pi L\) ed esprimere la sua area in funzione di \(L\).

Soluzione quesito 5:

Consideriamo il triangolo equilatero ABC di lato \(L\) e costruiamo i tre archi richiesti:

Siccome gli angoli in A, B e C misurano \(60^\circ\), ogni arco misura \(\frac{1}{6}\) della circonferenza di raggio \(L\). Ma i tre archi sono uguali, quindi la somma delle loro lunghezze è \(\frac{3}{6}\) della circonferenza di raggio \(L\), perciò:

\[ \text{Contorno triangolo di Reuleaux} = \left(\frac{3}{6}\right)(2\pi L) = \pi L \quad \text{c.v.d.} \]

Esprimiamo l’area del triangolo di Reuleaux in funzione di \(L\).

Indicata con \(S\) l’area richiesta, essa risulta uguale alla somma dell’area del triangolo equilatero di lato \(L\) e dei tre segmenti circolari della circonferenza di raggio \(L\) e angolo al centro di \(60^\circ\).

L’area di ognuno dei tre segmenti circolari si ottiene sottraendo ad \(\frac{1}{6}\) dell’area del cerchio di raggio \(L\) l’area del triangolo equilatero di lato \(L\).

Area triangolo \(=L^2\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Area di 1 segmento circolare \(=\frac{1}{6}(\pi L^2) - L^2\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Area del triangolo di Reuleaux \(=\text{Area triangolo}+\text{area di 3 segmenti circolari}=\)

\(=L^2\frac{\sqrt{3}}{4}+3\left(\frac{1}{6} \pi L^2-L^2\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{1}{2} \pi L^2-\frac{1}{2} L^2\sqrt{3}=\frac{1}{2} L^2 (\pi-\sqrt{3})\)

L’area del triangolo di Reuleaux in funzione di \(L\) è quindi: \(\frac{1}{2} L^2 (\pi-\sqrt{3})\).

Nota di approfondimento sul Triangolo di Reuleaux:

Il triangolo prende il nome dall'ingegnere tedesco **Franz Reuleaux** (1829-1905), pioniere della cinematica e della progettazione meccanica. Tuttavia, questa forma era già conosciuta molto prima: **Leonardo da Vinci** ne aveva studiato le proprietà nel XV secolo, e forme simili appaiono in architetture gotiche medievali. Reuleaux fu il primo a formalizzare matematicamente le proprietà di questa figura e a proporne applicazioni pratiche in ingegneria meccanica, motivo per cui porta il suo nome.

Che cos'è una Curva di Larghezza Costante?

Quando diciamo che una curva, come il **triangolo di Reuleaux**, ha **larghezza costante**, significa che se la racchiudiamo tra due rette parallele, la distanza tra queste rette rimane sempre la stessa, non importa come orientiamo la curva.

Figura che rappresenta la larghezza costante del triangolo di Reuleaux

*Fonte: Wikipedia*

Immagina di posizionare la figura su un tavolo e di spingerla tra due righelli paralleli. Se la figura ha larghezza costante, i righelli non si avvicineranno né si allontaneranno mai, mantenendo sempre la stessa distanza tra loro mentre la figura ruota.

Nel seguente video c'è un'applicazione di questa proprietà:

Reuleaux wheels 2

Il caso più familiare di una curva a larghezza costante è la **circonferenza** (o un cerchio). Se metti un cerchio tra due rette parallele, la distanza tra le rette sarà sempre pari al diametro del cerchio.

Il triangolo di Reuleaux è speciale perché fa la stessa cosa, pur non essendo circolare. La sua "larghezza" è definita dalla distanza tra due punti opposti sulle sue curve parallele, e questa distanza è sempre uguale al lato del triangolo equilatero di partenza.

In pratica, questo vuol dire che:

**Può rotolare senza "saltellare":** Un oggetto con larghezza costante può rotolare su una superficie piana senza che il suo centro di massa si alzi o si abbassi, garantendo una rotazione fluida.

*Fonte: Wikipedia*
- **Trapano Watts:** Inventato da Harry James Watts, questo trapano utilizza la forma del triangolo di Reuleaux per creare fori quasi quadrati. Il trapano ruota in modo eccentrico, non attorno al proprio centro.
  - Si veda il seguente filmato sul principio di funzionamento del trapano di Watts: drilling-square-holes
  - Per il fatto di avere una larghezza costante, il triangolo di Reuleaux può ruotare dentro un quadrato toccando in qualsiasi posizione i suoi lati.
**Si adatta tra due linee:** Qualsiasi orientamento tu dia al triangolo di Reuleaux, riuscirà sempre a passare attraverso una fessura di una larghezza specifica, senza rimanere bloccato o lasciare spazi vuoti eccessivi.

È una proprietà geometrica affascinante che lo distingue nettamente dalle altre forme. Altri esempi di curve di larghezza costante includono poligoni di Reuleaux con un numero dispari di lati.

Un esempio pratico e molto comune di poligono di Reuleaux è la forma delle monete britanniche da **20 pence** e **50 pence**. Queste monete hanno una forma eptagonale (7 lati) di Reuleaux, il che permette loro di avere una larghezza costante e quindi di funzionare correttamente nei distributori automatici, pur non essendo circolari.

Il triangolo di Reuleaux è diventato un simbolo della **creatività ingegneristica** e dell'**eleganza matematica**. Rappresenta come soluzioni innovative possano emergere dal pensiero "fuori dagli schemi" - letteralmente, una figura che non è circolare ma mantiene proprietà simili al cerchio.

È un ottimo esempio di come concetti geometrici apparentemente astratti trovino applicazioni concrete nella vita di tutti i giorni.

Una curiosa applicazione del triangolo di Reuleaux:

la bicicletta con ruote triangolari inventata da Sergii Gordieiev (The Q): questo il suo canale Youtube in cui spiega la costruzione passo passo della bicicletta: (3654) The Q - YouTube.

Mostriamo un’immagine della singolare bicicletta in azione:

Bicicletta con ruote triangolari in azione

*Fonte: Gizmodo*

Quesito 6

Sapendo che \(f(x)=\sin^2 (x)-\sin(x)\cos(x)\), determinare gli zeri della funzione \(g(x)=\frac{e^{f(x)} -1}{x^2}\) nell’intervallo \([-\pi;\pi]\).

Quesito 7

Determinare le coordinate del punto \(T\) sulla parabola \( p \) di equazione \(y=x^2+x+3\), nel quale la retta tangente a \( p \) risulta parallela alla retta \(r\) di equazione \( 3x+2y-1=0 \).

Spiegare perché, sulla parabola \( p\), il punto \(T\) è quello che si trova alla minima distanza dalla retta \(r\).

Quesito 8

Sia data la funzione \(f(x)=ax\ln(x)+\frac{b}{x^4} +c\sin\left(\frac{1}{x}\right)\), con \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Determinare i parametri \(a,b,c\) in modo che:

il \(\lim_{x \to 0^+ } f(x)\) esista ed abbia un valore finito;
\(\int_1^e f(x) \, dx=1\).